Oddiy differensial tenglamalar uchun

Runge - Kutt usullarining yaqinlashishi.
Runge - Kutt usullari yaqinlashishi tartibi approksimatsiya tartibi bilan bir xilligini ko’ramiz. zi = yi - u(ti) xatolikni qanoatlantiradigan tenglamani yozamiz.
Runge - Kutt usulining tenglamasi
yi1  y m
i  k (y) (8)
 l1 l l
bunda
l1
k_l (y)  f (t_i  a_l, y_i  b_lj k _j (y)) , i  2,...,m, (9)
j1

k₁(y)  f (t_i , y_i )

(8) - tenglamaning chap tomoniga yi - ning ui+zi ifodasini quyib o’ng tomonga
m
_lk_l (u)
l1
yiІindini qo’shib ayiramiz. Bu yerda
l1
k_l (u)  f (t_l  a_l,u_l ^ b_lj k _j (u),l  2,3,...,m,
j1 k₁(u)  f (t_i ,u_i ). (10)
Unda (8) - tenglama
z^{i1  zi} _i⁽¹⁾ _i⁽²⁾ , (11)

bunda
(1) ui1  ui m
i    lkl (u), (12)
 l1
ta’rifga ko’ra (8) , (9) -larni (1) - yechimi u-dagi approksimatsiya xatoligi bo’lib,
m
_i⁽²⁾  _l k_l (y) k_l (u). (13) l1 (11) - tenglamani usulning xatolik tenglamasi sifatida qaraymiz. U, i=0,1,..., uchun bajariladi. z₀  0 , chunki y₀  u₀  u(0)aniq beriladi. (1) - tenglama chegaralangan _{0 t T} vaqt oraligida yechiladi deb faraz qilamiz, shu sababli ixtiyoriy i va _uchun t_i  i T bajariladi.
Faraz qilamiz, f(t,u) karalaetgan soіada u buyicha L konstantali Lipshist shartini qanoatlantirsin. Shu faraz bilan avval _i⁽²⁾ ni, undan so’ng zi - ni
baholaymiz. (9) va (10) - ifodalardan va farazdan
l1 l1
k l (y)  k_l (u)  f (t_l  a_l, y_l  b_lj k _j (y))  f (t_i  a_i,u_i  b_ljk _j (u))
j1 j1
l1

 L( y_i  u_i  b k _j (y)  k _j (u) ,l  2,3,...,m,
j1

k₁(y) k₁(u)  L y_i u_i r  k _j (y) k _j (u), j 1,2,...,m,
b  max q  L y_i u_i (14)

2lm,1 jl1

belgilashdan so’ng oldingi tengsizlikka asosan
l1
r_l  Lbr_j  q,l  2,3,...,m,r₁  q,
j1
yoki
l
r_l1  Lbr_j  q,l  0,1,...,m 1,r₀  0. (15)
j1

1 - lemma

(15) - tengsizlikdan Lb0 bo’lganda
r_i  ^i1q,i 1,2,...,m, (16)
tengsizlik hosil bo’ladi, bunda 1 Lb_ Isbot.
i = 1 dagi (16) - baxo i = 0 dagi (15) - baxo bilan bir xildir. Faraz qilamiz
(16) - tengsizlik i=1,2,...,k uchun bajarilgan bo’lsin. Uning i=k+1 uchun o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. (15) dan i=k uchun
k
r_k1 br_j q
j1
tengsizlikka egamiz. Induksiyaning faraziga ko’ra

r_j ^j1q, j 1,2,...,k,

bundan
k k
^j1  1 ^k r_k1  (Lbr 1)q (Lb 1)qq. j1 1
Shuni isbot qilish talab qilingan edi.
Endi _i^2 funksiyani baholaymiz. (14) va (16) dan
mm

_i2 ^ _i r_i ^qi1 qmm1,
i1 i1
bunda

. σ  max σ_i ,ρ 1 Lbτbτ L z_i (17)

1im

Shunday qilib | zi | xatolikning o’sishi bilan ψ_i^2 kattalik xatolikning birinchi darajasidan tez o’smasligi ma’lum bo’ldi. Endi z_i  y_i u_i xatolikni baholaymiz. (11) - tenglamadan
zi1  zi  τψi2  τψi1,
tenglikka egamiz. Bundan (17) - ni inobatga olib

z_i1 (1 ατ) z_i  τψ_i^1 ,i 0,1,..., (18)
bunda
α  ατ σLm(1 Lbτb^m1 (19)
 0,Lm ekanligi ko’rinib turibdi. Agar ₀ bo’lsa, unda ατ σLme^Lb(m1)τ0, ya’ni  ning _ buyicha tekis chegaralanganligi ko’rinib
turibdi. ₀ sifatida qo’pol ravishda T ni olish mumkin. (18) - tengsizlikdan
i

z_i1  (1)^i1 z₀  (1)^{i j}^_j^1 (20)
j0
kelib chiqadi. Buni Induksiya usuli bilan ko’rsatish mumkin. (20) – bahoni qo’polroq baholab z₀  0 ekanligini іisobga olib

zi1  i 1τ(1 ατ)i max ψj1 ti1eαti max ψj1 ,
0 ji0 ji
bunda t_i  iT bahoni hosil qilamiz.
Shunday qilib quyidagi teoremani isbot qildik.
Teorema. Faraz qilamiz (1) - tenglamaning o’ng tomonini f(t,u) u buyicha
Lipshist shartini qanoatlantirsin. _^_j^1 (12)-ga muvofiq aniqlangan (2) - Runge-
Kutt usulining approksiastiya xatoligi bo’lsin. Unda Runge-Kutt usulining i bo’lgandagi xatoligi uchun

y_i  u(t_i )  Te^T max^_j^1 , (21)
0 ji1
bunda

α  σLm(1 Lbτb^m1,σ  max σ_k ,
1km
b  max b_kj
2km,1ik1
baho o’rinlidir.
Natija. Agar Runge-Kutt usuli (1)- tenglamani approksimatsiya qilsa unda u, _0 da yaqinlashadi, undan tashkari usul xatoligi tartibi approksimatsiya tartibi bilan bir xil bo’ladi.
Isboti. (21) - dan va - ning tekis chegaralanganligidan kelib chiqadi.