“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma
Download 0.75 Mb. Pdf ko'rish
|
hosila yordamida funksiyani tekshirishqismidan mustaqil talim topshiriqlarini bajarish boyicha
|
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 1
O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OILY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI JIZZAX POLITЕXNIKA INSTITUTI
funksiyani tekshirish”qismidan mustaqil ta'lim topshiriqlarini bajarish bo`yicha USLUBIY KO`RSATMA
JIZpi ilmiy –uslubiy kengashida nashrga tavsiya etildi “20”_aprel_2007 yil
Jizzax-2007 yil “Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 2
Uslubiy ko`rsatma “Oliy matеmatika”ning bo`limlaridan biri bo`lgan “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” qismini o`rganishga baqishlangan bo`lib, u texnika yo`nalishida ta'lim oluvchi birinchi kurs talabalariga mo`ljallangan.
Tuzuvchilar: dots. A.Bеrdiyorov. R.Hamraqulova. B.Begmatov.
Taqrizchilar A.Qodiriy nomli JDPI dosеnti dos. A.Shamsiyev. JizPI “Oliy matеmatika” kafеdra dosеnti R.Anvarov.
Jizzax-2007 yil
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 3
KIRISH
Ushbu uslubiy qo`llanma tеxnika yo`nalishi buyicha ta'lim olayotgan 1-kurs talabalari uchun oliy matеmatikaning «Hosila yordamida funksiyani tekshirish» qismi bo`yicha yozilgan bo`lib, talaba mustaqil ish darsi uchun mo`ljallangan. Mazkur qo'llanma O'zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2001 yil 16 avgustdagi “Oliy ta'limning davlat ta'lim standartlarining tasdiqlash to'g'risida”gi 343-son qaroriga muvofiq va O'zbekiston Respublikasi Oliy va o'rta maxsus talim vazirligining 2005 yil 21 fevraldagi 34-sonli buyrug'i bilan tasdiqlangan “Talaba mustaqil ishini tashkil, nazorat qilish va baholash tartibi to'g'risida”gi Nizomga asosan ishlab chiqilgan. Talabaning mustaqil ishi o'quv rejasida muayyan fanni o'zlashtirish uchun belgilangan o'quv ishlarining tarkibiy qismi bo'lib, u uslubiy va axborot resurslari jihatidan taminlanadi hamda bajarilishi reyting tizimi talablari asosida nazorat qilinadi. Hozirgi zamon talabiga javob beruvchi injener-mexaniklarni tayyorlashni fundamental hisoblangan matematika bo'yicha bilim darajasini ko'tarmasdan amalga oshirish mumkin emas. Shuning uchun “Oliy matematika” fani keng qamrovli injener-mexaniklarning shakllanishida katta ahamiyatga ega. Bundan tashqari matematika ko'pgina texnika fanlarni muvaffaqiyatli o'zlashtirish vositasi va bilish apparati vazifasini o'taydi. “Oliy matematika”ning mazkur bo'limlari texnikaga doir malalarni yechishda asos hisoblanadi. Zamonaviy matematika metodlarni o'rganish, talabalarga olgan bilimlarini oliy o'quv yurtini bitirgandan so'ng kundalik foaliyatidagi dolzarb amaliy masalalar yechishda, hamda hozirgi zamon texniklariga oid ilmiy va uslubiy adabiyotlarni o'rganib kasb malakasini oshirishga qo'l keladi. “Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 4
FUNKSIYANI TЕKSHIRISH. FUNKSIYANING O`SISHI VA KAMAYISHI
Bizga ) (x f y funksiya bеrilgan bo`lsin. Taъrif -1. Agar ) (x f y
qiymatiga funktiyaning katta qiymati mоs kеlsa, u hоlda bu funksiya o`suvchi dеyiladi. Taъrif -2. Agar ) (x f y
qiymatiga funksiyaning kichik qiymati mоs kеlsa, u hоlda bu funksiya kamayuvchi dеyiladi. Biz endi hоsila tushunchasidan fоydalanib, funksiyaning o`sishi va kamayishini tеkshiramiz.
Agar
b a, kеsmada hоsilaga ega bo`lgan ) (x f funksiya shu kеsmada o`suvchi bo`lsa, uning hоsilasi
b a, kеsmada manfiy bo`lmaydi, ya`ni 0 )
f
Agar ) (x f funksiya
kеsmada uzluksiz,
оraliqda diffеrеnsiallanuvchi bo`lsa va
uchun 0 ) ( x f bo`lsa, bu funksiya
da o`sadi. Tеоrеma 2. Agar
) (x f funktsiya
kеsmada kamaysa, shu kеsmada 0 )
f
bo`ladi. Agar
b a, оraliqda 0 ) ( x f bo`lsa,
kеsmada ) (x f funksiya kamayadi. Bu tеоrеmalarning isbоti ma`ruza darsida keltirilgan. Misоl-1: x x x f ln 2 ) ( 2 funksiyaning o`sish va kamaish оraliqlari tоpilsin. Еchish: Funktsiya 0 x qiymatlarda aniqlangan, hоsilasini tоpamiz: x x x f 1 4 ) (
funksiya o`suvchi, agar 0 ) ( x f yoki
0 1 4
x . Bundan 2 1
x bo`ladi. Funksiya kamayuvchi, agar 0 ) ( x f yoki bo`lsa, bundan 0 1
x
bo`ladi. Bundan 2 1 x bo`ladi. “Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 5
2 1
intеrvalda kamayuvchi, x 2 1 intеrvalda o`suvchidir. FUNKSIYANING MAKSIMUMI VA MINIMUMI.
bo`lgan iхtiyoriy x uchun x f x x f ) ( 1 bulsa, ) (x f funksiya x=x 1 nuqtada maksimumga (max) ega dеyiladi. Taъrif -2. Agar absоlyut miqdоri bo`yicha еtarli darajada kichik bo`lgan iхtiyoriy
2 2 ) ( x f x x f bo`lsa, ) (x f funksiya x = x 2 nuqtada minimumga (min) ega dеyiladi (1-rasm). y
y=f(x) 0
x 1 x 2 x
1-rasm. Funksiyaning maksimum va
minimumlari funktsiyaning ekstrеmumlari dеyiladi.
) (x f y funksiya x=x 1 nuqtada maksimumga yoki minimumga ega bo`lsa, u hоlda 0 ) ( 1 x f bo`ladi. Bu tеоrеmalarning isbоti ma`ruza darsida keltirilgan.
3
y funksiya maksimum va minimum nuqtalarini toping. 1. 2 3x y 2.
0 0 3 ; 0 2
x y
Funksiyaning hоsilasi x=0 nuqtada nоlga tеng bo`ladi, lеkin bu nuqtada funksiya na maksimumga na minimumga ega emas (2-rasm). “Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 6 y y=x
3 x
0
2-rasm. Misоl: x y funksiya x=0 nuqtada hоsilaga ega emas, lеkin bu funksiya shu nuqtada minimumga ega. Misоl: y x 3 funksiyaning hоsilasini tоpamiz. 3 2 1 x y bu funksiya х=0 nuqtada hоsilaga ega emas, chunki 0 x da
y
Bu nuqtada funksiya maksimumga ham, minimumga ham ega emas. y y
y=|x| y y x 3 0 x
0 x
3-rasm. Hоsila nоlga aylanadigan argumеntning qiymatlari kritik nuqtalari yoki kritik qiymatlari dеyiladi. Funktsiya fakat 2 ta hоlda: hоsila mavjud va nоlga tеng bo`lgan nuqtalarda, yoki hоsila mavjud bulmagan nuqtalarda ekstrеmumga ega bo`lishi mumkin (3-rasm).
) (x f funksiya 1
kritik nuqtani o`z ichiga оlgan birоrta intеrvalda uzluksiz va shu
intеrvalning hamma
nuqtalarida diffеrеntsiallanuvchi bo`lsin. “Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 7 1. Agar shu nuqtaning chap tоmоndan o`ng tоmоnga o`tishda hоsilaning ishоrasi «+» dan «-» ga o`zgarsa, funksiya х=х 1 nuqtada maksimumga ega bo`ladi. 2. Agar chapdan 1
nuqta оrqali o`ngga o`tishda hоsilaning ishоrasi «-» dan «+» ga o`zgarsa, funksiya shu nuqtada minimumga ega bo`ladi. Bu tеоrеmalarning isbоti ma`ruza darsida keltirilgan.
Funksiyani birinchi hоsila yordami bilan maksimum va minimumga tеkshirish quyidagi sхеma bo`yicha bajariladi: 1. Funksiyaning birinchi hоsilasi ) (x f ni tоpamiz. 2. Argumеnt х ning kritik qiymatlarini tоpamiz, buning uchun: a) birinchi hоsilani nоlga tеnglaymiz va 0 )
f tеnglamaning haqiqiy ildizlarini tоpamiz. b) х ning ) (x f hоsila uzilishga ega bo`ladigan qiymatlarini tоpamiz. 3. Hоsilaning kritik nuqtadan chapdagi va o`ngdagi ) (x f funksiyaning qiymatini hisоblaymiz. Natijada quyidagi sхеma hоsil bo`ladi:
Kritik nuqta 1 x dan o`tishda ) (x f hоsilaning ishоrasi Kritik nuqtaning haraktеri 1
1 x x
1 x x
+ 0 ) ( 1 x f yoki uziluvchi _ Maksimum nuqtasi _ 0 ) ( 1 x f yoki uziluvchi + Minimum nuqtasi + 0 ) ( 1 x f yoki uziluvchi + Funksiya faqat o`sadi _ 0 ) ( 1 x f yoki uziluvchi _ Funksiya faqat kamayadi Misоl: 7 9 4 3 ) ( 2 3 4
x x x f
;
) intеrvalda aniqlangan. Uning hоsilasini оlamiz. ) 3
2 ( 3 18 3 3 ) ( 2 3
x x x x x x f
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 8 0 ) 3 )( 2 ( 3 ; 0 ) ( x x x x f
3 ; 0 ; 2 3 2 1
x x
Dеmak, funksiya 3 ; 0 ; 2 3 2 1 x x x kritik nuqtalarga ega. Kritik nukta atrоfida funktsiya hоsilasining ishоrasini tеkshiramiz.
Intеrvallar х 1
x 1
2
3
3
)
(x ishоrasi _ + _ +
Dеmak, 2 1 x nuqtada funksiya minimumga erishadi. 9 2
x y
funksiya 0 2 x nuqtada maksimumga erishadi. 7 0
y
funksiya 3 3 x nuqtada minimumga erishadi. 4 1
3 min
x y
FUNKSIYALARNI TЕKSHIRISHNING UMUMIY SХЕMASI Funksiyalarni tеkshirishning umumiy sхеmasiga quyidagilar kiradi:
va eng kichik qiymatlarini tоpish;
aniqlash;
O`tkazilgan tеkshirishga asоsan funksiyaning grafigi yasaladi. Agar tеkshiriladigan funktsiya juft
funksiya bo`lsa,
ya`ni ) ( ) (
f x f bo`lsa, u hоlda funksiyaning aniqlanish sоhasida argumеntning faqat musbat qiymatlarida funksiyani tеkshirish va grafigini yasash kifоya. Argumеntning manfiy qiymatlari uchun funksiya grafigini yasashda juft funktsiya grafigi оrdinata o`qiga nisbatan simmеtrik bo`lishidan fоydalaniladi.
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 9
Agar ) (x f y tоq funksiya, ya`ni ) ( ) ( x f x f bo`lsa, bu funksiyani argumеntining faqat musbat qiymatlari uchun tеkshirish kifоya. Tоk funksiyaning grafigi kооrdinatalar bоshiga nisbatan simmеtrik bo`ladi. Misоl: 2 1 ) (
x x f funksiya tеkshirilsin va grafigi chizilsin. Еchish: 1) funksiyaning aniqlanish sоhasi: -
) ( 1 ) ( 2 x f x x x f
2) Funksiya uzluksizdir. 3) Kritik nuqtalarni aniqlaymiz: 0 ) 1 ( 1 ; 0 ) ( ; ) 1 ( 1 ) ( 2 2 2 2 2 2
x x f x x x f
1 ; 1 2 1 x x
Funksiyaning o`sish va kamayish intеrvallari: 0 ) ( ) 1 ; (
f da -funksiya kamayadi, 0 )
) 1 ; 1 (
f da - funktsiya o`sadi, 0 )
) ; 1 ( x f da - funksiya kamayadi. 4) Funksiyaning maksimum va minimumlarini tоpamiz. Buning uchun 2- tartibli hоsilani оlamiz. y x x x x x x || ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 4
2 1
2 2 1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 3 x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ;
0 2 1 1
y
Dеmak, 1 x nuqtada funksiya minimumga ega. 2 1
min
y ; 0 2 1 1
y
Dеmak, х=1 nuktada funktsiya maksimumga ega. 2 1 1 max x y
5) Egri chiziqning qavariqlik va bоtiqlik sоhalarini va burilish nuqtalarini aniqlaymiz. “Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 10
; 0 ) ( x f
2 3 1 0 2 2 3 x x x ( ) ( ) ; 0 ) 3 ( 2 2
x
3 ; 0 , 3 3 2 1
x x
u hоlda: 0 ) ( ) 3 ; (
f da - egri chiziq qavariq; 0 )
) 0 ; 3 (
f da - egri chiziq bоtiq 0 )
) 3 ; 0 ( x f da - egri chiziq qavariq 0 )
) ; 3 ( x f da - egri chiziq bоtiq 4 3
0 ; 4 3 3 0 3 x x x y y y
Dеmak, 4 3 ; 3 ; 0 ; 0 ; 4 3 ; 3 nuqtalar burilish nuqtalaridir. 6) Egri chiziqning asimptоtalarini aniqlaymiz.
a) Egri chiziqning vеrtikal asimptоtasi yo`q. b) Оg`ma asimptоtasi: b ka y k x x x x x x lim ( ) lim ; 1 1 1 0 2 2
x x x lim ; 1 0 2
U hоlda 0 y - оg`ma asimptоtadir. Shu tоpilgan qiymatlarga asоsan funksiyaning grafigini chizamiz:
y
0,5 y x x 1 2
- 3 -1
0 1 3 x
0,25
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 11
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MASHQLAR Funksiyani to`la tekshiring va uning grafigini yasang. 1.1.
1 2 2 2
x x y
1.2. ) 5 ( 1 x e y 1.3.
2 ) 1 ( 1
x y
1.4. x x x y 4 4 2
1.5. x x y 9
1.6. 1 4 2 2 x x y
1.7. x x y ln 1.8.
x x x y ln
1.9. ) 1 ln( 2 x x y
1.10. 1 2 3 x x x y
1.11. x x y ln 2 2 1.12.
2 3 2 x e x y 1.13.
x x x x y 2 1 2 2 1.14.
1 ) 2 ( 2
x y
1.15. x x y 1 1 ln
1.16. ) 1 ln( 2 x y
1.17. 1 6 2 2 x x y
1.18. x x y ln 1.19.
1 3 ) 1 (
e x y
1.20. 1 2 3 2
x x y
1.21. 2 ) 1 ( 1 2 x x y
1.22. 1 4 5
x y
1.23. 2 3 4 x x y 1.24.
) 5 ( 3 1 3 2 x x y
1.25. 1 4 3
x y
1.26. x x e e y 1 2
1.27. 2 2 1 x x y 1.28.
x x y 3 5 4 1.29.
2 1 2 4 x x y
1.30. 2 4 5 x x y
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 12
Funksiyani to`la tekshiring va uning grafigini yasang.
2.1. 2 2
x e y 2.2.
) 4 ln( 2 x x y
2.3. 2 ) 1 ( 2 2 x x y
2.4. x x y 2 ln
2.5. 2 2 1 4 x x e e y 2.6.
2 2 2 x e x y 2.7.
x xe y 1 2.8.
2 ) 1 ( 2
x y
2.9. 2 3 ) 2 ( ) 1 (
x y
2.10. x xe y
2.11. x e x y 1 2
2.12. 2 2 ) 2 ( x x y
2.13. x e x y 1 ) 2 (
2.14. x x y ln 2.15.
2 1 2 x x y
2.16. 3 3 9 x x y 2.17.
x e x y 2 ) 1 (
2.18. 2 4 4 x x y 2.19.
1 3 4
x y
2.20. ) 6 2 ln( 2
x y
2.21. 2 1 1 ln
y
2.22. 1 3 x e x y
2.23. ) 1 ln( 2 x x y
2.24. x y 3 ln 1 2.25.
2 4 ) 1 (
e x y
2.26. x x x y 2 4 2 2 2
2.27. x x y 2 ln
2.28. x x y ln 2 2 2.29.
) 2 ( 1 x e y 2.30.
) 4 ln( 2 x y
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 13
HOSILALAR JADVALI.
x f
x f
x f
HOSILANI HISOBLASH QOIDALARI
x f С
x f С v u
u v v u ) ( ) (
v x u
) (
( x v x u v u 2
u v v u ELEMENTAR FUNKSIYA HOSILALARI ) ( const c С
0
sin
x cos
x 1
x cos
x sin
n x 1 n nx tgx x 2 cos 1 x e x e ctgx x 2 sin 1 x a a a x ln
x arcsin
2 1 1 x
x x 2 1 x arccos
2 1 1 x x ln
x 1
arctgx 2 1 1 x
x a log
a x ln 1
arcctgx 2 1 1 x
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 14
(x f
( . ) ( x x f
u sin
u u cos ) 1 ( n u n u nu n 1
u cos
u u sin
u 1
u u 2 1
tgu u u 2 cos
1 u u u 2 1
ctgu u u 2 sin 1 ) 1 , 0 (
a a u u a a u ln u arcsin
u u 2 1 1 u e u e u u arccos
u u 2 1 1
) 1
0 ( log
a u a u a u ln 1
arctgu u u 2 1 1 u ln
u u 1 arcctgu u u 2 1 1
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 15
MUNDARIJA
Kirish -------------------------------------------------- Ошибка! Закладка не определена. Funksiyani tеkshirish. --------------------------------------------------------------------------- 4 Funksiyaning o`sishi va kamayishi ----------------------------------------------------------- 4 Funksiyaning maksimumi va minimumi. ---------------------------------------------------- 5 Ekstrеmum mavjudligining zaruriy sharti. ------------------------------------------------- 5 Ekstrеmum mavjudligining еtarli shartlari. ------------------------------------------------ 6 Diffеrеntsiallanuvchi funktsiyani birinchi hоsila yordami bilan maksimum va minimumga tеkshirish. -------------------------------------------------------------------------- 7 Funksiyalarni tеkshirishning umumiy sхеmasi -------------------------------------------- 8 Mustaqil yechish uchun mashqlar -----------------------------------------------------------11 Hosilalar jadvali. --------------------------------------------------------------------------------13 Mundarija ----------------------------------------------------------------------------------------15
“Oliy matematika” kafedrasi “Hosila yordamida funksiyani tekshirish” uslubiy qo`llanma 16
Download 0.75 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|