O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi “ “ m m


Download 0.51 Mb.
Pdf ko'rish
bet7/12
Sana09.03.2020
Hajmi0.51 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

quyidagicha topiladi:

z

y

x

z

y

x

b

b

b

a

a

a

k

j

i

b

a

r

r



r

=

´



Masalan:

a

r

 va



b

r

 vektorlarning vektor ko`paytmasini toping.



k

i

b



k

j

a

r

r



r

r

2



2

+

=



+

=

b



x

a

r

r



=

k

j

i

k

j

i

b

b

b

a

a

a

k

j

i

z

y

x

z

y

x

r

r



r

r

r



r

r

r



r

2

4



2

0

1



1

2

0



-

+

=



=

.

Agar



®

a

 va


®

b

 vektorlar kollinear bo`lsa, u holda



z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

=

=



.

®

a

 va

®

b



 vektorlardan yasalgan parallelogramning yuzi:

,

®



®

´

=



b

a

S

shu vektorlarda yasalgan uchburchakning yuzi:

®

®

D



´

=

b



a

S

2

1



Jism A nuqtasiga qo`yilgan

®

F

 kuchning O nuqtaga nisbatan

®

M



 momenti

37

®

®



®

´

=



F

OA

M

formula bilan hisoblanadi.

Masalan.

®

®



®

-

=



j

i

a

3

2



 va

®

®



®

+

=



j

i

b

4

3



 vektorlarga qurilgan parallelogramning yuzini

toping.


Yechish:

®

a

 va

®

b



 vektorlarga qurilgan parallelogramning S yuzi shu vektorlar vektor

ko`paytmasining moduliga teng:

®

®

´



=

b

a

s

.

a

r

 va


b

r

 vektorlarning vektor ko`paytmasini toping.



b

x

a

r

r



=

k

j

i

k

j

i

b

b

b

a

a

a

k

j

i

z

y

x

z

y

x

r

r



r

r

r



r

r

r



r

9

8



12

4

0



3

0

3



2

+

-



-

=

-



=

.

Demak,



(

) ( )


.

17

81



64

144


9

8

12



2

2

2



kv

S

=

+



+

=

+



-

+

-



=

 birlik.


Masalan.

k

i

b



k

j

a

r

r



r

r

2



2

+

=



+

=

 vektorlardan yasalgan uchburchak yuzi topilsin.



Yechish:

b

x

a

r

r



=

k

j

i

k

j

i

k

j

i

b

b

b

a

a

a

k

j

i

z

y

x

z

y

x

r

r



r

r

r



r

r

r



r

r

r



r

2

4



2

4

2



0

1

1



2

0

-



+

==

-



+

=

=



Demak ,uchburchak yuzi

S=

2



21

2

4



1

16

2



=

+

+



=

b

x

a

r

r



j: S=

.

.



2

21

birlik



kv

Masalan. Uchlari

( ) (

)

(



)

2

;



3

;

4



4

;

3



;

2

,



1

;

1



;

1

C



va

B

A

 nuqtalarda bo`lgan uchburchak yuzasi

hisoblansin.

Yechish.


®

®

AC



va

AB

vektorlarni topamiz:

(

) (


) (

)

(



) (

) (


)

.

2



3

1

2



1

3

1



4

,

3



2

1

4



1

3

1



2

®

®



®

®

®



®

®

®



®

®

®



®

®

®



+

+

=



-

+

-



+

-

=



+

+

=



-

+

-



+

-

=



k

j

i

k

j

i

AC

k

j

i

k

j

i

AB

®

®



AC

va

AB

vektorlardan yasalgan parallelogramning yuzini yarmi uchburchakning

yuziga teng, shuning uchun

®

®



AC

va

AB

 vektorlarning vektor ko`paytmasini topamiz;



38

k

j

i

k

j

i

AC

AB

r

r



r

r

r



r

4

8



4

1

2



3

3

2



1

-

+



-

=

=



´

®

®



.

Bundan


.)

.

(



24

16

64



16

2

1



2

1

bir



kv

AC

AB

S

ABC

=

+



+

=

´



=

®

®



  j:

.

.



24 bir

kv

Masalan.


®

®

®



®

+

+



b

a

va

b

a

3

3



vektorlardan yasalgan parallelogramning yuzini hisoblang,

agar


0

30

,



,

1

=



÷

ø

ö



ç

è

æ



=

=

Ù



®

®

b



a

b

a

ga teng bo`lsa.

Yechish.

®

®



®

®

®



®

®

®



®

®

®



®

®

®



®

®

®



®

´

-



=

×

+



´

-

´



+

×

=



=

´

+



´

+

´



+

´

=



÷

ø

ö



ç

è

æ



+

´

÷



ø

ö

ç



è

æ +


b

a

b

a

b

a

b

b

a

b

b

a

b

a

b

a

b

a

8

0



3

9

0



3

3

9



3

3

3



(

®

®



®

®

®



®

®

®



´

-

=



´

=

´



=

´

b



a

a

b

b

b

a

a

,

0



 ekanligidan) . Demak,

.)

.



(

4

30



sin

1

1



8

8

0



bir

kv

b

a

S

=

×



×

×

=



´

=

®



®

j: 4 kv.birlik.

Mavzu: Uchta vektorning aralash ko’paytmasi va uning geometrik ma’nosi. Uchta

vektorning komplanarlik sharti.

Ta`rif.

a

r

 ,



b

r

 va



®

c

 vektorlarning aralash ko`paytmasi deb

®

®

®



×

÷

ø



ö

ç

è



æ ´

c

b

a

ko`rinishdagi ifodaga aytiladi.

Agar

a

r

 ,



b

r

 va



®

c

 vektorlar o`zlarining koordinatalari bilan berilgan bo`lsa, u

holda aralash ko`paytma quyidagicha ifodalanadi:

z

y

x

z

y

x

z

y

ч

c

c

c

b

b

b

a

a

a

c

b

a

=

×



÷

ø

ö



ç

è

æ ´



®

®

®



.

Aralash ko`paytma xossalari.

a)

®

®



®

®

®



®

®

®



®

×

÷



ø

ö

ç



è

æ ´


-

=

×



÷

ø

ö



ç

è

æ ´



-

=

×



÷

ø

ö



ç

è

æ ´



a

b

c

b

c

a

c

b

a

;

b)



®

®

®



®

®

®



®

®

®



=

÷

ø



ö

ç

è



æ ´

×

=



×

÷

ø



ö

ç

è



æ ´

c

b

a

c

b

a

c

b

a

;

c)



®

®

®



®

®

®



®

®

®



=

=

b



a

c

a

c

b

c

b

a

;


39

d) agar vektorlardan aqalli bittasi nol vektor yoki



a

r

 ,



b

r

 ,



®

c

 vektorlar komplanar

bo`lsa, y holda

0

=



®

®

®



c

b

a

 bo`ladi.

Agar

®

®



®

c

b

,

,

 vektorlar komplanar bo`lsa , u holda



0

=

z



y

x

z

y

x

z

y

x

c

c

c

b

b

b

a

a

a

.

a

r

 ,

b



r

 va


®

c

 vektorlardan yasalgan parallelepipedning hajmi:

î

í

ì



-

+

±



=

®

®



®

.

`



,

`

`



etadi

tashkil

lam

bog

chap

vektorlar

etadi

tashkil

lam

bog

ng

o

vektorlar

c

b

a

V

a

r

 ,



b

r

 va



®

c

 vektorlardan yasalgan piramidaning hajmi:

®

®

®



±

=

c



b

a

V

pir

6

1



.

a

r

 ,



b

r

 va



®

c

 vektorlarda yasalgan tetraedrning hajmi:

®

®

®



±

=

c



b

a

V

tetroed

3

1



..

Masalan. Uchta vektorning aralash ko`paytmasini toping.



k

j

i

b

k

j

i

a

r

r



r

r

r



r

r

r



5

4

;



4

3

2



-

+

=



+

-

=



 va

k

j

i

c

r

r



r

r

6



2

3

+



-

=

.



Yechish:

35

18



20

48

45



8

48

6



2

3

5



4

1

4



3

2

=



+

-

-



+

-

=



-

-

-



=

=

z



y

x

z

y

x

z

y

x

c

c

c

b

b

b

a

a

a

c

b

a

r

r



r

.

J:35.



Masalan. a

k

j

i

c

k

j

i

b

k

j

i

6

12



3

,

4



3

2

,



2

3

+



+

-

=



-

-

=



+

+

-



=

vektorlarning o`zaro komplanar

ekani ko`rsatilsin.

Yechish:


;

0

36



48

18

36



48

18

6



12

3

4



3

2

2



3

1

=



-

-

-



+

+

=



-

-

-



-

=

abc

Masalan. Uchlari

(

) (



) (

)

(



)

1

;



0

;

1



2

;

3



;

0

,



1

;

2



;

1

,



0

;

2



;

1

D



va

C

B

A

-

-



 nuqtalarda bo`lgan

piramidaning hajmini hisoblang.



40

Yechish. Piramidaning A uchidan chiqqan qirralariga mos keluvchi vektorlarni

topamiz:

{

}



{

}

{



}

.

1



;

2

;



0

,

2



;

5

;



1

,

1



;

0

;



2

-

=



-

-

=



-

=

®



®

®

AD



AC

AB

Piramidaning hajmi shu vektorlarga qurilgan parallelepiped hajmining

6

1

 qismiga



teng bo`lganligi sababli

.

.



3

2

4



6

1

1



2

0

2



5

1

1



0

2

6



1

birlik

kub

V

=

×



=

-

-



-

-

±



=

MISOLLAR.

1.

( )


2

,

3



a

,

( )



1

;

5



b

r

,



(

)

3



,

1

-



cr

 vektorlar berilgan



c

b

a

r

r



r

-

+ 3



2

,

c



b

a

r

r



9

5

16



-

+

vektorlarning koordinatalarini toping.



2.

(

)



2

,

0



,

3

-



a

,

(



)

5

,



2

,

1



-

b

r

,



(

)

1



,

1

,



1

-

c

,

(

)



1

,

4



,

8

d

r

 vektorlar berilgan



d

c

b

a

r

r



r

+

-



+

-

6



5

,

d



c

b

a

r

r



r

-

-



-

3

 vektorlarning koordinatalarini toping.



3. A(2;2;0) va B(0;-2;5) nuqtalar berilgan.

u

AB

=

®



vektor yasalsin hamda uning

uzunligi va yo`naltiruvchi kosinuslari aniqlansin.

4. a)

{

}



16

;

15



;

12

-



-

=

ar

 vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.

   b)


{

}

6



;

2

;



3

-

=



ar

 va


{

}

0



;

1

;



2

-

=



b

r

 vektorlar berilgan 1)




Download 0.51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling