O`zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

1*Yakobian haqida tushuncha.Ikki karrali integrallarda o’zgaruvchini almashtirish orqali yakobian tushunchasini kiritamiz.f(x,y)funksiya (D) sohada ( ( D)ʃʃf(x,y)dxdy
(D)
integrali mavjudligi ma'lum bo'lib, uni hisoblash talab etilsin. Ravshanki, f(x,y) funksiya hamda (D) soha murakkab bo'lsa, integralni hisoblash qiyin bo'ladi.
Ko'pincha, x va y o'zgaruvchilarni, ma'lum qoidaga ko'ra boshqa o'zgaruvchilarga almashtirish natijasida integral ostidagi funksiya ham, integrallash sohasi ham soddalashib, ikki karrali integralni hisoblash osonlashadi.
Endi ikki karrali integrallarda o'zgaruvchilarni almashtirish bilan shug'ullanamiz. Avvalo tekislikda sohani sohaga akslantirish, egri chiziqli koordinatalar hamda sohaning yuzini egri chiziqli koordinatalarda ifodalanishini keltiramiz.
Ikkita tekislik berilgan bo'lsin (1-chizma).

(1-chizma)
Birinchi tekislikda to'g'ri burchakli Oxy koordinata sistemasini va chegaralangan (D) sohani qaraylik. Bu sohaning chegarasi dD sodda, bo'laklisilliq chiziqdan iborat ho'lsin. lkkinchi tekislikda esa to g'ri burchakli Ouv koordinata sistemasini va chegaralangan (∆ ) sohani qaraylik. Bu sohaning chegarasi d∆ ham sodda, bo'lakli-silliq chiziqdan iborat bo'lsin. φ(u,v) va ψ(u,v)lar (∆ ) sohada berilgan shunday funksiyalar bo'lsinki, ulardan tuzilgan {φ(u,v), ψ(u,v)} sistema (∆) sohadagi (u,v) nuqtani (D ) sohadagi (x,y) nuqtaga akslantirsin:
φ: (u,v)→x
Ψ: (u,v)→y
va bu akslantirishning akslaridan iborat {(x,y)} to'plam (D) ga tegishli bo'lsin. Demak, ushbu
X=φ(u,v)
Y=ψ(u,v) (1.1)
sistema (∆) sohani (D) sohada akslantiradi.

Bu akslantirish quyidagi shartlarni bajarsin:

1*. (1.1) akslantirish o'zaro bir qiymatli akslantirish, ya'ni (∆) sohaning turli nuqtalarini (D) sohaning turli nuqtalariga akslantirib, (D) sohadagi har bir nuqta uchun (∆ ) sohada unga mos keladigan nuqta bittagina bo'lsin. Ravshanki, bu holda (1.1) sistema u va v larga nisbatan bir qiymatli yechiladi: u=φ₁(x,y), v=ψ₁(x,y)va ushbu
u=φ₁(x,y)
v=ψ₁(x,y) (1.2)
sistema bitan akslantirish yuqoridagi akslantirishga teskari bo'lib. (D) sohani (∆ ) sohaga akslantiradi. Demak
φ(φ₁(x,y),ψ₁(x,y))=x
ψ(φ₁(x,y),ψ₁(x,y))=y (1.3)
2*. φ(u,v),ψ(u,v) funksiyalar (∆ ) sohada, φ₁(u,v),ψ₁(u,v) funksiyalar (D)
sohada uzluksiz va barcha xususiy hosilalarga ega bo'lib, bu xususiy hosilalar ham uzluksiz bo'lsin.
3*. (1.1) sistemadagi funksiyalarning xususiy hosilalaridan tuzilgan ushbu
(1.4)

funksional determinantning ham (∆) sohada noldan farqli (ya'ni (∆) sohaning har bir nuqtasida noldan farqli) bo’lsin. Odatda (1.4) determinantni sistemaning yakobiani deyiladi va J(u,v) yoki D(x,y)/D(u,v) kabi belgilanadi.

Bu 2° va 3° - shartlardan, (∆) bog'lamli soha bo'lganda, (1.4) yakobianning shu sohada o'z ishorasini saqlashi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, J(u,v) funksiya (∆) sohaning ikkita turli nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga ko'ra, (∆) da shunday (u₀,v₀) nuqta topiladiki, J(u₀,v₀)= 0 bo'ladi. Bu esa J(u,v) 0 bo’lishiga ziddir.
3-shartdan (1.2) sistemaning yakobiani, ya'ni ushbu

Funksional determinantning ham (D) sohada noldan farqli bo'lishi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, (1.3) munosabatdan
= + =1
= + =1
= + =0
= + =0

bo'lishini e'tiborga olsak, u holda

=1
bo'lib,
J₁(x,y)= 0
bo’lishini topamiz.
Demak,(D) bog'lamli soha bo'lganda J₁(u,v) yakobiani ham (D ) sohada o'z ishorasini saqlaydi.
Yuqoridagi shartlardan yana quyidagilar kelib chiqadi. (1.1) akslantirish (∆) sohaning ichki nuqtasini (D) sohaning ichki nuqtasiga akslantiradi. Haqiqatdan ham,oshkormas funksiyaning mavjudligi haqida teoremaga ko'ra (1.1) sistema (x₀,y₀) nuqtaning biror atrofida u va v lami x va y o'zgaruvchilarning funksiyasi sifatida aniqlaydi: u= x,y), v=ψ₁(x,y).Bunda x₀,y₀)=u₀,ψ₁(x₀,y₀)=v₀ bo'ladi. Demak, (x₀,y₀) (D ) sohaning ichki nuqtasi. Bundan (1.1) akslantirish (∆) sohaning chegarasi ∆ni (D) sohaning chegarasi ∆ ga akslantirishi kelib chiqadi.
Shuningdek, (1.1) akslantirish (∆ ) sohadagi silliq (bo'lakli -silliq) egri chiziq
u=u(t)
v=v(t) ( )
ni (D ) sohadagi silliq (bo'lakli-silliq) egri chiziq
x = φ(u(t),v(t))
y = ψ(u(t),v(t))
ga akslantiradi.
(∆) sohada u = u₀ to'g'ri chiziqni olaylik. (1.1) akslantirish bu to’g’ri chiziqni (D ) sohadagi
x=φ(u₀,v)
y=ψ(u₀,v) (1.5)
egri chiziqqa akslantiradi. Xuddi shunday (∆) sohadagi v=v₀ to’g’ri chiziqni (1.1) akslantirish (D ) sohadagi
x=φ(u₁,v₀)
y= ψ(u₁,v₀) (1.6)
egri chiziqqa akslantiradi. Odatda, (1.5) va (1.6) egri chiziqlarni koordinata chiziqlari (1.5) ni v koordinata chizig'i, (1.6) ni esa u koordinata chizig'i deb ataladi.
Modomiki, (1.1) akslantirish o'zaro bir qiymatli akslantirish ekan, unda

4. 
   sohaning har bir (x,y) nuqtasidan yagona v koordinata chizig'i (u ning tayin o'zgarmas qiymatiga mos bo'lgan chiziq), yagona u koordinata chizig'i (v ning tayin o'zgarmas qiymatiga mos bo'lgan chiziq) o’tadi. Demak, (D) sohaning shu (x.y) nuqtasi yuqorida aytilgan u va v lar bilan, ya'ni (∆) sohaning (u.v) nuqtasi bilan to'liq aniqlanadi. Shuning uchun u va v larni (D) soha nuqtalarining koordinatalari deb qarash mumkin. (D) soha nuqtalarining bunday koordinatalari egri chiziqli koordinatalari deyiladi. Masalan. ushbu :
   

X= cosφ
Y= sinφ ( >0, 0<φ<2 )
sistema (∆)={(u,v) R²: 0 <+ , 0 φ<2 } sohani Oxy tekislikka akslantiradi. Bu sistemaning yakobiani
J(u,v)= =
bo'ladi.
va φ lar (D ) soha nuqtalarining egri chiziqli koordinatalari bo'lib, shu sohaning koordinat chiziqlari esa, markazi (0.0) nuqtada, radiusi ga teng ushbu
x²+y²= ²
aylanalardan (v koordinat chiziqlari) hamda (0,0) nuqtadan chiqqan φ- (0 2 nurlardan (v koordinat chiziqlari) iborat.
Faraz qilaylik, ushbu
x=φ(u,v)
y=ψ(u,v)
sistema (∆) sohani (D ) sohaga akslantirsin. Bu akslantirish yuqoridagi 1-3 -shartlarni bajarsin. U holda (D ) sohaning yuzi

D= dudv= dudv

(∆) (∆) (1.7)
bo’ladi.