Основные понятия и определения дисциплины

Полиномиальный алгоритм – это алгоритм с полиномиальной трудоемкостью (временем работы).
Полиномиальный или экспоненциальный характер работы алгоритма инвариантен относительно формы представления входных данных (двоичная, десятичная или другая система счисления).
Говорят, что алгоритм является полиномиальным, если время его работы, т. е. временная сложность, ограничивается сверху полиномом некоторой степени T(N)=O(N^m). Тогда все задачи, которые решаются таким алгоритмом, образуют Р-класс задач. Говорят, что эти задачи входят в Р.
Задачи, временная сложность которых экспоненциальна (T(N)=O(K^N)), не входят в Р.

20. 
    NP- трудные и NP-полные задачи.
    

Задача, входящая в Р, является NP-трудной, если существует полиномиальный ДА (ПДА) ее решения, который модно использовать для получения решения всех задач, входящих в NP. Т. е. такая задача является NP-трудной, если она, по крайней мере, так же трудна, как любая задача, входящая в NP.
NP-трудная задача, принадлежащая NP, называется NP-полной задачей. Такие задачи не менее трудны, чем любая задача из NP. При этом существование ПДА для NP-трудной или NP-полной задачи означает, что классы Р и NP совпадают, т. е. возможно решение всех задач 3-го класса быстрым алгоритмом.
Для доказательства того, что задача является NP-трудной, необходимо показать, что если для задачи существует ПДА, то его можно использовать для получения другого ПДА решения задач, входящих в NP.
Чтобы установить, что задача является NP-полной, необходимо доказать, что она принадлежит NP.
Идея использовать алгоритм решения одной задачи для получения алгоритма решения другой является одной из наиболее важных в теории алгоритмов.


Определение 1: Задача Р1 преобразуется в задачу Р2, если любой частный случай задачи Р1 можно преобразовать за полиномиальное время в некоторый частный случай задачи Р2. Тогда решение Р1 можно получить за полиномиальное время из решения частного случая задачи Р2.

Если Р1Р2 и Р2Р, то и Р1Р.

Определение 2: Задача является NP-трудной, если каждая задача, входящая в NP, преобразуется в нее. Задача является NP-полной, если она является одновременно NP-трудной и принадлежит NP.

21.