Orqali belgilaylik, S

5.5. n-DARAJALI O‘RNIGA QO‘YISHLAR. KVADRAT MATRITSANING DETERMINANTI

Aytaylik M={1,2,…,n}N bo‘lsin. M to‘plamdagi n-darajali o‘rniga qo‘yish deb ixtiyoriy : MM biektiv akslantirishga aytiladi.

M to‘plamdagi barcha n – darajali o‘rniga qo‘yishlarning (biektiv akslantirishlarning) to‘plamini S_n orqali belgilaylik, S_n ning hamma elementlarining soni n! ga teng.
Agar (S_n) bo‘lsa, uni ko‘rinishda yozish qulaydir.  - n – darajali o‘rniga qo‘yishning birinchi qatoridagi elementlarni 1,2,...,n qay tartibda yozilishining ahamiyati yo‘q, lekin ikkinchi qatorning yozlishida birinchi qatordagi kM ning ostiga (k)M ni yozilishi shart.
S_n-biektiv akslantirish ekanligidan k,mM lar uchun (k)= (m)k=m.
(,S_n) bo‘lsa,  va  biektiv akslantirishlarning kompozitsiyasini  va  -n – darajali o‘ringaqo‘yishlarni ko‘paytmasi deymiz va · yoki ko‘rinishda belgilaymiz, ya’ni (·)(i)=((i)), iM. (iM) lar uchun (i)=(i) bo‘lsa,  va  lani teng deymiz.
M ni o‘zini o‘ziga ayniy akslantirishni  orqali belgilaymiz, ya’ni uchun == tenglik o‘rniga ega - biektiv akslantirish ekanligidan ^-1 mavjud va u ham bietiv akslantirishdir. SHuning uchun ham ^-1S_n va ^-1=^-1=. ^-1 ni ko‘rinishi

bo‘ladi. Aytilganlardan ko‘rinadiki n;·;> gruppa bo‘ladi, bu gruppani n- darajali simmetrik gruppa deyiladi.
{i,k}M, ik, S_n bo‘lsin. Agar i-k va (i)-(k) bir hil ishorali bo‘lsa, {i,k} –tartiblashgan juftlikni to‘g‘ri deyiladi, agar i-k va (i)- (k) lar har hil ishorali bo‘lsa, {i,k} juftlikni  - o‘ringa qo‘yishga nisbatan noto‘g‘ri, yoki  da inversiyani tashkil qiladi, yoki  dagi tartibsizlik deyiladiyu
Agar S_n shrniga qo‘yishdagi inversiyalar soni juft bo‘lsa,  ni juft, agar inversiyalar soni toq bo‘lsa,  ni toq o‘rniga qo‘yish deyiladi.

o‘rniga qo‘yishni transpozisiya deyiladi. boshqacha aytganda jÎS_n transpozisiya bo‘lsa, (i)=k, (k)=i, "(mÎM\{I,k}) j(m)=m. (S_n)

Aniqki