Однозначного характера для функции

1. _Вычеты

Пусть изолированная особая точка однозначного характера для функции (то есть устранимая особая (правильная), полюс или существенно особая), так что в ее окрестности функция представима рядом Лорана 2.3.

Определение 3.1. Вычетом функции в точке a называется число

(3.1)

где C окружность (внутри ее содержится только одна особая точка

a), проходимая против часовой стрелки; указанный интеграл. то есть вычет, равен

коэффициенту при в лорановском разложении 2.3.

Если a правильная точка (или устранимая особая), то так как

(или: по теореме Коши).

Используются и другие обозначения вычета: =выч. Если функция регулярна в кольце ,то вводится понятие вычета в бесконечности это число

(3.2)

где окружность ,проходимая по часовой стрелке, и

коэффициент при в ряде 2.5. В отличие от конечной точки a, даже если функция регулярна в бесконечности (∞ устранимая особая точка), вычет в ней может быть не равен нулю: например, для функций , имеем .

Как находить вычеты? Если a полюс кратности m для функции (см. представление (2.4’)), то

(3.3)

Для простого полюса (m = 1):

(3.4)

Пусть где функции и регулярны в точке , и есть простой нуль для ,то есть (так что для точка правильная или простой полюс). Тогда

(3.5) Вычет функции в существенно особой точке , а также вычеты в бесконечности, обычно находят как коэффициент или .

Теорема 3.1. (Основная теорема (Коши) о вычетах.) Если функция регулярна на замкнутом контуре Γ и регулярна внутри его, кроме конечного числа точек то

(3.6)

(При это даёт определение 3.1).

Теорема 3.2. (Теорема о сумме всех вычетов) Если функция регулярна во всей комплексной плоскости, кроме конечного числа точек то сумма ее вычетов относительно всех особых точек, включая z = ∞, равна нулю:

(3.7)

Эта теорема позволяет находить вычет в ∞ через вычеты в конечных точках, или наоборот.

Если четная функция, то (т.к. ) и а если функция нечетная, то (в предположении, чтонаписанные вычеты имеют смысл).

Замечание 3.1. Пусть функция регулярна в некотором кольце и a

- произвольная точка. Разложим в ряд Лорана по степеням в {Нетрудно убедиться, что коэффициент при

зависит от a и . Некоторые авторы предлагают указанные ряды называть также рядами Лорана в окрестности (как и ряд 2.5).