Olimjonova hilola ikromjon qizining

Misol. integralni hisoblash.
Yechish. Integral ostidagi funksiya kasr-ratsional funksiya bo’lib, u noto’g’ri kasrdir. Bu kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrning butun qismini ajratamiz:
_
_


Endi to’g’ri kasrni eng sodda ratsional kasrlarga yoyamiz:
(a)


Bu yerdagi bir xil darajalix lar oldidagi koefitsiyentlarni tenglashtirib

sistemaga ega bo’lamiz. Sistemani yechib ekanini topamiz. Noma’lum koefitsiyentlarning topilgan qiymatlari (a) qo’yib quyidagini hosil qilamiz.

Demak,


bo’ladi.

3-§. TRIGONOMETRIK FUNKSIYALAR QATNASHGAN IFODALARNI INTEGRALLASH

ko`rinishdagi integrallarni almashtirish orqali
ratsional funksiyalarning integrallariga keltiriladi.
Bizga ma`lumki,

Bu belgilashlardan so’ng integralimiz ratsional kasrga keladi.
Misol. integral hisoblansin.
Yechish.
ko‘rinishidagi integralni quyidagi o‘rnigа qo‘yishlаr orqali ham topish mumkin:

1. 
   ifoda ga nisbatan toq bo‘lganda uning integrali o‘rnigа qo‘yish orqali ratsionallаshtirаdi;
   
2. 
   ifoda ga nisbatan toq bo‘lganda uning integrali o‘rnigа qo‘yish orqali ratsionallаshtirаdi;
   
3. 
   Agar funksiya va ga nisbatan juft bo‘lganda uning integralini o‘rnigа qo‘yishorqali rаtsiоnаllаshtirilаdi. Bunda quyidagi almashtirishlardan foydalaniladi:
   

Misol. integral hisoblansin.
Yechish. Integral ostidagi funksiya sinxga nisbatan toq funksiya. Shuning uchun

ko‘rinishidagi integrallar m vа n butun sоnlаrgabоg‘liq hоldа quyidagicha topiladi:
а) n>0 va toq son bo’lsin. U holda
cosx=t , sinxdx=-dt
almashtirish yordamida berilgan integral ratsionallashtiriladi.
b) m>0 va toq son bo’lsin. U holda berilgan integral
sinx=t, cosxdx=dt
almashtirish yordamida ratsionallashtiriladi.
d) n va m darajalar juft va nomanfiy bo’lsin.
U holda

darajani pasaytirish formulalaridan foydalanib berilganintegralni соs2x ko’phadining integraliga ega bo’lamiz. соs2x ning toq darajalari ishtirok etgan integrallar b) bandga asosan topiladi. соs2x ning juft darajalari ishtirok etgan integrallarni topish uchun yana

darajani pasaytirish formulasidan foydalanamiz. Bu jarayonni davom ettirib oxiri

ga ega bo’lamiz.
e) n va m juft sonlar bo’lib ulardan kamida bittasi manfiy bo’lsin. U holda

almashtirish yordamida berilgan integral ratsionallashtiriladi.
ko`rinishdagi integrallar trigonometrik funksiyalar ko`paytmasini yig’indi shaklga keltirish
orqali oson hisoblanadi.