"Основные аспекты управления процессами и объектами в машиностроении"

4.3. Алгоритмы настройки параметров регулятора
Рассмотрим более подробно одну из наиболее часто используе­мых в АСУ ТП инвариантную адаптивную АСУ ТП с моделью, струк­турная схема которой при­ведена на рис. 29. Ее ос­новной контур образован регулятором Р, цифро-аналоговым преобра

Рис.29 Структурная схема инвариантной адаптивной АСУ ТП с моделью объекта регулирования
зователем ЦАП, исполнительным ор­ганом ИО, объектом регу­лирования ОР, аналого-цифровым преобразовате­лем АЦП, перестраивае­мым цифровым фильтром ПЦФ. Входными сигнала­ми являются команда g, возмущение f; выходным сигналом — х, а проме­жуточными сигналами — ошибка  и управление и. В этой схеме с помощью беспоиско­вой адаптивной идентификации определяются параметры объекта регулирования ОР, а затем с помощью блока настройки БН вычисляются настраиваемые параметры r₁ регулятора Р и г₂ пере­страиваемого цифрового фильтра ПЦФ. Контуры адаптации обра-зованы настраиваемой моделью объекта НМО, блоком формирова­ния алгоритма идентификации БФАИ, исполнительным органом блока идентификации ИОБИ и блоком настройки БН. Выходные величины АЦП и НМО соответственно у и у_м. Структура настраивае­мой модели объекта выбирается подобной структуре соединения исполнительный орган — объект регулирования.
В блоке формирования алгоритма идентификации формируется дискретная функция качества, представляющая собой нелинейную функцию ошибки идентификации е и производных выходной вели­чины, управляющих и возмущающих воздействий. В исполнитель­ном органе блока иденти­фикации осуществляются интегрирование сформиро­ванных функций качества и нелинейное формирова­ние закона настройки па­раметров в зависимости от текущих значений управ­ляющего сигнала, выхода объекта и значений на­страиваемых параметров . В блоке диаг­ностики БД вычисленные значения параметров q сравниваются с предельно допустимыми q_п, что позволяет выявлять предаварийные состояния объекта и инфор­мировать о них оператора технологической установки.
Статические характеристики адаптации хранятся в памяти УВМ в виде таблиц или вычисляются в реальном масштабе времени в блоке настройки БН. Программа БН является наиболее сложной в вычис­лительном отношении, поскольку в общем случае требует вычисле­ния псевдообратных матриц. Однако в том случае, когда число настраиваемых параметров регулятора ограничивается одним-двумя, которые, в свою очередь, зависят от одного-двух характерных технологических параметров, статические характеристики адапта­ции могут быть заранее вычислены и представлены в виде таблиц, что в значительной мере упрощает их реализацию.

Рис.30 Структурная схема основного контура адаптивной АСУ ТП
Структурная схема основного контура адаптивной АСУ ТП, ре­шающей задачу адаптивной стабилизации многосвязного объекта регулирования, изображена на рис. 30. Предположим, что дви­жение системы описывается следующими уравнениями пространства состояний:
технологический объект регулирования вместе с исполнительным органом
x₀' = A₀(t)x₀ + B₀(t)u (11)
регулятор Р

u = K(t) (12)

элемент сравнения
 = g - y (13)
Выше x₀, u, , g, y — векторы состояния объекта, управления, ошибки, уставки регулятора, обратной связи размерностей п, т. т, т, т соответственно A₀(t) = a_0ij (t), B₀(t) = b_0ij (t) — матрицы параметров объекта размерности соответственно [n  п] и [п  т]. Предполагается, что все состояния объекта доступны наблюдению, а элементы матриц A₀ и B₀ не известны по величине. Предполагается также, что во всем диапазоне изменения переменных параметров объект управления полностью управляем.
Обозначим К (t) и К* (t) матрицы параметров регулятора r₁ и обратной связи r₂. Примем, что элементы матриц К и К*. от времени зависят неявно, через векторы настраиваемых параметров r₁(t) и r₂(t):
K(t) =  K_ij(r₁(t))_mm K*(t) =  K_ij(r₂(t))_mn
i = 1,2, ...m, i = 1,2, ...m, j = 1, 2, ... m.
j = 1, 2, ... m.
Исключая промежуточные переменные, систему уравнений (11) — (14) приводят к виду
x*₀ =  A₀(t) - B₀(t)K(t)K*(t)x₀ + B₀(t)K(t)g (15)
Уравнение (15) представляет собой дифференциальное уравне­ние основного контура БСНС. Целью адаптации является такая настройка параметров K_ij и K*_ij , при которой движение, описывае­мое уравнением (15), совпадало бы с желаемым движением, т. е. движением эталонной модели, несмотря на изменение переменных параметров объекта a_0ij и b_0ij.
Движение эталонной модели задается стационарным дифферен­циальным уравнением вида
х_м = А_мх_м + В_мg (16)
где х_м— n-мерный вектор состояния модели; А_м и В_м — матрицы параметров модели размерности [п  п} и [п  т}.
Известно, что если линейная динамическая система управляемая, то матрицы К и К* для любого наперед заданного номинального режима могут быть выбраны таким образом, что характеристический многочлен матрицы А₀ - В₀КК* совпадает с произвольно заданным вещественным многочленом степени п. Целесообразно выбрать этот многочлен совпадающим с характеристическим многочленом матрицы А_м, имеющим наперед заданное распределение корней.
При идеальной настройке параметров управляемой системы должны выполняться условия, вытекающие из совпадения правых частей уравнений (15) и (16):
А_м = А₀(t) - B_мK*⁰(t) (17)
B_м = B₀(t)K⁰(t) (18)
Матричные алгебраические уравнения (17) и (18) определяют статические характеристики адаптации, т.е. зависимость матриц идеальной настройки К° (t) и К*° (t) от матриц переменных пара­метров A₀(t) и B₀(t).
Целью синтеза алгоритма адаптации является определение таких законов настройки параметров K_ij, K*_ij, которые обеспечивали бы сходимость процессов настройки параметров К_ij (t) и К*_ij (t) к их идеальным законам, определяемым системой уравнений (15) и (16).
Предположим, что с помощью идентификатора удается вычис­лить мгновенные текущие значения матриц параметров объекта A₀ (t) и Во (t). Вычислить значения матриц идеальных настроек К (t) и К° (t), видимо, можно с помощью матричных алгебраиче­ских уравнений статических характеристик адаптации (15) и (16). Однако уже простой анализ этих уравнений показывает, что решение сформулированной задачи существует не всегда.
Рассмотрим случай т == п. Очевидно, уравнения (15) и (16) имеют единственное решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы В_м равен п и ранг матрицы В₀ (t) на всем интервале наблюдения [t_0,] также равен п. Эти решения задаются выраже­ниями
K*⁰(t) = B^-1_мА₀(t) - A_м, K⁰(t) = B^-1₀(t)В_м (19)
Если уравнения статики адаптации единственным образом опре­деляют матрицы К*° (t) и К° {t) по заданным матрицам А_м и В_м а также по заданным в момент времени t матрицам параметров объекта А₀(t), B₀(t) то управляемая система называется пол­ностью адаптируемой.
Для случая т = п необходимым и достаточным условием пол­ной адаптируемости является следующее условие: ранг В₀(t) = ранг В_м = п для любого момента времени на интервале наблю­дения. Если матрица B₀ (t) хотя бы однажды вырождается, то вы­ражениями (19) для вычисления матриц настроек воспользо­ваться нельзя.
Из линейной алгебры известно, что в этом случае решение уравнений (15) и (16), если оно существует, дается выражениями
K*(t) = B⁺_мA₀(t) - A_м (20)
К(t) = B⁺₀(t)B_м 21)
где верхний индекс “+” означает операцию вычисления псевдоин­версной матрицы.
В общем случае т < п уравнения (20) и (21) остаются справедливыми. Если матрица B₀ размерности [т  п] имеет ранг т, то псевдоинверсная по отношению к B₀ матрица вычисля­ется по соотношению B⁺₀ = (B^т₀В₀)^-1В^т₀.
Подставляя в (12) уравнения (13) и (14) и заменяя в этом выражении К* (t), К (t) в соответствии с (20) и (21), получаем уравнение
u = B⁺₀(t)B_мg - B⁺₀B_мВ⁺_мA₀(t) - A_мx₀ (22)
которое и представляет собой адаптивный закон управления, обеспечивающий совпадение движения в адаптивной системе с дви­жением эталонной модели основного контура при условии, что идентификатор мгновенно определяет матрицы параметров объекта A₀ и B₀. Так как в реальной системе идентификация осуществля­ется асимптотически, то вместо совпадения движений происходит их приближение друг к другу, степень которого зависит от дина­мической ошибки идентификации.