O`rta maxsus ta`lim vazirligi

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA
O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI


Buxoro davlat pedagogika instituti
Matematika va informatika
yo`nalishi 2MI-22IM guruh talabasi
Yusupova Ozodaning
“Geometriya” fani
“Tekislikning koordinatalar sestemasiga nisbatan vaziyatlar.Ikkala va uchla tekislikning o’zaro joylashuvi”
mavzusida tayyorlagan
MUSTAQIL ISHI

MAVZU : Tekislikning koordinatalar sistemasiga nisbatan vaziyatini tekshirish. Ikkita va uchta tekislikning o’zaro joylashuvi.Tekisliklar dastasi va bog’lami.

REJA

1.Tekislikning koordinatalar sistemasiga nisbatan vaziyatini tekshirish
2.Ikkita va uchta tekislikning o’zaro joylashuvi
3.Tekisliklar dastasi va bog’lami
1.Tekislik va fazoda affin koordinatalar sistemasi. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.

Tekislikda O nuqtaga qo’yilgan ikkita bazis vektorlar berilgan bo’lsin (16-chizma). Bu vektorlar orqali o’tuvchi va to’g’ri chiziqlarni olamiz ( ).

1 - Ta’rif. Musbat yo’nalishlari mos ravishda vektorlar bilan aniqlanuvchi va to’g’ri chiziqlardan iborat bo’lgan sistema tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi deyiladi va 0, yoki
(0, ) ko’rinishda belgilanadi. 0 nuqta koordinatalar boshi vektorlarni koordinat vektorlar deyiladi; to’g’ri chiziqni Ox bilan belgilab absissalar o’qi, to’g’ri chiziqni esa Oy bilan belgilab ordinatalar o’qi deb ataladi.
T ekislikda (0, ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Shu tekislikda birorta N nuqtani olaylik (2- chizma ) vektorni N nuqtaning radius vektori deyiladi.
vektorni hamma vaqt bazis
vektorlari buyicha yoyib yozish mumkin:
(8.1 )
sonlar radius
vektorning koordinatalari deyiladi va kabi yoziladi.
Radius vektorning koordinatalari N nuqtaning ham koordinatalari deyiladi va uni N( ) kabi belgilaymiz. Bunda soni N nuqtaning absissasi yoki birinchi koordinatasi, son esa N nuqtaning ordinatasi yoki ikkinchi koordinatasi deyiladi.
Xullas, tekislikda affin koordinatalar sistemasi berilsa, istalgan N nuqtaga uning koordinatalari bo’lmish bir juft sonlar mos keladi, aksincha, ma’lum tartibda olingan sonlariga, koordinatalari shu sonlardan iborat bitta N nuqta mos keladi.
Haqiqatan, tekislikda (0, ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin (17-chizma) absissalar o’qiga O nuqtadan boshlab vektorni, ordinatalar o’qiga esa vektorlarni qo’yib, N₁ va N₂ nuqtalardan Oy va Ox o’qlarga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz, ularning kesishgan nuqtasi izlanayotgan N nuqta bo’ladi, chunki
Shunday qilib, (0, ) ga nisbatan

Agar =0 bo’lsa
Agar =0 bo’lsa , ya’ni o’qida yotadi.
Shunday qilib, absissa o’qida yotgan nuqta koordinatalari ( , 0) va ordinata o’qida yotgan nuqtaning koordinatalari (0, ) bo’ladi. Koordinatalar boshining koordinatalari O(0, 0) bo’ladi.
Koordinat o’qlari tekislikni to’rtta qismga ajratadi. Har bir qismni chorak deyiladi.
M(x,y) nuqta koordinat o’qlarida yotmasa uning qaysi chorakda yotishini x, y sonlarning ishorasiga qarab aniqlash mumkin.
1 -masala. AB vektorning boshi A(x₁, y₁) va oxiri B(x₂, y₂) koordinatalari bilan berilgan bo’lsa, vektor koordinatasini toping.(18-chizma)
_Yechish: bundan

2-misol. Affin koordinatalar sistemasi berilgan A(3, -2), B(0, 3), C(-2, 0) nuqtalarni yasang.

Y echish. A nuqtani yasash uchun vektorni yasaymiz.
Buning uchun 0 nuqtadan boshlab vektorga kollinear vektorni, vektorga kollinear vektorlarni yasaymiz.
Bu vektorlarning yig’indisini yasasak vektorga ega bo’lamiz va A nuqtani topamiz.
Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.

Bizga tekislikda ikkita turli va nuqtalar berilgan bo’lsin. kesmani nisbatda bo’luvchi nuqtaning va koordinatalarini topaylik.

Aytaylik kesma o’qiga parallel bo’lmasin. nuqtalarning o’qdagi proyeksiyalari mos ravishda bo’lsin. U holda

o’rinliligidan va ekanidan quyidagiga ega bo’lamiz.

nuqta va nuqtalar orasida yotganidan va ifodalar bir xil ishorali bo’ladi. Demak

Bundan ni topsak:

Xuddi shunga o’xshash

Qisqalik uchun u holda
Yuqoridagi belgilashlarga ko’ra
,

Boshlang’ich nuqtasi A(x₁) oxirgi nuqtasi B(x₂) bo’lgan AB kesmani AC /CB=λ (λ -1) nisbatda bo’luvchi C(x) nuqtaning koordinatasini topish.

, .

, _,

Agar λ >0 bo’lsa, AC va CB kesmalarning yo’nalishi bir xil, λ <0 bulsa, qarama-qarshi buladi va aksincha. Agar A(x₁) va B(x₂) ikki ixtiyoriy nuqta va C(x) AB kesmaning o’rtasi bo’lsa, u holda
.

2.To’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi.

Affin koordinatalar sistemasining koordinat vektori ortogonal bazisni tashkil qilsa, ya’ni bo’lsa, u holda affin koordinatalar sistemasi
dekart koordinatalar s istemasi bo’ladi. Bunday koordinatalar sistemasini ko’rinishida belgilaymiz (22-chizma).
Bu yerda .
Dekart koordinat sistemasi affin koordinatalar sistemasining xususiy holi bo’lgani uchun affin koordinatalar sistemasiga nisbatan o’rinli mulohazalar Dekart koordinatalar sistemasida ham o’z kuchini saqlaydi.
Ammo dekart koordinatalar sistemada o’rinli bo’lgan ba’zi mulohazalar affinda o’rinli bo’lavermaydi.
Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi ikkita o’zaro perpendikulyar o’qlar va chiziqli birlik masshtab berilishi bilan aniqlanadi.
O’qlarning kesishish nuqtasi – 0 koordinatalar boshi, birinchi o’q – Ox yoki abssissalar o’qi, ikkinchisini esa – Oy yoki ordinatalar o’qi deb ataladi.
Tekislikda ixtiyoriy M nuqta olamiz. M nuqtaning Ox va Oy o’qlarga proyeksiyalarini mos ravishda M_x va M_y deb belgilaymiz. va yo’nalgan kesmalarning kattaliklari x va y sonlar, M nuqtaning to’g’ri burchakli dekart koordinatalari deyiladi va M (x; y) kabi yoziladi. x - M nuqtaning absissasi, y- M nuqtaning ordinatasi deyiladi.

Koordinata o’qlari tekislikni 4 ta kvadrantga bo’ladi.
I
kki nuqta orasidagi masofa. A(x₁,y₁) va B(x₂,y₂) nuqtalar berilgan bo’lib, bunda x₁≠ x₂ , y₁ ≠ y₂ bo’lsin.
A va B nuqtalar orasidagi masofa yo’nalgan kesma uzunligiga teng. Bu esa o’z navbatida ACB to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga teng.
Uchburchakning Ox o’qiga parallel tomonining uzunligi, kesmaning Ox o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani │x₂ - x₁ │ ga teng. Xuddi shuningdek, uning Oy o’qiga parallel tomonining uzunligi kesmaning Oy o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani │у₂ - у₁ │ ga teng.
To’g’ri burchakli ACB uchburchakka Pifagor teoremasini tadbiq etib quyidagini topamiz: │ │²= (x₂ - x₁)²₊( у₂ - у₁)²

Kesmani berilgan nisbatda bo’lish. To’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida A(x₁,y₁) va B(x₂,y₂) ikki nuqta berilgan bo’lsin. Berilgan nuqtalar orqali to’g’ri chiziq o’tkazib, unda musbat yo’nalishni aniqlasak, bu to’g’ri chiziq o’qqa aylanadi. Bu o’q koordinata o’qlariga parallel emas deb olaylik. Olingan o’qda A va B nuqtalar yo’nalgan kesmani aniqlaydi. Faraz qilaylik, М (х, у) В nuqtadan farqli bo’lgan (aytilgan o’qdagi) nuqta bo’lsin. kesmani λ =AМ : МВ nisbatda bo’luvchi M nuqtaning koordinatasini topish talab etiladi.

A, M va B nuqtalarni koordinata o’qlariga proyeksiyalaymiz: Ular A_x, M_x,B_x, A_y, M_y, B_y lardan iborat bo’ladi.
A_x M_x B_x
M_x nuqta yo’nalgan kesmani λ nisbatda bo’ladi, yani



tenglikdan
ekanligini topamiz.
Xuddi shu yo’l bilan ni topamiz.
Bu yerda x, y berilgan kesmani λ nisbatda bo’luvchi M (x; y) nuqtaning koordinatalari bo’ladi.
Agar M (x; y) nuqta yo’nalgan kesmaning o’rtasida bo’lsa λ =1 bo’lib yuqoridagi formulalar quyidagi
ko’rinishni oladi:

3.Ikkita nuqta orasidagi masofa. Tekislikda ikkita A(x₁ y₁ va B(x₂ y₂) nuqta orasidagi masofa

formula bilan hisoblanadi.

1- misol, A(-2; 4) va B(2; 1) nuqtalar orasidagi masofani toping

Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish. Tekishkda uchlari A(x₁ ; y₁) va B(x₂ y₂,) nuqtalarda bo‘lgan AB kesmani nisbatda bo ‘luvchi N(x; y) nuqtaning koordinatalari

f ormulalar bo'yicha topiladi. Agar N nuqta AB kesmani teng ikkiga bo‘Isa, = 1 bo‘lib, (1) formulalar

ko‘rinishda bodadi. (2) — kesmaning o ‘rtasini topish formulalari ham deyiladi.

2- misol. A( 1; 4) va B(4; -14) nuqtalar bilan chegaralangan kesma C(x_c, y_c) va D(x_D, y_D) nuqtalar orqali uchta teng bodakka bo‘lingan. C va D nuqtalaming koordinatalarini toping.

C nuqta AB kesmani nisbatda bo'ladi. Binobarin (1) formulaga ko‘ra:

S hunday qilib, C(2; —2).

D nuqta AB kesmani nisbatda bo‘ladi. Bu yerdan



Demak, D (3; —8).

Tekislikning yo’nalishi (orientatsiyasi).

Ikki o’lchovli V vektor fazoning ikkita bazisi ( ), ( ) bo’lsin. Ikkinchi bazis vektorlarini birinchi bazis vektorlari bo’yicha yoyib yozamiz.
(12.1)