3-misol. Aniqintegralni hisoblang: .
Yechish. deb almashtirish bajaramiz. U holda , da va da ni hosil qilamiz. Natijada, (14.9) formulaga koʻra,
.◄
Agar va funksiyalar kesmada uzluksiz hosilalarga ega boʻlsa, quyidagi
yoki qisqacha
aniq integralda boʻlaklab integrallash formulasi oʻrinli.
4-misol. Aniq integralni hisoblang: .
Yechish.
.
II-bob. Aniq integralning tadbiqlari.
2.1.Yassi shakllar yuzlarini hisoblash.
Yuqorida berilganidek, kesmada boʻlsa, aniq integral geometrik nuqtai nazardan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini ifodalaydi. Ixtiyoriy yassi shaklni esa bir nechta egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining yig‘indisi yoki ayirmasi deb qarash mumkin. Bundan har qanday yassi shakllarning yuzini aniq integral yordamida hisoblash mumkinligi kelib chiqadi.
1-misol. Berilgan funksiya grafigi, koordinata chizig‘i va toʻg‘ri chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzini hisoblang.
Yechish. Avval berilgan chiziqlar bilan chegaralangan yassi shaklni yasaymiz
(1-chizma).Izlanayotgan yuza yoki dan iborat,
. ◄
Umumiy holda, agar yassi shakl ikkita , funksiyalar grafiklari va vertikal chiziqlar bilan chegaralangan boʻlib, boʻlsa, bu yassi figura yuzi
formula bilan hisoblanadi.
Agar egri chiziqli trapetsiyaning chegarasidagi egri chiziq parametrik tenglamalar bilan berilsa, u holda bu yassi shakl yuzi
formula bilan hisoblanadi. Bu yerda va chegara tenglamalardan aniqlanadi.
2-misol. Ellips chizig‘i bilan chegaralangan shakl yuzuni toping.
Yechish. Avval ellipsning parametrik tenglamasini yozamiz:
.
Shaklning simmetrikligini va (15.2) formulani e’tiborga olib quyidagini hosil qilamiz:
.
Egri chiziq qutb koordinatalar sistemasidagi tenglama bilan berilgan boʻlsin. Agar yassi shakl tenglama bilan berilgan egri chiziq va qutb burchaklariga mos keluvchi , qutb radiuslari bilan chegaralangan egri chiziqli sektor boʻlsa, uning yuzi
formula bilan hisoblanadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
