O`zb kiston r spublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi namangan davlat univ rsit ti «Mat matika» kaf drasi analitik g om triya


Download 1.05 Mb.
Pdf просмотр
bet9/24
Sana08.10.2019
Hajmi1.05 Mb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   24

Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m

36-chizma
va aylananing mavhum  t nglamasi k lib chiqadi.
1-misol:
0
1
6
2
2
2
y
x
y
x
 t nglamani kanonik ko`rinishga k ltiring hamda aylananing M
0
(x
0
0
) markazi va r radiusini toping.
Yechish:
9
)
3
(
)
1
(
0
9
)
9
6
(
)
1
2
(
2
2
2
2
y
x
y
y
x
x
.
Oxirgi t nglikda
3
,
1
Y
y
X
x
 almashtirishlarni bajaramiz.
.
3
),
3
,
1
(
9
0
2
2
r
M
Y
X
Javob:
.
3
),
3
,
1
(
,
9
3
1
0
2
2
r
M
y
x
2-misol: Markazi M
0
(1,2) nuqtada bo`lib,
0
15
8
6
y
x
 to`g`ri chiziqqa uringan aylana t nglamasini tuzing.
Yechish: M
0
  nuqtadan b rilgan to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofani topamiz:
10
7
10
15
2
8
1
6
)
,
(
0
l
M
d
r
. D mak
.
100
49
)
2
(
)
1
(
2
2
y
x
26-§. ELLIPS
ja
1.
Ta`rifi, fokal radiuslari.
2.
Kanonik t nglamasi.
3.
Ellips shakli.
4.
Param trik t nglamasi.
5.
Misollar.
Mavzuning bayoni.
Ta`rif: Xar bir nuqtasidan fokuslar d b ataluvchi b rilgan ikki F
1
 va F
2
 nuqtalargacha bo`lgan masofalar yig`indisi b rilgan [PQ] k sma uzunligiga t ng
bo`lgan t kislikdagi barcha nuqtalar to`plami ellips d b ataladi.
rilgan k sma uzunligi
a
Q
P
d
2
)
,
(
 va fokuslar orasidagi masofa
c
F
F
d
2
)
,
(
2
1
 bo`lsin. Ta`rifga ko`ra,
.
)
,
(
)
,
(
2
1
c
a
F
F
d
Q
P
d
 M – izlangan nuqtalar to`plamining biror nuqtasi bo`lsin.
2
2
1
1
)
,
(
,
)
,
(
r
F
M
d
r
F
M
d
lgilash kiritamiz. r
1
 va r
2
 ni ellipsning fokal radiuslari d yiladi. Ellips ta`rifiga ko`ra,
a
r
r
2
2
1
.              (1)
(1) t nglamani M nuqtaning koordinatalarida  ifoda qilaylik. Buning uchun d kart
koordinatalar sist masini maxsus o`rnatamiz. (F,F
2
) to`g`ri chiziqni abssissalar o`qi uchun
olamiz. O`qning yo`nalishi F
2
 dan F
1
  tomonga.  [F,F
2
] k smaning o`rtasini koordinatalar
boshi O nuqta uchun olamiz va shu nuqtadan  [F,F
2
] k smaga p rp ndikulyar o`tkazamiz.
[F,F
2
] k smaning o`rta p rp ndikulyarini ordinatalar o`qi OY uchun olamiz. OY o`qdagi
yo`nalishni
j
 v ktorning yo`nalishi aniqlaydi. Agar OX o`qning yo`nalishi
i
 v ktor
yo`nalishi bilan b lgilansa,
i
j
 bo`lib,
i
 dan
j
 ga soat str lkasi xarakatiga t skari
yo`nalishda o`tish mumkin.
O`rnatilgan
}
,
,
0
{
j
i
  r
rda  M(x,y) koordinatalarga ega bo`lsa,
)
2
(
)
(
,
)
(
2
2
2
2
2
1
y
c
x
r
y
c
x
r
r
1
 va r
2
 ning (2) munosabatlardagi qiymatlarini (1) t nglikka qo`yib, quyidagi t nglamani hosil qilamiz:
)
3
(
2
)
(
)
(
2
2
2
2
y
c
x
y
c
x
(3) t nglama tanlangan     r
rga nisbatan ellips t nglamasidir.
nglamasiga ko`ra ellipsni o`rganish uchun (3) t nglamani soddaroq ko`rinishga k ltiramiz. Buning uchun (3) ni
2
2
2
2
)
(
2
)
(
y
c
x
y
c
x
ko`rinishida yozib olib, xar ikki tomonini  kvadratga ko`taramiz:
.
)
(
2
)
(
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cx
a
y
c
x
a
y
c
cx
x
y
c
x
a
a
c
y
cx
x
Bu t nglamaning chap va o`ng qismini qaytadan yana kvadratga ko`tarib
)
'
3
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
a
a
y
c
a
x
nglamaga ega bo`lamiz. a>c ni e`tiborga olib,
2
2
2
b
c
a
                (4)
lgilash kiritamiz. (3’) t nglama (4) asosida
2
2
2
2
2
2
b
a
a
y
b
x
ko`rinishga k ladi. T nglikning xar ikki qismini a
2
b
2
 ga bo`lsak,
)
5
(
1
2
2
2
2
b
y
a
x
lib chiqadi. (5) ni (3) ga t ng kuchliligi xozircha noaniq. Shu narsa ma`lumki, (5) t nglama (3) t nglamaning natijasi. Endi (5) t nglamadan (3) ni yoki (1)
nglikni k ltirib chiqaramiz. Buning uchun (5) t nglamani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy M
1
(x
1
,y
1
) nuqtani olamiz.
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m

37-chizma
II
M
I
)
6
(
1
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
M
1
 nuqtaning fokal radiuslari
)
8
(
)
(
)
,
(
)
7
(
,
)
(
)
,
(
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
y
c
x
M
F
d
r
y
c
x
M
F
d
r
(6) dan
2
2
1
2
2
1
1
a
x
b
y
 ni aniqlab, bu qiymatni (7) va (8) t ngliklarga  qo`yamiz:
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
)
,
(
,
2
)
,
(
c
b
cx
x
a
b
a
M
F
d
r
c
b
cx
x
a
b
a
M
F
d
r
        (9)
2
2
2
2
2
2
,
a
c
b
c
b
a
 bo`lgani uchun
.
2
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
a
x
a
c
a
x
a
c
a
cx
x
a
r
a
x
a
c
a
x
a
c
a
cx
x
a
r
          (10)
(10) dagi ikkita ishoralardan r
1
>0,  r
2
>0  t ngsizlikni ifodalovchi birini tanlash k rak.
1
0
a
c
  va (6) dan
a
x
1
 bo`lgani uchun
.
0
,
0
1
1
x
a
c
a
x
a
c
a
U holda
)
11
(
.
,
1
2
1
1
x
a
c
a
r
x
a
c
a
r
(11) t ngliklarni xadma-xad qo`shsak,
a
r
r
2
2
1
 k lib chiqadi. Ko`ramizki, M
1
 nuqta ellips ta`rifini qanoatlantiradi. (6)
ni ellipsning kanonik t nglamasi d yiladi. r
1
 va r
2
  fokal radiuslar (11) ko`rinishga ega. (6) dan
b
a
  bo`lganda  aylananing
nglamasi k lib chiqadi. Aylana uchun
0
2
2
2
b
a
c
, fokus markaz bilan ustma-ust tushadi.
Endi ellipsning (5) t nglamasiga ko`ra shaklini t kshiraylik.
1. Ellips t nglamasida x va y  o`zgaruvchilar ikkinchi darajali ekanidan, uning ikkinchi tartibli chiziqliligi k lib chiqadi.
2. (5) t nglamani M(x,y)  nuqta bilan birga M
I
(-x,y),  M
II
(x,-y),  M
III
(-x,-y) nuqtalarning koordinatalari ham qanoatlantiradi.   M
I
(-x,y) nuqta OY o`qqa
nisbatan, M
II
(x,-y) OX o`qqa nisbatan, M nuqtaga simm trik,    M
III
(-x,-y) nuqta  esa koordinatalar boshi O nuqtaga nisbatan, M nuqtaga simm trik. SHuning uchun
koordinata o`qlari ellipsining simm triya o`qlaridir. Simm triya o`qlarining k sishgan O(0,0) nuqtasini ellipsning markazi d yiladi.
3. (5) t nglamadagi qo`shiluvchilarning har biri musbat va
b
y
a
x
,
. Ellipsning barcha nuqtalari tomonlari 2a, 2b bo`lgan to`g`ri
to`rtburchakning ichiga joylashgan. Xulosa shuki, ellips ch garalangan figura.
4. Ellipsning OX va OY o`qlar bilan k sishgan nuqtasini topamiz. Buning uchun
0
1
,
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
x
b
y
a
x
y
b
y
a
x
            (12)
nglamalarni birgalikda yechamiz.
0
,
0
,
x
b
y
y
a
x
hosil bo`ladi. Ellips OX o`qni A
1
(a,0),  A
2
(-a,0) nuqtalarda, OY o`qni esa B
1
(0,b),
B
2
(0,-b) nuqtalarda k sib o`tadi. Ellipsning koordinata o`qlari bilan k sishgan
nuqtalarini uning uchlari d yiladi. Ellips  to`rtta  uchga  ega  bo`lib,  ular  A
1
(a,0), A
2
(-
a,0), B
1
(0,b),  B
2
(0,-b) nuqtalardir. Uzunligi 2a bo`lgan [A
1
A
2
] k sma va uzunligi 2b
bo`lgan [B
1
B
2
] k smalardan kattasini katta o`q d yiladi.
2
1
2
1
,
,
B
B
d
A
A
d
 bo`lsa, a- ni katta yarim o`q,   b-ni esa kichik
yarim o`q d yiladi.
6.
(5) t nglamani u ga nisbatan yechib,
2
2
x
a
a
b
y
                  (13)
funksiyani aniqlaymiz. x ning -a
a  oraliqdagi qiymatlari uchun 0. x  0  dan a
2
2
2
y
x
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m

38-chizma
gacha o`ssa, y b dan 0 gacha kamayadi. Ko`ramizki, ellipsning birinchi chorakdagi qismi kamayuvchi funksiya.
Ellipsning OX, OY va O(0,0) nuqtaga nisbatan simm trikligi va yuqoridagi
mulohazalarga asoslansak, uning shakli 37-chizmadagi ko`rinishga ega: a>b uchun ellipsning fokuslari OX o`qda, b>a uchun esa OY o`qda joylashadi.
Ta`rif: Ellipsning fokuslari orasidagi masofaning katta o`qining uzunligiga nisbati ekss ntrisit t d yiladi va
a
c
e
 tarzida b lgilanadi.
.
1
0
e
a
c
 Ellipsning ekss ntrisit ti uning shaklini aniqlashda muhim ahamiyatga ega. Haqiqatdan ham,
.
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
e
a
b
a
b
a
b
a
a
c
e
1
e
 da
0
a
b
, bunda ellips OX o`qqa qisila boradi, aksincha,
0
e
 da
a
b
a
b
1
, ellips aylanaga yaqinlasha boradi.
Ellipsning ekss ntrisit ti orqali uning fokal radiuslari quyidagi ko`rinishga ega:
ex
a
r
ex
a
r
2
1
,
         (14)
Kanonik ko`rinishda b rilgan ellipsni yasash uchun markazi koordinatalar boshida va
radiusi
b
a
b
a
,
,
2
1
 bo`lgan ikkita kons ntrik aylanalar chizamiz. Ular
)
,
0
(
),
,
0
(
2
1
b
a
. O nuqtadan m nur chiqaraylik. Uning OX o`qqa og`ish burchagi  . m
nur  
1
 aylana bilan L nuqtada k sishsin.
OX
LL
OX
KK
1
1
,
 o`tkazamiz.
).
//(
)
//(
)
(
1
1
Oy
LL
KK
K  nuqtadan OX o`qqa parall l to`g`ri chiziq o`tkazamiz.
SHu to`g`ri chiziqni LL
1
  bilan k sishish nuqtasini M bilan b lgilasak, M nuqta ellipsga t gishli
bo`ladi. M nuqtaning koordinatalarini (x, y)  d sak,
).
,
(
)
,
(
);
,
0
(
1
1
1
K
K
d
M
L
d
y
L
d
x
L
OL
1
 dan
.
cos
cos
1
a
OL
OL
K
OK
1
 dan
.
sin
sin
1
b
OK
K
K
Shunday qilib,
cos
1
a
OL
x
,
sin
1
1
b
M
L
K
K
y
formulalar k lib chiqadi.
cos
a
x
,
sin
b
y
       (15)
formulalarni ellipsning param trik t nglamalari d yiladi. 0
<2 . Bu t nglamalar (5) ni qanoatlantiradi.
1-misol:
0
4
4
2
2
2
y
x
y
x
 ellipsning markazi va yarim o`qlarini toping.
Yechish:
0
6
)
1
2
(
2
)
4
4
(
2
2
y
y
x
x
.
6
)
1
(
2
)
2
(
2
2
y
x
nglikning har ikki qismini 6 ga bo`lib,
1
,
2
Y
y
X
x
 b lgilash kiritsak,
1
3
6
2
2
Y
X
 t nglama k lib chiqadi.
Javob: Ellipsning markazi M
0
(-2,1) nuqtada, yarim o`qlari
.
3
,
b
a
2-misol:
1
16
25
2
2
y
x
 ellipsning yarim o`qlarini, fokuslarining koordinatalarini va ekss ntrisit tini toping.
Yechish:
.
5
3
),
0
,
3
(
),
0
,
3
(
,
3
,
5
:
.
5
3
),
0
,
3
(
),
0
,
3
(
,
3
9
.
4
16
,
5
25
2
1
2
1
2
2
2
2
2
e
F
F
b
a
a
c
e
F
F
c
b
a
c
b
b
a
a
27-§. GIP RBOLA
ja
1.
Ta`rifi, fokal radiuslari.
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m
Click here to buy
A
B
B
Y
Y
PD
F Transfo
rm
er
2
.0
w
w
w .A
B B Y Y.
c o
m

39-chizma
2.
Kanonik t nglamasi.
3.
Gip rbola shakli.
4.
Ekss ntrisit ti.
5.
Param trik t nglamasi.
6.
Misollar.
Mavzuning bayoni.
Ta`rif: Har bir nuqtasidan fokuslar d b ataluvchi  b rilgan ikki nuqtagacha bo`lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati b rilgan [PQ] k sma
uzunligi
a
Q
P
d
2
)
,
(
 gat t ng bo`lgan nuqtalar to`plami gip rbola d b ataladi.
Fokuslar orasidagi masofani
c
F
F
d
2
)
,
(
2
1
 d b b lgilasak, uchburchakning ixtiyoriy tomoni qolgan ikki tomonining ayirmasidan katta
bo`lgani uchun
.
)
,
(
)
,
(
2
1
c
a
F
F
d
Q
P
d
Gip rboladagi M nuqtaning F
1
 va F
2
 nuqtalargacha masofalari uning fokal
radiuslari d yiladi va r
1
 va r
2
 bilan b lgilanadi, ya`ni
).
,
(
),
,
(
2
2
1
1
M
F
d
r
M
F
d
r
Ta`rifga ko`ra,
)
1
(
2
2
1
a
r
r
(1) t nglik faqat gip rbolada yotgan M nuqtalar uchun o`rinli. Bu t nglikni M
nuqtaning koordinatalari bo`yicha yozaylik. Buning  uchun d kart r
rni quyidagicha
o`rnatamiz:
(F
1
,F
2
) to`g`ri chiziqni OX o`q uchun  [F
1
,F
2
] k sma o`rtasini koordinatalar boshi
uchun va [F
2
,F
1
] k sma o`rta p rp ndikulyarini OY o`q uchun olamiz. OX va OY
o`qlarning yo`naltiruvchi ort (birlik) v ktorlari
i
 va
j
 bo`lsin. O`rnatilgan
}
,
,
0
{
j
i
  r
rda F
1
(c,0), F
2
(-c,0), va M(x,y) koordinatalarga ega.
)
2
(
)
(
,
)
(
2
2
2
2
2
1
y
c
x
r
y
c
x
r
(1) ni (2) orqali ifodalaylik.
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
y
c
x
a
y
c
x
a
y
c
x
y
c
x
Bu t nglamaning ikkala tomonini kvadratga ko`tarib, soddalashtiramiz:
2
2
2
)
(
a
cx
y
c
x
a
Bu t nglamani yana kvadratga ko`tarib, soddalashtirsak,
)
4
(
)
3
(
0
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
y
a
x
b
b
a
c
a
c
a
y
a
x
a
c
(4) t nglamaning xar ikki qismini a
2
b
2
  ga bo`lsak,
)
5
(
1
2
2
2
2
b
y
a
x
lib chiqadi. (5) t nglama (1) t nglamaning natijasi, shunga ko`ra M nuqtaning koordinatalari (1) ni qanoatlantirsa, (5) ni xam qanoatlantiradi.  Endi (5) ni
qanoatlantiruvchi har bir nuqta (1) ni ham qanoatlantirishini, ya`ni (1) t nglama (5) ning natijasi ekanini ko`rsataylik.
(5) ni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy M
1
(x
1
,y
1
) nuqtani olaylik.
)
6
(
1
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
M
1
 nuqtaning fokal radiuslari
)
8
(
,
)
(
)
,
(
)
7
(
,
)
(
)
,
(
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
y
c
x
M
F
d
r
y
c
x
M
F
d
r
(6) dan
2
2
1
2
2
2
1
a
x
a
b
y
 ni aniqlab, bu qiymatni (7) va (8) t nglamalarga qo`yib, (3) munosabatni e`tiborga olsak,
)
10
(
)
9
(
1
2
1
1
a
x
a
c
r
a
x
a
c
r
ngliklarga ega bo`lamiz. r
1
 va r
2
 musbat sonlar, shunga ko`ra (9) va (10) t ngliklarning o`ng tomonidagi qavslar oldidagi ishoralarni shunday tanlaymizki, bu

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   24


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling