Optimal kvadratur formulalar

2 . Gauss kvadratur formulasi.
Gauss kvadrat formulasi Gauss tipidagi kvadratur formulalarning xususiy holi bo`lib, bu hol va [a, b]da oraliq cheklidir. Ixtiyoriy oraliqni chiziqli almashtirish yordamida [-1, 1] ga keltirish mumkin, shuning uchun ham integral

ko`rinishga keltirilgan deb faraz qilamiz.

Ma`lumki, [-1,1] oraliqda vazn bilan ortogonal bo`lgan funksiyalar sistemasini Lejandr ko`phadlari

t ashkil etadi. Bu ko`phadlarning ortogonal sistema tashkil etishi funksiyalarni yaqinlashishidan ravshandir. Lekin buni bevosita tekshirish ham mumkin. Ixtiyoriy k < n uchun, bo`laklab integrallash yo`li bilan ushbuga ega bo`lamiz:

(11)
O`ng tomondagi birinchi had nolga teng, shuning uchun:

Shunga o`xshash

Bundan ko`rinadiki, ixtiyoriy к = 0,1,...,п - 1 uchun S<sub>k</sub> = 0 bo`lib, L_n(x) ortogonal sistemani tashkil etadi. L_n(x) ko`phad <sub>n</sub>(x) dan faqat doimiy ko`paytuvchi bilan farq qiladi. (11) formuladan:

Demak,

kelib chiqadi. Endi (12) ni hisobga olib, bo`laklab integrallash yo`li bilan (S_k ni hisoblashdagidek)

ni hosil qilamiz. Ma`lumki,

Demak
Bizga L_n(l) va L_n(-1) ning qiymatlari kerak bo`ladi. Buni topish uchun Leybnits formulasidan foydalanamiz:

Bundan esa xususiy holda

ga ega bo`lamiz.
Endi Gauss kvadratur formulasining

tugunlari va koeffisiyentlarini aniqlashga o`tamiz.Tugunlarni topish uchun
L<sub>n</sub> (x) =0
algebraik tenglamaning barcha ildizlarini aniqlash kerak. Tugunlar aniqlangandan so`ng koeffisiyentlarni

yordamida aniqlash mumkin. Lekin bu formula hisoblash uchun noqulay, shuning uchun ham boshqa yo`l tutamiz. Buning uchun (16) formulani shunday ko`phadga qo`llaymizki o`ng tomonda faqat birgina had holsin. Masalan,

kabi olsak, bu yerda

u holda

chunki (15) ga ko`ra . Ikkinchi tomondan, (16)ga ko`ra

chunki (16) dagi holgan hadlar nolga aylanadi. Quyidagi tenglikni

i kki marta differensiallab, х =х_к deb olsak

ga ega bo`lamiz. Bu qiymatlarni (18) ga qo`yib, so`ngra uni (17) bilan taqqoslab, quyidagini topamiz:

Ma`lumki, Lejandr ko`phadi L_n(x) ushbu

tenglamani qanoatlantiradi. Buni bevosita tekshirib ko`rish mumkin. Bu tenglamada х - х_к deb va L_n(x_k) = 0 ni hisobga olsak

kelib chiqadi. Bundan esa

Bu ifodani (5.9) ga qo`yib, А<sub>к</sub> uchun kerakli formulaga ega bo`lamiz:

Endi Gauss formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Faraz qilaylik f(x) funksiya [-1,1] oraliqda 2n - tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lsin. U holda 3-dagi 3-teoremaga ko`ra

Bu yerda (13) va (14) formulalarga ko`ra

Shunday qilib, Gauss formulasining qoldiq hadi

bo`ladi
Quyida Gauss formulasining tugunlari, koeffisiyentlari va qoldiq hadlari n=1,2, 3, 4, 5, 6 uchun keltirilgan:
n= 1


V.I. Krilovning [3] kitobida Gauss formulasining tugunlari va koeffisiyentlari p = 1(1)16 uchun o`n beshta o`nli rahami bilan berilgan. Ixtiyoriy [a, b] oraliq bo`yicha olingan

integralni
t=
almashtirish yordamida [-1,1] oraliqqa keltirish mumkin:

Bu integralga Gauss formulasini qo`llasak

ni hosil qilamiz, bu yerda

х_к va A lar [-1,1] uchun qurilgan Gauss formulasining tugunlari va koeffisiyentlaridir.
Misol. Gauss formulasi yordamida ushbu

integralni hisoblaylik. Avvalo almashtirish yordamida

ko`rinishga keltiramiz, so`ngra n= 4 deb hisoblashlarni olti xona aniqlikda bajaramiz: