Oliy matematika O’zgaruvchi va o’zgarmas miqdorlar. Ketma –ketliklar va ularning limiti

Oliy matematika

O’zgaruvchi va o’zgarmas miqdorlar . Ketma –ketliklar va ularning limiti

Mavzu:

O’zgaruvchi va o’zgarmas miqdorlar.

• O’zgaruvchi va o’zgarmas miqdorlar.

Tabiat, fan va texnika masalalarida bir miqdorning ikkinchi miqdorga bog’liq ravishda o’zgarishini ko’p kuzatamiz. Shu sababli o’zgaruvchi miqdor tushunchasi matematikada asosiy tushunchalardan hisoblanadi. O’zgaruvchi miqdor deb, tekshirilayotgan masaladagi kamida ikkita qiymat qabul qiluvchi miqdorga aytamiz . Ko’rilayotgan masaladagi miqdor faqat bitta qiymat qabul qilsa, u holda bu miqdorni o’zgarmas miqdor deb ataymiz. Agar o’zgaruvchi miqdorning barcha qiymatlarini jamlasak, o’zgaruvchi miqdorning qiymatlari to’plamini hosil qilamiz. Bu to’plamga kiruvchi qiymatlarni to’plamning elementlari, deb ataymiz. To’plamlar bosh harflar A,B,C,..., X,Y,..., bilan, ularning elementlari esa kichik harflar a,b,c,..., x,y,..., bilan belgilanadi.
Agar x element A to’plamga tegishli bo’lsa, uni ko’rinishda belgilaymiz, agar tegishli bo’lmasa, u holda , deb belgilaymiz.
Agar A to’plamning barcha elementlari B to’plamga ham tegishli bo’lsa, uni A B deb yozamiz, va A to’plam B to’plamning qism to’plami, deb ataymiz.
A B belgi bilan bir qatorda unga tengkuchli bo’lgan B A belgilashni ham ishlatamiz. Agar to’plam birorta ham elementga ega bo’lmasa, u holda bu to’plamni bo’sh to’plam, deb ataymiz va А= ko’rinishda belgilaymiz
A va B to’plamlar teng, ya’ni A=B deymiz, agar A B va BA bo’lsa
Kelgusida biz faqat sonli to’plamlar, ya’ni elementlari sonlar bo’lgan to’plamlar bilan ishlaymiz. To’plamlar uchun, sonlar uchun bajariladigan qo’shish, ayirish va ko’paytirish amallarining barcha xossalariga ega bo’lgan arifmetik amallarni kiritish mumkin
Ixtiyoriy A va B to’plamlarning yig’indisi deb , A va B to’plamlarning elementlaridan tuzilgan C to’plamga aytamiz (qarang 57-rasm). Bu yig’indini C=A+B yoki C=AB ko’rinishda yozish qabul qilingan; xususan A+A=A. A va B to’plamlarning ko’paytmasi yoki kesishmasi deb bir vaqtda ham A ga ham B to’plamga tegishli bo’lgan elementlar to’plamiga aytamiz va AB yoki AB ko’rinishda belgilaymiz . Xususan, A A = A .
Agar AB= bo’lsa, A va B to’plamlar kesishmaydi, deymiz. Yuqorida kiritilgan amallar uchun quyidagi xossalar o’rinli:

• A+B=B+A,
• (A+B)C=AC+BC ,
• (AB)C=A(BC)
• (A+B)+C= A+(B+C)

2) sini isbotlaymiz , qolganlari shu tariqa isbot qilinadi. Agar x (A+B)C bo’lsa, ko’paytmaning ta’rifiga ko’ra, x A+B va xC bo’ladi. Yig’indining ta’rifiga ko’ra , x A yoki x B bo’ladi, masalan x A bo’lsin. U holda x AC va demak, x AC+BC. Bundan (A+B)C AC+BC. Endi agar х AC+BC bo’lsa, u holda yo х AC yoki х BC bo’ladi, masalan х AC bo’lsin. Bundan х A va х C , bulardan esa, х A+B va х C yoki х (A+B)C kelib chiqadi. Demak, AC+BC (A+B)C . To’plamlarning tenglik ta’rifidan (A+B)C =AC+BC ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

A va B to’plamlarning ayirmasi deb, A to’plamning B to’plamga kirmagan elementlari to’plamiga aytamiz , bu to’plamni A\B ko’rinishda belgilaymiz .Umuman, (A\B)+B A, lekin , agar B A bo’lsa, (A\B)+B = A bo’ladi.

• A va B to’plamlarning ayirmasi deb, A to’plamning B to’plamga kirmagan elementlari to’plamiga aytamiz , bu to’plamni A\B ko’rinishda belgilaymiz .Umuman, (A\B)+B A, lekin , agar B A bo’lsa, (A\B)+B = A bo’ladi.

Ketma-ketlikning limiti.
Sanoqli X=, ….. to’plamni ketma-ketlik, deb ataymiz. Ketma-ketlik ko’rinishda ham yoziladi, bu yerda ketma-ketlikning n- hadi, deb ataladi.
Misollar:
=
2 =
n =
=
+1=
n=
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1-, 2- va 4-misollardagi ketma-ketliklar chegaralangan, 3-,5- va 6-misollardagi ketma-ketliklar esa chegaralanmagandir. Shunday bo’lsa ham, 3-misoldagi ketma-ketlik quyidan 0 soni bilan , 5- misoldagi ketma-ketlik esa quyidan 2 soni bilan chegaralangan.
2-misoldagi ketma-ketlikda juft hadlari takrorlangan, ya’ni . = =…=2 To’plamlarda bunday elementlar bir marta olinar edi, ketma-ketliklarda esa bu elementlar har xil, deb tushuniladi. Agar ketma-ketlikning barcha hadlari bitta songa teng bo’lsa, bu ketma-ketlikni o’zgarmas deymiz
3-xossa. Noldan farqli A limitga ega bo’lgan ketma-ketlik uchun shunday topiladiki, lar uchun munosabat o’rinlidir. Agar bo’lsa, ko’rsatilgan lar uchun, va agar bo’lsa, bo’ladi, ya’ni ketma-ketlik hadlari biror nomerdan boshlab, а ning ishorasini takrorlaydi
4-xossa. Agar, va barcha natural lar uchun bo’lsa, u holda а b bo’ladi.
5-xossa. Agar c ga yaqinlashuvchi ketma-ketlik uchun shunday mavjud bo’lsaki, lar uchun bo’lsa, u holda bo’ladi.
6-xossa. Agar barcha natural lar uchun bo’lib, va ketma-ketliklar bir xil limitga intilsa, u holda ketma-ketlik ham shu limitga intiladi.
7-xossa. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi.
1-xossa. Agar ketma-ketlikning limiti mavjud bo’lsa, u yagona bo’ladi.
2-xossa. Chekli limitga ega bo’lgan ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi.
Ketma-ketlik limiti quyidagi xossalarga ega
E’tiboringiz uchun rahmat !