Oddiy differensial tenglamalar Reja
O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Download 185.5 Kb.
|
ODDIY DIFERENSIAL TENGLAMALAR
2. O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar.
Bir jinsii differensial tenglamalar Birinchi tartibli ikkala qismini oddiy integrallash yo`li bilan yechiladigan sodda tenglama y′ = f(x) (3) ko`rinishga ega. Natijada, y = ∫f(x)dx va agar f(x) funksiyaning bosh-lang`ich funksiyalaridan biri F(x) bo`lsa, umumiy yechim y = F(x)+c ko`rinishda yoziladi. (3) tenglamaning muhim umumlashmasi bo`lmish o`zgaruvchilari aj-raladigan differensial tenglama: y′ = P(x) - q(y) yoki dy/dx = P(x) · q(y) (4) shaklda yozilishi mumkin. Noma`lum funksiya у ning qaralayotgan o`zgarish sohasida q(y) ≠ 0 shart bajariladi deb, (4) tenglamani o`zgaruvchilari ajralgan. dy/q(y) = P(x)·dx shaklda yozamiz va ikkala qjsmini integrallab, ∫dy/q(y) = ∫P(x)·dx tenglikni olamiz. Q(y) funksiya l/q(y) funksiyaning, P(x) esa p(x) ning boshlang`ich funksiyalaridan biri bo`lsa, (4) tenglamaning umumiy in-tegrali: Q(y) = P(x) + c ko`rinishdan iborat. Masala. y′ = x - y2 tenglamaning barcha yechimlarini topish talab qi-lingan bo`lsin. y ≠ 0 shart o`rinli deb, tenglama o`zgaruvchilarini aj-ratamiz. dy/dx = x·y2 yoki dy/y2 = x·dx. Tenglamani integrallab, -1/y = ½ - x2 + с yoki ko`rinishda umumiy yechimni olamiz. Ushbu yechimga tenglamani yechish jarayonida yo`qotilgan y = 0 yechimni ham qo`shish lozim. Bi-rinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama deb, dy/dx = f(y/x) (5) ko`rinishdagi tenglamaga aytiladi. (5) tenglamani yechish uchun noma`lum y(x) funksiyadan u(x) = y(x)/x funksiyaga o`tamiz. Unda, у = x·u, dy/dx = u + x·du/dx tengliklar o`rinli bo`lib, (5) tenglama: u + x·du/dx = f(u) yoki du/(f(u) - u) = dx/x ko`rinishga keltiriladi. Oxirgi tenglama o`zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamadir va ma`lum usulda yechiladi. Natijada, u(x) funksiya topilgandan so`ng, y(x) = x·u (x) funksiyaga qaytiladi. Masala. tenglamani yeching. Ushbu tenglama bir jinsli tenglama, chunki bu yerda, u = y/x. Noma`lum u fiinksiyaga nisbatan o`zgaruvchilari ajralgan: yoki tenglama hosil bo`ladi. Tenglamani integrallasak, -1/2 · ln|-u2 + 2u + 1| = ln|x| - 1/2 - ln|C| tenglikni va so`ngra, |-u2 + 2u + l|-l/2 = |x|· 1/ yoki x2·|- u2 + 2u + l| = |C| yechimlarni va oxirida y = x - u funksiyaga qaytib, oshkormas shaklda: х2 + 2ху - у2 = С umumiy integralni quramiz. Download 185.5 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling