O’quv ishlari bo’yicha prorektor prof. Soliyev A. S

5-Mavzu: O’rtacha miqdorlar. Moda va Mediana.
Reja:
O’rtacha arifmetik

1. 
   O’rtacha garmonik
   
2. 
   O’rtacha xronologik
   
3. 
   O’rtacha kvadratik
   
4. 
   O’rtacha geometrik
   

I.Tayanch tushunchalar:
O’rtacha miqdor, moda, mediana, garmonik, xronologik kvadratik, geometrik, sigma, progressiv, variant, vazn, salmoq.
II. Darsning jihozi: Ma’ruzalar matni darsliklar, o’quv majmua, testlar yozilgan kartochkalar, doska, bo’r.
III. Darsning maqsadi: Talabalarga mutlaq va nisbiy miqdorlar haqida umumiy tushuncha, garmonik, xronologik kvadratik, geometrik, sigma, progressiv, haqida tushuncha berish.
IV. Tashkiliy qism: Talabalar bilan salomlashib, navbatchi yordamida davomatni aniqlash, jahon yangiliklaridan so’rash, jurnal bilan ishlash.
V. Yangi mavzu bayoni. Har qanday o’rtachani hisoblash uchun quyidagilar bo’lishi shart:

1. 
   O’rtalashtirilayotgan belgi va uning xillari – X _1, X₂, X_3… X_n
   
2. 
   To’plamda o’rganilayotgan belgilar soni yoki alohida miqdorlarning uchrashish tezligi, vazni –f
   
3. 
   O’rtacha miqdori – X
   
4. 
   Yig’indi (sigma) – E
   

O’rtacha arifmetik miqdor o’rtachaning eng soda va amaliyotda juda keng qo’llaniladigan turidir. U oddiy va tortilgan ko’rinishda bo’ladi.
O’rtalashtirilayotgan belgi miqdorlari bir yoki teng marta takrorlangan paytda oddiy arifmetik o’rtacha qo’llaniladi. Uni aniqlash uchun dastlab o’rtalashtirilayotgan alohida miqdorlar (X) yig’indisi (sigma)E aniqlanadi, so’ngra olingan natija ularning soni (f) ga bo’linadi.
Buni quyidagicha yozish mumkin:
X _{of og} =x₁ +x ₂ + …+ x _n = E_x
f f
1.Oddiy arifmetik o’rtacha o’rtalashtirilayotgan belgi miqdorlari bir yoki teng marta takrorlangan paytda qo’llaniladi. Uni aniqlash uchun dastlab o’rtalashtirilayotgan alohida miqdorlar (x) yig’indisi (Ye-sigma) aniqlanadi. So’ngra olingan natija ularning soni (f) ga bo’linadi.
X _{of og} =x₁f₁ +x₂ f₂ + x₃f₃ + x_n f_n = E_x f
f₁+ f₂ + f₃ +… f_n E f
[ O’rtacha miqdorni hisoblashda quyidagi asosiy qoidalarga rioya qilish lozim:
-O’rtalashtirilayotgan yakka miqdorlar bir xilturdagi to’plamga xos bo’lishi va mohiyati jihatdan tubdan farq qilmasligi shart, miqdoran esa bir-biridan tafovutda bo’lib, ularning soni yetarlicha ko’p bo’lishi lozim. Agar o’rtacha mohiyati jihatdan tubdan farq qiluvchi yakka miqdorlar bo’yicha hisoblansa, u holda bu o’rtacha o’z mazmunini yo’qotadi va soxta ko’rsatkichga aylanadi.
-O’rtacha miqdorlar yetarli darajada ulkan bo’lgan bir turdagi ommaviy to’plamlar uchun hisoblanishi kerak.
-O’rtacha miqdor faqat umumiy to’plam uchun hisoblanmasdan, balki to’plamning ayrim guruhlari, qismlari uchun ham hisoblanishi kerak. Bunday vazifa dastlab umumiy to’plamning mohiyati jihatidan o’xshash bo’lgan guruhlarga ajratish, so’ngra esa guruhlar uchun o’rtachalarini hisoblash yo’li bilan bajariladi. Shu yo’sinda hisoblangan guruhlar o’rtachalari umumiy o’rtacha ochib bera olmaydigan tomonlarni ochib beradi].
M.: O’tgan yili Toshkent viloyatida paxta yetishtirish rejasi 102,8 % bajarilgan. Bu umumiy o’rtacha, lekin ayrim tumanlarda shu reja umumiy o’rtachadan yuqori quyi Chirchiq tumanida 107,7 %, Yuqori Chirchiq 115,1 % ayrimlarida esa bu reja umuman bajarilmagan.
Bo’ka 86,1 %, O’rta Chirchiq 81,7%.
Amaliy ishda umumiy o’rtacha bilan cheklanib bo’lmaydi, chunki umumiy o’rtacha ko’p yakka miqdorlar asosida hisoblanib, nisbatan tafovutda bo’ladi. Natijada umumiy o’rtacha orqasida qoloq xo’jaliklar bekinib yotadi, ilg’orlari esa ko’rinmaydi. O’rtacha miqdorlarni hisoblash bevosita guruhlash usulini qo’llash bilan birgalikda amalga oshirilishi kerak.
[- o’rtacha hisoblanishi lozim bo’lgan belgi muhim bo’lishi kerak. Aks holda o’rtacha ahamiyatsiz bo’lib qoladi. M: o’rtacha miqdorlar sifat jihatdan o’zgaruvchan belgilar bo’yicha hisoblanishi mumkin emas. «O’rtacha millat», «o’rtacha muhit»]…
Statistikada o’rtacha miqdorlarning turli shakllari mavjud:
-O’rtacha arifmetik
-O’rtacha garmonik
-O’rtacha xronologik
-O’rtacha kvadratik
-O’rtacha geometrik
[U yoki bu o’rtachani qo’llash o’rganilayotgan xodisa harakteriga bog’liq. Har qanday o’rtachani hisoblash uchun quyidagilar bo’lishi shart:
-O’rtalashtirilayotgan belgi va uning variantlari – x₁, x₂, x_3… x_n ]
-To’plamda o’rganilayotgan belgilar soni va alohida miqdorlarning uchrashish tezligi, vazni – f;
-O’rtacha miqdor – x
-Yig’indi -∑
O’rtacha arifmetik miqdor – o’rtachaning eng sodda va amaliyotda juda keng qo’llaniladigan turidir].
U oddiy va tortilgan ko’rinishda bo’ladi.
[oddiy arifmetik o’rtacha o’rtalashtirilayotgan belgi miqdorlari bir yoki teng marta takrorlangan paytda qo’llaniladi. Uni aniqlash uchun dastlab o’rtalashtirilayotgan alohida miqdorlar yig’indisi aniqlanadi, so’ngra olingan natija ularning soniga bo’linadi.
X _{of og} =x₁, x₂, x_3… x_n =∑ x]
f f
[O’rtacha arifmetik miqdor faqat umumiy to’plam uchun xos bo’lgan o’rtachani tavsiflaydi. Ammo Amaliy ishda umumiy o’rtachani hisoblash bilan birgalikda shu umumiy to’plam uchun progressiv va regressiv o’rtacha ham hisoblanadi.
Progressiv o’rtacha umumiy to’plam o’rtachasini emas, balki shu o’rtachadan yuqori bo’lgan birliklar o’rtachasini tavsiflaydi]. Keyingi beshta ishchi bo’yicha o’rtachani aniqlansa, bu o’rtacha progressiv o’rtacha bo’ladi.
X _{of og} =∑ x f=18+18+20+20+18=94=18,8
∑ f 5 5
Agar o’rtacha (17,7) dan kam detal ishlab chiqargan ishchilar bo’yicha aniqlansa (bu o’rtacha regressiv o’rtacha bo’ladi).

X _{of og} =∑ x f=16+17+17+16+17=83=16,6

∑ f 5 5
Ayrim hollarda umumiy o’rtacha guruhiy va xususiy o’rtachalar asosida ham hisoblanishi mumkin. M.: uch guruh Paxtachilik jamoa xo’jaliklari bo’yicha quyidagi ma’lumotlar keltirilgan.

Xo’jalik guruhlari	O’rtacha paxta hosildorligi osildorligi s. x1	Ekin maydoni A1	Yalpi hosil x1 f1
Qoloq xo’jaliklar	15	6500	97500
O’rtacha xo’jaliklar	20	5000	11000
Ilg’or xo’jaliklar	45	8000	360000
Jami	?	19500	567500

Bu yerda o’rtacha hosildorlik jamoa xo’jaliklari guruhlari bo’yicha keltirilgan bo’lib, umumiy o’rtacha hosildorlik noma’lum. Anna shunday hollarda umumiy o’rtachani hisoblash uchun guruhiy o’rtachalar

Hisoblash uchun guruhiy o’rtachalar (H)ni ekin maydoni (f)ni ko’paytirib, ularni yig’indisini vaznlar yig’indisiga bo’lish kerak.
O’rtacha arifmetik miqdor o’rtacha hisoblanishi lozim bo’lgan belgining variantlari (X) va ularni vaznlari (f) mavjud bo’lgan taqdirdagina qo’llaniladi].
Ammo ayrim hollarda belgining alohida variantlari (X) ma’lum bo’la turib, ularning vaznlari (f)noma’lum va f lar o’rniga esa X bilan f ko’paytmasi (Xf) keltirilgan bo’ladi. Bunday hollarda o’rtachani hisoblash uchun o’rtacha garmonik formulasi qo’llaniladi.
Statistikada o’rtacha garmonik miqdor o’rtalashtirilayotgan miqdorlarning teskari darajalari asosida hisoblangan o’rtacha arifmetik teskari darajasiga tengdir.
O’rtacha garmonik ham oddiy va tortilgan formulaga ega
X_garm.od =1+1+1+….+1 = n
1+1+1+….1 ∑ 1
X₁+x₂+x₃+ x_n x
h=alohida miqdorlar soni
= alohida miqdorlar teskari darajalarining yig’indisi.
Misol. Ikkita traktorchi 10 soat yer haydadi. Haydash davomida 1 chi traktorchi har gektar yerga 30 minut, 2 chi traktorchi esa 20 minutdan vaqt sarfladi. Har ikkala traktorchi o’rtacha 1 gektarga qancha vaqt sarfladi?
Agar X_garm.od = n
∑ 1 = 1+1 =1+1 = 2
x 1+1 = 1+1 = 2 =24
30+20 0,033+0,050 0,083
[Modda deyilganda to’plamda eng katta songa yoki salmoqqa ega bo’lgan ko’rsatkich tushuniladi. U oraliq va oraliq bo’lmagan qatorlar uchun aniqlanishi mumkin.
Oraliq bo’lmagan (diskret)qatorlarda modani aniqlashda hyech qanday qiyinchilikka duch kelinmaydi.
Oraliq qatorlarda modani hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi].

[M₀=x₀ + d *(f₁ - f₂

(f₁+ f₂) (f₂ -f₃)
Erkak oyoq kiyimi o’lchami

38	39	40	41	42	43	44	45
10	40	58	180	61	30	5	2

Sotilgan kiyim soni
Bu yerda: M₀ = Moda
X₀ - Moda oralig’ining quyi chegarasi.
d - Moda oralig’i kattaligi.
F₁ - Moda oralig’ining quyi chegarasidagi vazn.
f ₂ - Modani o’z ichiga olgan oraliqning vazni.
f₃- Moda(ni) oralig’ining yuqori chegarasidagi vazn]
Mediana deyilganda To’plamni teng ikkiga bo’luvchi ko’rsatkich tushuniladi. Oraliq qatorlarda medianani hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:
M_e = x_o +d ∑ 1 – S_m-1
F_m
Bu yerda: M_e - Mediana
X_o- Mediana orlig’ining quyi chegarasi
d - Mediana oralig’i
∑f - Variantlar soni yig’indisi.
S_m-1 - Mediana oralig’idan oldingi oraliqlar.
f_m - Vaznlar yig’indisi.