O‘qituvchilar o‘rtasida matematika fanidan respublika olimpiadasi Masalalar

O‘QITUVCHILAR O‘RTASIDA MATEMATIKA FANIDAN
RESPUBLIKA OLIMPIADASI


1-KUN



O‘qituvchilar o‘rtasida matematika fanidan respublika olimpiadasi

Masalalar

1. 
   (8 ball) natural sonlar uchun ifoda ga bo’linsa, ifoda ham yig’indiga bo’linishini isbotlang.
   
2. 
   (8 ball) kvadrat tenglama ikkita musbat ildizga ega bo’ladigan barcha juftliklar to’plamini chizib ko’rsating.
   
3. 
   (10 ball) a,b,c nolga teng bo’lmagan haqiqiy sonlar uchun bo’lsa, ,
   va sonlaridan ko’pi bilan ikkitasi 2 dan katta bo’la olishi mumkinligini isbotlang.
   
4. 
   (10 ball) uchburchakka ichki chizilgan aylana va tomonlarga mos ravishda va nuqtalarda urinadi. Uchburchakning uchidan chiquvchi medianasi kesmani nuqtada kesadi. o’tmas burchakli ekanini isbotlang.
   
5. 
   (14 ball) jadvalning kataklari bir nechta ranga bo’yalgan. Ma’lumki, har bir qatorda va har bir ustunda ko’pi bilan beshta har xil rang uchraydi. Jadvalda eng ko’pi bilan nechta rang bo’lishi mumkin?
   

Задачи

1. 
   (8 баллов) Доказать, что если для натуральных чисел выражение
   делится на , то тоже делится на .
   
2. 
   (8 баллов) Нарисовать множество всех пар , для которых квадратное уравнение имеет два положительных корня.
   
3. 
   (10 баллов) Пусть, для действительных чисел a,b,c отличных от нуля, верно . Докажите, что среди чисел , и не более два из них больше 2.
   
4. 
   (10 баллов) В треугольнике вписанная окружность касается сторон и в точках и соответственно. Медиана треугольника из вершины пересекает отрезок в точке . Докажите, что угол тупой.
   
5. 
   (14 баллов) Клетки таблицы покрашены в несколько цветов. Известно, что в каждой строки и каждом столбце присутствуют не более пяти различных цветов. Какое наибольшее число цветов может быть таблице?
   

FAN OLIMPIADALARI BO‘YICHA IQTIDORLI O‘QUVCHILAR BILAN ISHLASH DEPARTAMENTI