Oliy matematika


-misol.  х у   funksiyaning hosilasi topilsin.           Yechish


Download 0.58 Mb.
Pdf ko'rish
bet3/4
Sana26.03.2020
Hajmi0.58 Mb.
1   2   3   4

1-misol. 

х

у

 funksiyaning hosilasi topilsin. 



         Yechish. 



















х

х

х

х

х

х

у

2

1



2

1

2



1

2

1



2

1

2



1

1

2



1

2

1



.Demak, 



х

х

2

1



.   



        2-misol. 

х

у

1



    funksiyaning hosilasi topilsin. 

         Yechish



















2

2



1

1

1



1

1

1



х

х

х

х

х

у

.   Demak, 

2

1

1



х

х







 



Izoh.  Funksiyaning  hosilasi  topilsin  deyilganda  shu  funksiyaning  aniqlanish 

sohasiga tegishli istalgan nuqtada uning hosilasini topishni nazarda tutiladi. 



Ko‟rsatkichli funksiyaning hosilasi 

Teorema. а

х

   ko’rsatkichli funksiyaning hosilasi  



a

a

x

ln

 ga tengdir. 



 

Isboti.  у=а

х

  (а>0,  а≠1)  funksiyani  qaraymiz.  Uni    е  asosga  ko’ra  logarifmlasak    



a

х

у

ln

ln



  bo’ladi.    у  ni  х  ning    funksiyasi  hisoblab,  tenglamaning  ikkala  qismini  х 



bo’yicha  differensiallasak. 

a

у

у

ln



  bo’ladi.  Bundan   



a

y

y

ln



  yoki 


a

a

y

x

ln



      kelib 

chiqadi.  Demak, 

 


a

a

a

x

x

ln





     y=a

u

  murakkab funksiya uchun  

 

u

a

a

a

u

u



ln



   formulaga ega bo’lamiz. 

 

Xususiy  holda    а=е    bo’lsa   



1

ln



e

  bo’lib 

 

x

x

e

e



  va   

 


u

e

e

u

u



  formulalarga  ega 



bo’lamiz. 

   

3-misol.  y=2

х

 bo’lsa, 



y

 topilsin.        



Yechish.  

 


2

ln

2



2

x

x



          4-misol.  

2

3

x



y

 bo’lsa,  



y

 topilsin.     



Yechish.  

 


x

x

y

x

x

x

2

3



ln

3

)



(

3

ln



3

3

2



2

2

2









   



5-misol. 

3

x



e

y

 bo’lsa, 



y

 topilsin.      



Yechish.  

 


2

3

3



)

(

3



3

3

x



e

x

e

e

y

x

x

x





 

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari 



        Teorema.   sinx  funksiyaning hosilasi cosx ga teng. 

         Isboti. y=sinx funksiyani qaraymiz. x  ga  Δх orttirma bersak funksiya  

Δу=sin(x+ Δx)-sinx=2cos









2

х

х



х

 sin 

2

sin


2

cos


2

2

x



x

x

х

х

х













 



orttirma oladi. Shuning uchun 

х

у



















2

cos


2

2

sin



2

cos


2

sin


2

x

x

x

x

x

x

x

x

 

va   







x



y

sin


 =

.

cos



cos

1

2



cos

lim


2

2

sin



lim

0

0



x

x

x

x

x

x

x

x













 

Bu  yerda  birinchi  ajoyib  limitdan  hamda  cosx    funksiyaning  uzluksizligidan 



foydalanildi.  

        Shunday qilib



x



x

cos


sin



 

u

y

sin


(bunda u=u(x)) murakkab funksiya uchun 



u



u

u



cos



sin

 formulaga ega 

bo’lamiz. 

    

6-misol.   

sin




y

х

 funksiyaning hosilasini toping.  



Yechish.   

 


x

x

x

x

x

x

y

2

cos



2

1

cos



cos





 . 



    

7-misol.   

x

y

2

sin



 funksiyaning hosilasini toping. 



Yechish.  







x

x

x

x

x

x

x

y

2

sin



cos

sin


2

sin


sin

2

sin



sin

2

2











. 



   

8-misol.  

 


x

y

ln

sin



 funksiyaning hosilasini toping.  



Yechish.   

  


 

x

x

x

x

y

ln

cos



ln

ln

cos







    



20.6- teorema.  

x

cos


  funksiyaning hosilasi 

x

sin


 ga teng. 



    

Isboti. 

x

y

cos


funksiyani  qaraymiz.  Keltirish  formulasidan  foydalanib  uni 





 





х



x

y

2

sin



cos

 ko’rinishda yozamiz. Demak , 



x

x

х

х

х

x

y

sin


)

1

0



(

sin


2

2

cos



2

sin


)

(cos








 







 













 







, yoki 


.



sin

cos


x

x



 

u



y

cos


 (bunda   u=u(x)) murakkab funksiyani hosilasini topish uchun  



u



u

u





sin

cos


   formulaga ega bo’lamiz. 

     

9-misol.  

3

cos x



y

  funksiyaning hosilasini toping.  



Yechish.  

 


2

3

3



3

3

sin



sin

x

x

x

x

y







. 



    

10-misol.   

1

cos



2



х

y

  funksiyaning hosilasini toping. 



Yechish. 











)



1

(

1



2

1

1



sin

1

1



sin

'

2



2

2

2



2

х

х

х

х

х

y

 

1



1

sin


2

1

2



1

1

sin



2

2

2



2









x



x

x

x

x

x



   



Teorema.   tgx funksiyaning hosilasi  

x

2

cos



1

 ga teng. 



    

Isboti.    tgx=

x

x

cos


sin

    bo’lganligi  sababli  bo’linmani  hosilasini  topish  qoidasiga 

binoan   







x



x

cos


sin

=

x



x

x

x

x

2

cos



)

(cos


sin

cos


)

(sin




=

x



x

x

x

x

x

x

x

2

2



2

2

cos



sin

cos


cos

)

sin



(

sin


cos

cos






=

x

2

cos



1

.                                                  

Shunday  qilib, 

 


x

tgx

2

cos



1



.    y=tgu    (bunda,  u=u(x))  murakkab  funksiyani 

hosilasini topish uchun 

 

u

u

tgu

2

cos





 formulaga ega bo’lamiz. 

    

11-misol. y=tg

x

1

 funksiyani hosilasini toping. 



Yechish.  











x



x

x

x

y

1

cos



1

1

1



cos

1

2



2

2

 



   

12-misol.  y=tg

3

x

 funksiyani hosilasini toping. 

Yechish. 



x

x

x

tg

x

x

x

tg

x

tg

x

tg

x

tg

y

2

2



2

2

2



3

3

cos



2

3

)



(

cos


1

3

)



(

3

)



(











     



20.8-teorema.  ctgx  funksiyaning hosilasi  - 

x

2

sin



1

 ga teng. 

Bu teoremani isbotlashni o’quvchiga qoldiramiz. 

     

13-misol.   

1

2



2



х

ctg

y

  funksiyani hosilasini toping. 

         













)

1



2

(

1



2

2

1



1

2

sin



1

1

2



1

2

sin



1

2

2



2

2

2



2

2

x



x

x

x

x

y

 

1



2

1

2



sin

2

4



1

2

2



1

1

2



sin

1

2



2

2

2



2

2











x

x

x

x

x

x

. 



Teskari trigonometrik funksiyalar va ularning hosilalari 

1) у=arcsinx funksiya

siny


x

 funksiyani qaraymiz. Bu funksiya -



2

2





у

  kesmada 

monoton o’uvchi bo’lib uning qiymatlari 

1

1





х

 kesmani to’ldiradi.  

           Shuning 

uchun 


bu 

funksiya 

aniqlanish  sohasi 



1

,

1



  dan,  qiymatlari 



sohasi 









2



,

2



kesmadan  iborat  teskari 

funksiyaga ega (19.4-teorema). 

         Odatda  uni 

arcsinx

y



  ko’rinishda 

yozish  qabul  qilingan.  Demak 

siny

x



  va 

arcsinx


y

 



funksiyalar 

o’zaro 


teskari 

funksiyalar. 

arcsinx

y



  funksiyaning  grafigi   

101-chizmada tasvirlangan

1],

 

[-1,



D(arcsinx)

 



                                                                                  

101-chizma. 











2

,



2

=

E(arcsinx)





Teorema.  

arcsinx


 funksiyaning hosilasi 

2

1



1

х

 ga teng.. 



Isboti.

arcsinx


y



  funksiyani  qaraymiz. 

siny

x



  funksiya  bu  funksiyaga  teskari 

funksiya bo’ladi. 

O’zaro  teskari  funksiyani  hosilasini  topish  formulasi 

1

1



1

у

х

х

y

  (19.5.teorema)  dan  



foydalanamiz.   

2

2



2

1

1



1

sin


1

1

sin



1

1

cos



1

)

(sin



1

x

y

y

y

y

y

y









chunki 









2



,

2



 kesmada 

o

 

cosy



 bo’lgani uchun 



y

2

sin



1

 oldidagi plyus ishora olindi.    



Shunday qilib, 



.

1

1



arcsin

2

х



x



  

arcsinu



y

 (bunda, 



u(x)

u



) murakkab funksiya uchun 



2

1

1



arcsin

u

u

u



 

hosilani topish formulasiga ega bo’lamiz. 



    

 14-misol.   

x

arcsine





y

 funksiyani hosilasini toping. 



Yechish.       

х

х

х

x

е

е

е

е

y

2

2



1

)

(



1

)

(







.    

 

15-misol. 

x

y

arcsin


2

 funksiyani hosilasini toping. 



Yechish.   

.

)



1

(

1



1

2

1



2

)

(



1

)

(



2

)

x



2(arcsin

2

х



х

х

х

х

х

y









 


Download 0.58 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling