O‘zbekisòon respublikasi oliy va o‘RÒa maxsus òA’lim vazirligi o‘RÒa maxsus, kasb-hunar òA’limi markazi a. U. Abduhamidov, H. A. Nasimov
Download 243.2 Kb. Pdf ko'rish
|
algebra va matematik analiz asoslari i qism
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3- rasm. a ) b ) 4- rasm.
- M a s h q l a r 1.21.
- 3. To‘plam elementlarining soni bilan bog‘liq ayrim masalalar.
- Kesishmaydigan A va B chekli to‘plamlarning (5 - rasm ) birlashmasidagi elementlar soni A va
- 6- rasm. 5- rasm.
- Ixtiyoriy A va B chekli to‘plamlar uchun ushbu
|
1- rasm. 2- rasm. A
A
10 b, d, e elementlari A va B to‘plamlar uchun umumiy, shun- ga ko‘ra
= {b, d, e}. Bu to‘plamlarning birlashmasi esa A B = {a, b, c, d, e, f, h} dan iborat (4- a rasm). 2- m i s o l. 2 7 3 4 { | }, A x x = − ≤ ≤ 1 4 ={ | 2}
x x − ≤ ≤
to‘p- lamlarning kesishmasi, birlashmasi va ayirmasini topamiz. Bu- ning uchun sonlar o‘qida 2 1 7 , , 3 4 4 − − , 2 nuqtalarni belgilaymiz (4- rasm). 1 7 4 4 { | },
x x = − ≤ ≤ 2 3 { | A B x = − ≤ ≤
x 2}, 2 1 3 4 \ { | }.
x x = − ≤ < − 3- m i s o l . A = {0; 2; 3}, C = {0; 1; 2; 3; 4} to‘plamlar uchun A ′ =
C \A ni topamiz. A ⊂
′ =
= {1; 4} bo‘ladi. 4- m i s o l . Agar A ⊂
=
qilamiz.
I s b o t. A ⊂
a)
B ⊂ ni ko‘rsatamiz. x A B ∈ bo‘lsin. U holda x ∈ A yoki x ∈
∈
⊂
∈
kelib chiqadi, ikkala holda ham
B ning ham elementidir. Demak,
B ⊂ ; 3- rasm. a) b) 4- rasm. a) b) a d h c f e b g O 2
2 3
1 4 − 7 4
11 b)
B A B ⊂ ni ko‘rsatamiz. x ∈ B bo‘lsin. U holda, to‘p- lamlar birlashmasining ta’rifiga ko‘ra
∈ bo‘ladi. Demak, B ning har qanday elementi
ya’ni
A B ⊂ . Shunday qilib,
B ⊂ , B A B ⊂ . Bu esa B A B = ekanini tasdiqlaydi. To‘plamlar ustida bajariladigan amallarning xossalari sonlar ustida bajariladigan amallarning xossalariga o‘xshash. Har qanday X, Y va Z to‘plamlar uchun: 1)
X = ; 1 ′ )
X = ; 2) ( ) ( ) ( ) ; X Y Z X Y Z X Z Y = = 2 ′ ) ( ) ( ) ( );
Z X Z Y X Y Z = = 3) ( ) ( ) ( );
Y Z X Z Y Z = 3 ′ ) ( ) ( ) ( )
Y Z X Z Y Z = tengliklar bajariladi. Agar qaralayotgan to‘plamlar ayni bir U to‘plamning qism- to‘plamlari bo‘lsa, U to‘plam universal to‘plam deyiladi. Uuniversal to‘plam qism-to‘plamlarining kesishmasi, bir- lashmasi, shuningdek, U to‘plam ixtiyoriy qism-to‘plamining to‘ldiruvchisi ham U ning qism to‘plami bo‘ladi. Biror X to‘plam- ning U ga to‘ldiruvchisini ′
yoki X ′ shaklida belgilash mumkin. To‘ldirish amalining ayrim xossalarini ko‘rsatib o‘tamiz: 1)
∅′ = U, 2) U ′ = ∅
, 3) (X ′ ) ′ = X, 4) U dan olingan har qanday X va Y to‘plam uchun ( )
′ ′ ′ = ; ( ) X Y X Y ′ ′ ′ = . Shuningdek, agar X ⊂ Y bo‘lsa, X Y X = , X Y Y = bo‘ladi. Xususan, ∅ ⊂
X va X ⊆
∅ X = ∅ , ∅ X = X, X X =
X =
5- m i s o l. A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5}, C = {1, 5, 9} to‘plamlar berilgan. D = {1, 2, 3, 4, 5, 9} to‘plam universal to‘plam bo‘ladimi? E = {1, 2, 3, 4, 5, 9, 15} va M = {1, 3, 4, 5, 9} to‘plamlar-chi?
12 A ⊂
⊂
⊂
to‘plam bo‘ladi. D ⊂
to‘plam bo‘ladi. B ⊂
⊂
⊄
to‘plam universal to‘plam bo‘la olmaydi.
= {36; 29; 15; 68; 27}, P = {4; 15; 27; 47; 36; 90}, Q = {90; 4; 47} to‘plamlar berilgan. M P , M Q ,
larni toping. 1.22. A – 18 ning hamma natural bo‘luvchilari to‘plami, B – 24 ning hamma natural bo‘luvchilari to‘plami. A B to‘plam
elementlarini ko‘rsating. 1.23. P ikki xonali natural sonlar to‘plami, S barcha toq natural sonlar to‘plami bo‘lsa, K P S = to‘plamga qaysi sonlar kiradi?
a) 21 ∈
∈
∉
∉
to‘g‘rimi? 1.24. „Matematika“ va „grammatika“ so‘zlaridagi harflar to‘plamini tuzing. Bu to‘plamlar kesishmasini toping. 1.25. [1; 5] va [3; 7] kesmalarning kesishmasini toping. 1.26. P = {a, b, c, d, e, f } va E = {a, g, z, e, k} to‘plamlar birlashmasini toping.
= {n ¦ n ∈ N, n < 5} va B = {n ¦ n ∈ N, n > 7} to‘plamlar birlashmasini toping. a) 4 A B ∈ ; b) 3 A B − ∈
; d) 6 A B ∈ deyish to‘g‘rimi? 1.28. Agar a) A = {x ¦ x = 8k, k ∈
= {x ¦ x = 8l − 4, l ∈ Z }; b) A = {x ¦ x = 6k − 1, k ∈ Z }, B = {x ¦ x = 6l + 4, l ∈ Z } bo‘lsa, A B ni toping. 1.29. A = {2; 4; 6; 8; ... ; 40}, B = {1; 3; 5; 7; ... ; 37}, C = {{a; b}, {c; d}, {e; f }, g, h} to‘plamlarning har biridagi elementlar sonini aniqlang. A B da nechta element mavjud? 1.30. A = {2; 3; 4; 5; 7; 10}, B = {3; 5; 7; 9}, C = {4; 9; 11} bo‘lsin. Quyidagi to‘plamlarda nechtadan element mavjud: a) ( ) A B C ; b) ( )
A ; d) ( ) A B C ; 13 e) ( ) A B C ; f) ( ) A B C ; g) ( ) B A C ? 1.31. A = {x ¦ − 5 ≤ x ≤ 10}, B = {x ¦ x ∈
≤
≤ 15} bo‘lsin. A \B va B \ A to‘plam elementlarini toping. 1.32. P – ikki xonali natural sonlar to‘plami, Q – juft natural sonlar to‘plami bo‘lsin. P \Q va Q \P to‘plamlarni tuzing. 1.33. C va D kesishuvchi to‘plamlar bo‘lsin. Eyler – Venn dia- grammalari yordamida C \D, D \C, (C \D) (D \C ) larni tasvirlang. 1.34. N ′ bilan natural sonlar to‘plami N ning butun sonlar to‘plami Z ga to‘ldiruvchisini belgilaymiz. Quyidagilar to‘g‘rimi: a) −
∈ N ′ ; b) 0 ∈
′ ;
∈ N ′ ; e) − 8 ∉ N ′ ; f) − 5,3 ∉ N ′ ; g) 0 ∉
′ ?
= {x ¦ x = 2k + 1, k ∈
diruvchisini toping. 1.36. A = {x ¦ x = 3k, k ∈
ruvchisini toping. 1.37. Agar A ⊂
⊂
lishini isbotlang: a) ( )
A B A B ′ ′ ′ = , b) ( ) A B A B ′ ′ ′ = . 1.38. Agar A to‘plam x 2 − 7x + 6 = 0 tenglamaning yechimlari to‘plami va B = {1; 6} bo‘lsa, A = B bo‘lishini isbotlang. 1.39. A \B =
B) tenglikni isbotlang.
(B \ A) = ∅ tenglikni isbotlang. 1.41. A ⊂
⊂
= ∅ bo‘lsin. Quyidagilarni Eyler –Benn diagrammalari yordami bilan tasvirlang va ulardan tenglarini ko‘rsating: 1) (A ′ B ) ′ ; 2) A ′ B ′ ;
′ B; 4) A
′ ;
′
′ ;
′
′ .
1) (A
=
2) (A\B) (B \A) = (A
B); 14 3) A (B C ) = (A
(A
4) (A
= (A\C ) (B \C ); b) A va B lar U universal to‘plamning qism-to‘plamlari. Isbot qiling: 1) (A
′ =
′ B ′; 2) (A B) =
B ′ ). 1.43. Ifodalarni soddalashtiring: 1) B (A B); 2) (A B) (A ′ B). 3. To‘plam elementlarining soni bilan bog‘liq ayrim masalalar. To‘plamlar nazariyasining muhim qoidalaridan biri — jamlash qoidasidir. Bu qoida kesishmaydigan to‘plamlar birlashmasidagi elementlar sonini topish imkonini beradi. 1- t e o r e m a (jamlash qoidasi). Kesishmaydigan A va B chekli
=
+
I s b o t. n(A) =
=
1 , a 2 , ..., a k elementlardan, B to‘plam esa b 1 , b 2 , ..., b m elementlardan tashkil topgan bo‘lsin. Agar A va B to‘plamlar kesishmasa, ularning birlashmasi a 1 ,
2 , ..., a k , b 1 , b 2 , ..., b m elementlardan tashkil topadi: A
= {a 1 , a 2 , ..., a k , b 1 , b 2 , ..., b m }. Bu to‘plamda k + m ta element mavjud, ya’ni ( ) ( ) ( ).
n A B k m n A n B = +
= +
5- rasm. B A A B B\(A B) A\(A B) A B 15 Xuddi shu kabi, chekli sondagi A, B, ..., F juft-jufti bilan kesishmaydigan to‘plamlar uchun quyidagi tenglik to‘g‘riligini isbotlash mumkin: n(A
...
=
+
+ ...
+ n(F). 2- t e o r e m a . Ixtiyoriy A va B chekli to‘plamlar uchun ushbu tenglik o‘rinli: n(A
=
+
−
I s b o t. Agar A
= ∅ bo‘lsa, n(A B) = 0 bo‘lib, 1- teo- remaga ko‘ra (1) tenglik o‘rinli. Agar A
≠ ∅ bo‘lsa, u holda A
larning birlashmasi ko‘rinishida tasvirlash mumkin (6- rasm):
= (A \(A B )) (B \(A B )) (A B). (2) A \(A
mos ravishda n(A ) −
−
teng. Jamlash qoidasiga ko‘ra, (2) tenglikdan n ( A
= ( n ( A ) − n ( A
+ ( n ( B ) − n ( A
+ +
B) =
+
−
ladi.
M a s a l a . 100 kishidan iborat sayyohlar guruhida 70 kishi ingliz tilini, 45 kishi fransuz tilini, 23 kishi esa ikkala tilni ham biladi. Sayyohlar guruhidagi necha kishi ingliz tilini ham, fransuz tilini ham bilmaydi? Y e c h i s h. Berilgan guruhdagi ingliz tilini biladigan sayyohlar to‘plamini A bilan, fransuz tilini biladigan sayyohlar to‘plamini B bilan belgilaymiz. U holda ham ingliz tilini, ham fransuz tilini biladigan sayyohlar to‘plami A
hech bo‘lmasa bittasini biladigan sayyohlar to‘plami esa A
to‘plamdan iborat bo‘ladi. Shartga ko‘ra, n(A ) = 70, n(B ) = 45, n(A
= 23. (1) teng- likka ko‘ra, n(A
= 70
45 − 23 = 92.
Shunday qilib, 92 kishi ingliz va fransuz tillaridan hech bo‘lmaganda bittasini biladi, 100 − 92
8 kishi esa ikkala tilni ham bilmaydi. |
