Oʻzbеkistоn rеspublikasi оliy va oʻrta maхsus ta’lim vazirligi urganch davlat univеrsitеti fizika-matematika fakultеti ahmedova Nodira Ikrom qizining 5480100 – «Amaliy matematika va informatika»

Misol 1. Quyidagi

(2.47)

(2.48)

Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlarini va xos funksiyalarini topamiz va unga Krum almashtirishini qoʻllaymiz.

Dastlab (2.47) tenglamaning (2.48) chegaraviy shartlardan birinchisini qanoatlantiruvchi noldan farqli yechimini topib olamiz. Uni quyidagi koʻrinishda izlaymiz:

(2.49)

(2.49) funksiyaning hosilalarini topib, (2.47) tenglamaga qoʻyamiz:

oxirgi tenglikka koʻra

Bu yerdagi birinchi tenglikdan

boʻlishi kelib chiqadi. Buni ikkinchi tenglikka qoʻysak,

hosil boʻladi. Demak,

(2.50)

Bu yechim uchun boʻlishi ravshan.

Endi ni topamiz:

Demak, yechim chegaraviy shartlardan birinchisini qanoatlantiradi. Buni ikkinchi chegaraviy shartga qoʻysak, ushbu

xarakteristik tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamaning ildizlari quyidagi sonlardan iborat:

Bu xos qiymatlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:

ya’ni

Krum teoremasida boʻlgan holda quyidagi tengliklar oʻrinli boʻladi:

Shunday qilib, ushbu

chegaraviy masalani topamiz. Bu masalaning xos qiymatlari

boʻladi.

Krum teoremasida boʻlgan holda

(2.51)

boʻladi. Bundan

kelib chiqadi, ya’ni ushbu

masala hosil boʻlar ekan. Krum teoremasiga asosan bu masalaning xos qiymatlari boʻladi.

Krum teoremada boʻlgan holda



(2.52)

boʻladi. Quyidagi determinantlarni hisoblaymiz:

(2.53) (2.54)

(2.51),(2.53),(2.54) larni (2.52) tenglikka qoʻysak

(2.55)

tenglik hosil boʻladi. Bunga koʻra

(2.56)

topamiz. Endi quyidagilarni hisoblab olamiz:

Demak, bu holda ushbu

masala hosil boʻlar ekan. Krum teoremasiga asosan bu masalaning xos qiymatlari sonlardan iborat.

Izoh.3.1. (2.1)+(2.2) chegaraviy masala yordamida (2.3)+(2.4) chegaraviy masala bir qiymatli tuziladi, ammo (2.3)+(2.4) chegaraviy masala yordamida (2.1)+(2.2) ga qaytadigan boʻlsak, sonlarni istalgancha oʻzgartirib, (2.1)+(2.2) koʻrinishdagi cheksiz koʻp masalani hosil qilishimiz mumkin. Masalan, ushbu

(2.57)

chegaraviy masala berilgan boʻlib, uning xos qiymatlari boʻlsin va bu xos qiymatlarga xos funksiyalar mos kelsin. ixtiyoriy son boʻlsin. (2.1)+(2.2) koʻrinishdagi chegaraviy masalani quyidagicha tuzamiz. Avvalo ushbu

(2.58)

Rikkati tenglamasining biror yechimini topamiz. Soʻngra

deymiz. Bu holda, hosil boʻlgan masalaning xos funksiyalari ushbu

formulalar orqali topiladi.

Misol.2. boʻlsin. Bu holda

chegaraviy masalaning xos qiymatlari va ularga mos keluvchi xos funksiyalar boʻladi. (2.58) tenglamani yechamiz:

,

deb olaylik. U holda





boʻladi. formulalardan kelib chiqadi. deb olsak, bu holda quyidagi

(2.59)

chegaraviy masala hosil boʻladi. (2.59) chegaraviy masalaning xos qiymatlari sonlardan iborat. va boʻlgan hollar ham shu tarzda koʻrib chiqiladi.

3-§ Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izini hisoblashning P.Laks usuli

Ushbu

(3.1)

Shturm-Liuvill masalasini koʻrib chiqamiz. Bu yerda haqiqiy funksiya va chekli haqiqiy sonlar. Bu chegaraviy masalaning xos qiymatlari boʻlsin. Quyidagi asimptotik formula oʻrinli boʻlishi bizga ma’lum:

(3.2)

Bu yerda

(3.3)

Agar biz xos qiymatlardan ushbu

qatorni tuzib olsak, (3.2) asimptotik formulaga koʻra bu qator uzoqlashuvchi boʻladi, ya’ni Shturm-Liuvill operatorining oddiy ma’nodagi izi mavjud emas.

Agar biz ushbu

(3.4)

sonli qatorni qaraydigan boʻlsak, (3.2) asimptotik formulaga koʻra bu qator yaqinlashuvchi boʻladi.

Ta’rif 3.1. (3.4) qatorning yigʻindisiga (3.1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi deyiladi.

(3.1) chegaraviy masalaning regulyarlashtirilgan izi, ilk bor, 1953-yilda I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan hisoblangan. Mazkur paragrfda biz Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi hisoblashning P.Laks usuli bilan tanishamiz.

boʻlgan holda, (3.1) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini orqali, ortonormallangan xos funksiyalarini orqali belgilaymiz.

Teorema 3.1. (P.Laks). (3.1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalaning regulyarlashtirilgan izi uchun quyidagi formula oʻrinli:

(3.5)

Bu yerda

(3.6)

Isbot. Quyidagi Shturm-Liuvill operatorlari oilasini koʻrib chiqamiz:

(3.7)

Bu yerda parametr. (3.7) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini orqali va ularga mos keluvchi ortonormallangan xos funksiyalarni orqali belgilaymiz. Ushbu

tenglikni funksiyaga skalyar koʻpaytiramiz

Bundan boʻyicha hosila olamiz

(3.8)

(3.9)

(3.9) ifodani (3.8) tenglikka qoʻyamiz:

(3.10)

operatorning simmetrikligidan foydalanib, (3.10) tenglikni ushbu

(3.11)

tarzda yozib olamiz. tenglikka asosan (3.11) ayniyat quyidagi koʻrinishni oladi:

ya’ni

(3.12)

(3.12) tenglikni boʻyicha kesmada integrallaymiz:

(3.13)

va (3.13) tenglikdan (3.3) tenglikni ayiramiz:

(3.14)

(3.14) tenglikdan

(3.15)

kelib chiqadi.

Ta’rif 3.2. Agar ushbu

sonli qator cheksiz marta differensiallanuvchi, va nuqtalarning biror atrofida nolga aylanuvchi ixtiyoriy funksiya uchun yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda ushbu

funksional qator umumlashgan ma’noda yaqinlashuvchi deyiladi.

Lemma 3.1. (P.Laks). Ushbu

(3.16)

qator umumlashgan ma’noda yaqinlashuvchi boʻladi va uning yigʻindisi parametrga bogʻliq boʻlmaydi.

Isbot. Ta’rif 3.2 ga koʻra ushbu

,

qator umumlashgan ma’noda yaqinlashuvchi boʻladi.

(3.16) qator umumlashgan ma’noda yaqinlashuvchi boʻlishi, ortonormallangan xos funksiyalarning ushbu

asimptotikasidan kelib chiqadi. (3.16) qator yigʻindisini bilan belgilaymiz

,

va bu funksiyaning parametrga bogʻliq emasligini koʻrsatamiz. Buning uchun boʻyicha olingan hosila nolga teng boʻlishini koʻrsatish kifoya:

, (3.17)

, (3.18)

. (3.19)

Xos funksiyalarning ortonormallanganligini, ya’ni

boʻlishini e’tiborga olib, ushbu

tenglikni hosil qilamiz. (3.19) formulaga asosan

(3.20)

boʻladi.

(3.18) ifodani (3.17) tenglikka qoʻyamiz:

(3.21)

(3.20) tenglikka koʻra (3.21) qatorning yigʻindisi uchun bajariladi, ya’ni funksiya parametrga bogʻliq emas.

Lemma 3.1 isbotlandi.

Bu lemmaga asosan quyidagi tenglik oʻrinli:

(3.15) tenglikning oʻng tarafidagi qator oʻrniga ni qoʻyib (3.5) tenglikni hosil qilamiz:

Teorema.3.1. isbotlandi.

(3.1) chegaraviy masalaning regulyarlashtirilgan izini hisoblashdan oldin, quyidagi

(3.22)

yordamchi Dirixle masalasining izini hisoblaymiz.

(3.22) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini orqali belgilaymiz. Bu holda xos qiymatlari uchun quyidagi

(3.23)

asimptotik formula oʻrinli boʻlishi bizga ma’lum. Bu yerda

(3.24)

Ushbu

(3.25)

sonli qator (3.23) asimptotik formulaga koʻra absolyut yaqinlashuvchi boʻladi.

Shuning uchun (3.25) sonli qator yagona yigʻindiga ega boʻladi.

Ta’rif 3.3. (3.25) sonli qatorning yigʻindisiga (3.22) Dirixle masalasining izi deyiladi.

Teorema 3.2. (I.M.Gelfand, I.M.Levitan). (3.22) Dirixle chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi uchun quyidagi

(3.26)

formula oʻrinli.

Isbot. (3.26) formulani P.Laks usulidan foydalanib isbotlaymiz. Buning uchun avvalo boʻlgan holda hosil boʻlgan

chegaraviy masalaning xos qiymatlarini

va ortonormallangan xos funksiyalarini

topib olamiz. Soʻngra Laks teoremasidagi

(3.27)

funksional qatorning yigʻindisini topamiz. (3.27) qator odatdagi ma’noda uzoqlashtiruvchi, chunki qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi. Ammo bu qator umumlashgan ma’noda yaqinlashadi. Umumlashgan funksiyalar kursidan (3.21) bizga quyidagi tengliklar ma’lum:

(3.28)

(3.29)

(3.28) tenglikni oraliqda qarasak,

(3.30)

boʻladi. (3.30) tenglikda oʻrniga ni qoʻyamiz:

(3.31)

(3.29) formuladan foydalanib, (3.31) tenglikni quyidagi koʻrinishda yozamiz:

Demak, ushbu

formula oʻrinli boʻlar ekan. Bundan foydalanib (3.27) tenglikni quyidagi koʻrinishda yozish mumkin:

(3.5) tenglikdan quyidagi

tenglik kelib chiqadi.

Endi (3.1) chegaraviy masalani regulyarlashtirilgan izini Krum almashtirishidan foydalanib hisoblashimiz mumkin.

Teorema 3.3 (B.M.Levitan). (3.1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi uchun ushbu

formula oʻrinli. Bu yerda