Oliy Matematika Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient. Dvirgentsiya va rotor. Ko’p o’zgaruvchili funksiya

Oliy Matematika Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient. Dvirgentsiya va rotor. Ko’p o’zgaruvchili funksiya

Oliy Matematika

Yo’nalish bo’yicha hosila.Gradient. Dvirgentsiya va rotor. Ko’p o’zgaruvchili funksiya

Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient. Endi z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari tushunchasining bir umumlashmasini kiritamiz. Buning uchun funksiya M(x,y) nuqtaning biror atrofida aniqlangan va bu nuqtadan o‘tuvchi l to‘g‘ri chiziq bo‘yicha yo‘nalish biror e={cosα, cosβ} birlik vektor orqali berilgan bo‘lsin. Bunda cosα, cosβ berilgan e
birlik vektorning mos ravishda OX va OY koordinata o‘qlari bilan hosil etgan α va β (β=900–α) burchaklar bilan aniqlanadi va yo‘naltiruvchi kosinuslar deb ataladi. Bu l to‘g‘ri chiziqda yotuvchi va M(x,y) nuqtaning atrofiga tegishli yana bir N(x+∆x,y+∆y) nuqtani qaraymiz. Bunda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi
ayirma orqali ifodalanadi va u funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha orttirmasi deyiladi. Bu yerda MN=∆l belgilash kiritamiz. Bunda N→M desak, ya’ni ∆x→0, ∆y→0 bo‘lsa, unda ∆l→0 bo‘ladi.
TA’RIF: Agar ∆l→0 bo‘lganda ∆lf /∆l nisbat chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati z=f(x,y) funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasi deb ataladi
∆l=∆xcosα+ ∆ycosβ
z=f(x,y)
Skalyar maydonning muhim tushunchasi berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosiladir. Faraz qilaylik, skalyar maydonning differensiallanuvchi funksiya berilgan bo‘lsin.
TA’RIF: Agar ∆l→0 bo‘lganda ∆lf /∆l nisbat chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati z=f(x,y) funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasi deb ataladi
z=f(x,y)
∆l=∆xcosα+ ∆ycosβ
Bu maydondagi biror nuqtani va shu nuqtadan chiquvchi biror nurni qaraymiz. Bu nurning o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklarini orqali belgilaymiz. Agar birlik vektor bu nur bo‘yicha yo‘nalgan bo‘lsa, u holda qo‘yidagiga ega bo‘lamiz:
.
Faraz qilaylik, biror nuqta shu nurda yotgan bo‘lsin. va nuqtalar orasidagi masofani bilan belgilaymiz: . Skalyar maydon funksiyasi qiymatlari ayirmasini shu funksiyaning yo‘nalishda shu nuqtalardagi ortirmasi deb ataymiz va bilan belgilaymiz. U holda
.
Ta’rif. funksiyalarning yo‘nalish bo‘yicha nuqtadagi hosilasi deb
limitga aytiladi, bu limit tarzida belgilanadi. Shunday qilib,
Agar nuqta tayinlangan bo‘lsa, u holda hosilaning kattaligi faqat nurning yo‘nalishigagina bog‘liq bo‘ladi.
E’tiboringiz uchun rahmat !
http://hozir.org