O‘zbekisòon respublikasi oliy va o‘RÒa maxsus òA’lim vazirligi o‘RÒa maxsus, kasb-hunar òA’limi markazi a. U. Abduhamidov, H. A. Nasimov
Download 243.2 Kb. Pdf ko'rish
|
algebra va matematik analiz asoslari i qism
- Bu sahifa navigatsiya:
- M a s h q l a r
- Òakrorlashga doir mashqlar 1.59.
M a s h q l a r 1.44. Sinfdagi bir necha o‘quvchi marka yig‘dilar. 15 o‘quvchi O‘zbekiston markalarini, 11 kishi chet el markalarini, 6 kishi ham O‘zbekiston markalarini, ham chet el markalarini yig‘di. Sinfda necha o‘quvchi marka to‘plagan? 1.45. 32 o‘quvchining 12 tasi voleybol seksiyasiga, 15 tasi basketbol seksiyasiga, 8 kishi esa ikkala seksiyaga ham qatnashadi. Sinfdagi necha o‘quvchi hech bir seksiyaga qatnashmaydi? 1.46. 30 o‘quvchidan 18 tasi matematikaga, 17 tasi esa fizikaga qiziqadi. Ikkala fanga ham qiziqadigan o‘quvchilar soni nechta bo‘lishi mumkin? (K o ‘ r s a t m a. Ikkala fanga ham qiziq- maydigan o‘quvchilar soni k ∈ {0, 1, 2, 3, ..., 12}). 1.47. 100 odamdan iborat sayyohlar guruhida 10 kishi nemis tilini ham, fransuz tilini ham bilmaydi, 75 tasi nemis tilini, 83 tasi esa fransuz tilini biladi. Ikkala tilni ham biladigan sayyohlar sonini toping. 1.48. 26 o‘quvchining 14 tasi shaxmatga, 16 tasi shashkaga qizi- qadi. Ham shashkaga, ham shaxmatga qiziqadigan o‘quvchilar nechta?
Matematik mantiq matematikaning bir bo‘limi bo‘lib, unda „mulohaza“lar va ular ustidagi mantiqiy amallar o‘rganiladi.
har qanday darak gap mulohaza deyiladi. Mulohazalar ustida bajariladigan mantiqiy amallar maxsus belgilar yordamida ifodalanadi. Bu belgilar hozirgi zamon matematikasining barcha bo‘limlarida qo‘llaniladi. Bu belgilar quyidagilardir: 1) ⇒
P ⇒
2) ⇔
P ⇔
aksincha);
17 3)
∨
– dizyunksiya („yoki“ amali); 4) ∧
– konyunksiya („va“ amali); 5)
∀ – ixtiyoriy, barcha, har qanday; 6) ∃
7) ∃ – mavjud emas. Bu amallarni (belgilarni) qo‘llashga doir misollar keltiramiz. P = {a soni 15 ga bo‘linadi} va Q = {a soni 5 ga bo‘linadi} mulohazalari quyidagicha bog‘langan:
chiqadi. Mulohazalarning bunday bog‘lanishi mantiqiy kelib chiqish deyiladi va ⇒ belgi yordamida yoziladi: P ⇒
Bu yerda „a soni 15 ga bo‘linadi“ sharti a sonining 5 ga bo‘- linishi uchun yetarlidir. Shu bilan birga, „a soni 5 ga bo‘linadi“ sharti uning 15 ga bo‘linishi uchun yetarli emas, u zaruriy shartdir xolos, chunki a soni 5 ga bo‘linmasa, uning 15 ga bo‘linishi mumkin emas. Umuman, P mulohazaning chinligidan Q mulohazaning chinligi kelib chiqsa (P ⇒
yetarli shart va Q mulohaza P mulohaza uchun zaruriy shart deyiladi. Agar A ⇒
⇒
zaruriy va yetarli shartdir. Bu esa quyidagicha yoziladi: A ⇔
„ ⇔ “ — mantiqiy teng kuchlilik belgisidir. A – „a soni juft son“ mulohazasi bo‘lsin. B – „a 2 – juft son“ mulohazasi bo‘lsin. Bu mulohazalar teng kuchli mulohazalar bo‘ladi, ya’ni A ⇔
Boshqacha aytganda, sonning kvadrati juft son bo‘lishi uchun sonning o‘zi juft bo‘lishi zarur va yetarli. Biror A mulohazaning inkori deb, A chin bo‘lganda yolg‘on,
bilan belgilanadi. A – „yetti – murakkab son“, u holda A „yetti – mu- rakkab son emas“. Bu yerda A – yolg‘on, A – chin mulohazadir. A va B mulohazalarning dizyunksiyasi deb, A va B mu- lohazalardan kamida bittasi chin bo‘lganda chin bo‘ladigan yangi mulohazaga aytiladi va A ∨
Masalan, A – „6 ⋅ 4 = 24“, B = „6
4 = 25“ bo‘lsa, A ∨ B mulohaza „6 ⋅ 4
ko‘paytma 24 yoki 25 ga teng“. 2 – Algebra, I qism 18 A va B mulohazalarning konyunksiyasi deb, bu ikkala mulohaza ham chin bo‘lgandagina chin bo‘ladigan yangi mulohazaga aytiladi va A ∧
Masalan, C – „13 soni toq va tubdir“ mulohazasi quyidagi ikkita mulohazaning konyunksiyasidir. A – „13 soni – toq“, B – „13 soni — tub“. Demak, C =
∧
Matematik mulohazalarni yuqoridagi belgilar yordamida ifoda etishga doir misollar keltiramiz. 1- m i s o l . Agar a >
>
>
(a >
∧ ( b >
) ⇒ (a > c). 2- m i s o l . a >
+
>
+
>
⇒ (
a +
> >
+ c). 3- m i s o l . a = 0
yoki b = 0 bo‘lsa, ab = 0 bo‘ladi va aksincha, ab = 0 bo‘lsa, a = 0 yoki b = 0 bo‘ladi. (ab = 0) ⇔ (( a = 0) ∨
(b = 0)). 4- m i s o l . a > 0 va b > 0 bo‘lsa, ab > 0 bo‘ladi. (a > 0) ∧ ∧ (b > 0)
ab > 0). 5- m i s o l . Ixtiyoriy x haqiqiy son uchun ¦x ¦ ≥
∀
∈
¦x ¦ ≥
6- m i s o l . Ixtiyoriy a ≥ 0 son uchun, shunday x ∈ R son mavjudki, x 2
a bo‘ladi, ya’ni ∀
≥ 0,
∃ x ∈
2 =
M a s h q l a r Jumlalarni yuqoridagi belgilar yordamida yozing. 1.49. Ixtiyoriy a ≥ 0 uchun, a x = tenglik o‘rinli bo‘ladigan x haqiqiy son mavjud bo‘ladi.
0 va b > 0 bo‘lsa, ab < 0 bo‘ladi. 1.51. Har qanday a, b haqiqiy sonlar uchun a +
=
+
1.52. Agar a butun son 9 ga bo‘linsa, u holda bu son 3 ga ham bo‘linadi. 1.53. 2 ga ham, 3 ga ham bo‘linadigan butun son 6 ga ham bo‘linadi va aksincha, 6 ga bo‘linadigan butun son 2 ga ham, 3 ga ham bo‘linadi.
2 + b 2 + c 2 = 0 bo‘lsa, a =
=
= 0 bo‘ladi va aksincha, a =
=
= 0 bo‘lsa, a 2 +
2 +
2 = 0 bo‘ladi.
19 1.55. Ixtiyoriy natural son n ni olmaylik, n = 2k − 1
yoki n = 2k bo‘ladigan k natural son mavjud bo‘ladi. 1.56. Ixtiyoriy n natural son uchun n 2 + n 3 ∈ N bo‘ladi. 1.57. Ixtiyoriy n, k natural sonlari uchun n 2 − k 3
soni butun son bo‘ladi.
1.58. a < 0 bo‘lsa, x 2 =
mavjud emas. Òakrorlashga doir mashqlar 1.59. Òo‘plamlar kesishmasini va birlashmasini toping. Eyler — Venn diagrammasi yordamida grafik talqin qiling. a) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {8, 9, 10, 11}; b) A = {x ¦ x = 2n, n ∈
= {x ¦ x = n + 1 2 , n ∈ N}; d) A = {x ¦ x = 5n, n ∈
= {x ¦ x = 2n , n ∈ N}; e) A = {x ¦ x = 1
, n ∈
B = {x ¦ x = 2
, n ∈ N}. 1.60. P va Q to‘plamlar kesishmasi va birlashmasini sonlar to‘g‘ri chizig‘ida tasvirlang: a) P = {x ¦ 10 3
x < 8 },
Q = {x ¦ 26 47
x < 3,2};
b) P = {x ¦ 1 3 − < x < 5 3 }, Q = {x ¦ 2 < x ≤ 40 27 }; d) P = {x ¦ 11 4
x ≤ 19 3 },
= {x ¦ 19 7
x ≤ 32 5 }; e) P = {x ¦ 4 11
x < 18 5 }, Q = {x ¦ 2 < x < 10}.
1.61. Quyidagi tengliklarni isbotlang: a) A
=
b) (A
=
(B
d) Agar A ⊂
=
e) A ∅
= ∅; f ) A A =
20 1.62. Quyidagi tengliklarni isbotlang: a) A B =
A; b) (A B ) C =
(B C ); d) A A =
e) A ∅ =
∅.
B )
= (
A
(B
ko‘paytirish amalining to‘plamlarni qo‘shish amaliga nisbatan distributivlik xossasini, (A
C = (
C ) (B C ) tenglik esa to‘plamlarni qo‘shish amalining to‘plamlarni ko‘paytirish amaliga nisbatan distributivlik xossasini ifodalaydi. Bu xossalarni isbotlang.
isbotlang (A ⊂
⊂
⊂
a) A ′ A = ∅ ; e) ∅′
=
; b) A ′
=
f ) U ′
=
∅ ; d) (A B )′
=
′ B ′ ; g) (A\B ) \C =
∅,
, , ⊂ belgilardan foydalanib, to‘plamlar orasidagi munosabatni yozing: a) X 1
{
− 5; 6}, X 2
= {x ¦ x ∈ Z, − 5 ≤ x ≤ 6}, X 3 = {x ¦ x ∈
− 5
x < 6},
X 4 = {x ¦ x ∈
− 5
x ≤ 6}, b) A = {1; 3; 5; 7} , B = {1; 5; 7} ; d) A = {{0}; 1; 3} , B = {1; 3} ; e) A =
∅,
B =
f) A = {x, y, z} , B = {y, z, x}; g) A =
,
=
∅ ;
= {{x} ,
∅ }, B =
i) A =
{2; 4}; 2; 4}, B =
j) A =
, 3,
∅ },
=
∅ . 1.66. a) A =
− 1 ¦ n ∈ N}, B =
+ 1 ¦ n ∈ N}, C =
+ +
∈ N} bo‘lsin. Ushbu to‘plamlarni toping: 1) A B ; 2) A C; 3) A B C; 4) (A B )
b) quyidagi munosabatlar to‘g‘rimi: 1) {a, c} ⊂ {{a, b, c}, {a, c}, a, b}; 21 2) {a, b, c} ∈ {{a, b, c, d}, {a, c}, a, b}; 3) {1, 2, 3} ⊂ {{1, 2, 3, 4}, {1; 3}, 1, 2}? 1.67. a) sonli to‘plamlarni toping: 1) {(
− 1)
− 1
∈ N}; 2) {1 − ( − 1) n ⋅ 2 ¦n ∈
b) agar A = { − 2; − 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, B = {3; 4; 5; 6}, C = { − 3;
− 2;
− 1; 0; 2; 3}, D = {2; 3; 4; 5; 6; 7}, M = {5 ≤ x − 10 ≤ 12 | x ∈
= {x + 10
≤ 30 ¦ x ∈
bo‘lsa, quyidagi to‘plamlar elementlarini ko‘rsatib yozing: 1) (A
(C D); 2) (A
3) (A
(C D)
4) (A
(A B ); 5) (B\A) (A\B ); 6) B D ′ (C\D); 7) M
8) M N. Download 243.2 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling