Oʻzbеkistоn rеspublikasi оliy va oʻrta maхsus ta’lim vazirligi urganch davlat univеrsitеti fizika-matematika fakultеti ahmedova Nodira Ikrom qizining 5480100 – «Amaliy matematika va informatika»

Isbot. Krum almashtirishi yordamida (3.1) chegaraviy masalani quyidagi

(3.32)

Dirixle masalasiga keltiramiz. Bu yerda

(3.33)

funksiya (3.1) chegaraviy masalaning xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyasi. funksiya esa quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

(3.34)

(3.35)

Agar (3.1) chegaraviy masalaning xos qiymatlari boʻlsa, u holda (3.32) masalaning xos qiymatlari boʻladi. (3.33) va (3.34) tengliklardan ushbu

(3.36)

formula kelib chiqadi. (3.32) chegaraviy masala uchun regulyarlashtirilgan izlar formulasini yozamiz:

(3.37)

Bu yerda

(3.38)

(3.33) ifodani (3.38) tenglikka qoʻyib, (3.35) formulalarni inobatga olsak,

kelib chiqadi. Endi (3.36) tenglikni (3.37) formulaga qoʻyib, ushbu

izlar formulasi kelib chiqadi.

4-§. Masalalar yechish

Misol.№1

Ushbu Dirixle chegaraviy masalasi berilgan boʻlsin

(4.1.1)

(4.1.2.)

holida (4.1.1)+(4.1.2) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini va ortonormallangan xos funksiyalarni topib olamiz:

(4.1.3)



(4.1.4)

soʻngra Laks teoremasidagi ni hisoblaymiz

(4.1.5)

(4.1.6)

(4.1.7)

(4.1.1) tenglikni oraliqda qarab oʻrniga ni qoʻyamiz:

(4.1.8)

bundan foydalanib (4.1.6) tenglikni quyidagi koʻrinishda yozish mumkin:

(4.1.9)

(4.1.5) tenglikdan quyidagi

(4.1.10)

tenglik kelib chiqadi.

Misol.№2

Ushbu Neyman chegaraviy masalasi berilgan boʻlsin

(4.2.1)

(4.2.2)

holida (4.2.1)+(4.2.2) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini va ortanormallangan xos funksiyasini topamiz.



(4.2.3)



(4.2.4)





,

soʻngra Laks teoremasiga koʻra

(4.2.5)

(4.2.6)

(4.2.5) tenglikdan quyidagi

(4.2.7)

(4.2.8)

tenglik kelib chiqadi.

Misol.№3

Ushbu davriy chegaraviy masalasi berilgan boʻlsin

(4.3.1)

(4.3.2)

holda (4.3.1)+(4.3.2) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini va ortanormallangan funksiyasini topamiz.



(4.3.3)



(4.3.4)

bu sistemadan quyidagi kelib chiqadi:

(4.3.5)

(4.3.6)

soʻngra Laks teoremasidagi ni hisoblaymiz.

bundan quyidagi tenglik kelib chiqadi:

(4.3.7)

(4.3.8)

Misol.№4 Ushbu antidavriy chegaraviy masalasi berilgan boʻlsin

(4.4.1)

(4.4.2)

holida (4.4.1)+(4.4.2) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini va ortanormallangan xos funksiyasini topamiz.



(4.4.3)

tenglamalar sistemasidan

(4.4.4)

(4.4.5)

Soʻngra Laks teoremasidagi ni hisoblaymiz.

bundan quyidagi

(4.4.6)

(4.4.7)

tenglik kelib chiqadi.

Adabiyotlar

1. 
   Дикий Л.А. Дзета-Функсия Обыкновенного Дифференциалъного
   

Уравненя На конечном Отрезке. Изв.ААСССР, Сер.Мат-1955.-Т.19.-c.187-2000

2. 
   Гелъфанд И.М.Левитан Б.М. Об одном простом тождестведля собственных значений дифференцалного оператра вторного порядка. ДАн СССР, 1953,88,№4.953-956.
   
3. 
   Крейн М.Г. // Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля-ДАН СССР.1951.т.76,№1,с.21-24
   
4. 
   Levinson N. On the uniqueness of the potensial in schrodinger equation for a given asymptotic phase. Danske VidSelsk.Math.Fys. Medd.,1949,v.25,№9.P.25
   
5. 
   Дубровин Б.А.Пекриодическая задача для Уравнения кортвеч-де фриза в классе конечнозонных потенциалов. Функ.анализ и прилож. 1975,T.9.№3 C.41-51.
   
6. 
   Лидиский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотическая Формулы для Корней Одного класса целых фунцый. Матем.сб.75,4(1968), 558-566.
   
7. 
   Trubowitz E. The inverse problem in periodic potentials.comm. Pure Appl. Math.,1977,v..30,p. 321-337.
   
8. 
   Левитан Б.М. Обратная задача Штурма-Лиувилля для конечнозонных и Бесконечнозонных потенциалов. Труды моск.мат.об-ва 1982,T.45,c.3-36.
   
9. 
   A.B.Xasanov. “Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari nazariyasiga kirish” Toshkent 2011-yil
   
10. 
    Лидиский В.Б.,Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней Одного класса челых функций. Функц.анализ и его приложения I,2(1967), c. 52-59.