Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta mahsus ta’lim vazirligi

Ekvivalent tasdiqlar. To'plamlar algebrasining asosiy qonunlariga qo'shimcha quyidagi teoremani keltiramiz.
12- teorema . Ixtiyoriy A va В to'plamlar uchun quyidagi tasdiqlar ekvivalentdir:
1 ) ;
2) ;
3 ) .
Isbot. 1. Teoremaning 1) tasdig'i o'rinli bo'lsin. U holda munosabat to'g'rligini isbotlaymiz. Avvalo , to'plamlarning kesishmasi ta’rifiga ko'ra, bo'ladi. Endi A to'plamning ixtiyoriy elementini x bilan belgilaymiz. U holda .
Demak, to'plamlarning kesishmasi ta’rifiga ko'ra, , ya’ni . Shunday qilib, va bo'lganidan o'rinlidir.
2. bo'lishini isbotlash uchun, avvalo, ifodadagi A to'plamning o'rniga unga teng bo'lgan to'plamni qo'yib, ifodani hosil qilamiz. So'ngra, bu ifodaga hirlashmaga nisbatan distributivlik qonunini qo‘llab, ifodani hosil qilamiz. Idempotentlik qonuniga asosan o'rinlidir. Shuning uchun ifodani ko'rinishda yozish mumkin. Oxirgi ifoda yutilish qonuniga asosan В ga teng. Demak, AUВ= В.
3. munosabatni tekshiramiz. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni tenglik o'rinli bo'lsa-da, A to'plam В to'plamning qism to'plami bo'lmasin. U holda A to'plam tarkibida В to'plamga tegishli bo'lmagan hech bo'lmasa bitta x element topiladi, ya’ni va . To'plamlarning birlashmasi ta’rifiga asosan bo'lganidan munosabat o'rinlidir. tenglikdan kelib chiqadi. Hosil bo'lgan ziddiyat, ya’ni, ham , ham bo'lishi qilgan farazimizning noto'g'riligini isbotlaydi. Demak tenglikdan munosabat kelib chiqadi. ■
To’plamlar ustida amallar.
To'plamlarning birlashmasi. To'plamlar ustida turli amallar bajarish mumkin. Avvalo to'plamlarning birlashmasi amalini qarab chiqamiz.
1-ta’rif. Har qanday ikkita to'plamning barcha elementlaridan, ularni takrorlamasdan, tuzilgan to'plamga shu to'plamlarning birlashmasi (yoki yig'indisi) deb ataladi.
Bu ta’rifdan ko'rinib turibdiki, to'plamlarning umumiy elementlari shu to'plamlarning birlashmasiga faqat bir martadan kiritiladi. Berilgan to'plamlarning birlashmasidagi har qanday element shu to'plamlarning hech bo'lmaganda bittasiga tegishlidir. A va В to'plamlarning birlashmasi kabi belgilanadi. Bu yerda “A va В to'plamlarga birlashma amalini qo'llab (yoki A va В to'plamlar ustida birlashma amalini bajarib), to'plam hosil qilindi” deyish mumkin.
1 - shaklda A vaВ to'plam lar doiralar ko'rinishida, to'plam esa bo'yab tasvirlangan.
1-misol. Agar A = {a,b}, B = {a,b,c}, C = {e,f,k} bo'lsa, u holda E = = {a, b, с } , = {a, b, с, e, f, к} , = {a, b, c, e, f, k} , = {a,b,e,f,k} bo'ladi. ■
2-misol. O'zbekiston Respublikasining yoshi 16 dan 25gacha bo'lgan fuqarolari to'plamini A bilan, yoshi 21 dan 30gacha bo'lgan fuqarolari to'plamini esa В bilan belgilasak, A va В to'plamlarning birlashmasi O'zbekiston Respublikasining yoshi 16dan 30gacha bo'lgan fuqarolari to'plamini tashkil etadi. ■
3-misol. .
Shuni ta'kidlash kerakki, to'plamlar bilan bog'liq tushunchalar va ular ustidagi amallar, mos ravishda, sonlar bilan bog'liq tushunchalar va oddiy arifmetik amallar bilan qiyoslanadi. Jumladan, to'plam lar yig'indisini (birlashmasini) topish amali sonlarni qo'shish amali bilan qiyoslanadi. Bunday qiyoslashlar, ko'pincha, bir-biriga o'xshash natijalarning mavjudligini ko'rsatadi, ba’zan esa ular to'plamlarning farqli xususiyatlarga egaligini namoyon etadi. Masalan, ixtiyoriy A va В to'plamlar uchun bo'lsa, u holda va bo'ladi, lekin, ixtiyoriy va sonlar uchun bo'lgan holda a + b = b va b + a = b tengliklar bajarilmasligi mumkin, ular faqat a = 0 bo'lsagina o'rinlidir.
To‘plamlarning kesishmasi. Endi to'plamlarning kesishmasi amalini o'rganamiz.
2-ta’rif. Har qanday ikkita to’plamning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan to'plamga shu to'plamlarning kesishmasi (yoki ко ‘ paytmasi) deyiladi.
B erilgan va to'plamlarning kesishmasi kabi belgilanadi. Bu yerda “A va В 2-shakl to'plamlarga kesishma amalini qo'llab, to'plam hosil qilindi” deyish mumkin. 2- shaklda A va В to'plam lar doiralar ko'rinishida, to'plam esa bo'yab tasvirlangan. To'plam lar ustidagi amallarning yuqorida ta ’kidlangan o‘ziga xos xususiyatlari to‘plamlar ko‘paytmasini (kesishmasini) topishda ham namoyon bo'ladi.
Masalan, bo'lsa, u holda va bo'ladi. Bitta ham umumiy elementga ega bo'lmagan ikkita to'plamlarning kesishmasi bo'sh to'plam bo'lishi tabiiydir.