O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

1.1.2-misol. sinx = x² + x+ 1 tenglamani yechamiz.

Yechish. 1.1.2-chizmada y = sinx va y=x²+x+1 funksiyalarning

grafiklari tasvirlaymiz.

xϵ[-l;0] bo'lsa, sinx < 0, x² + x + 1 >0 bo'lgani uchun tenglamaning [-1;0] oraliqqa tegishli yechimi mavjud emas.

1.1.2-chizma

1.1.3-misol. tenglamani yeching.

Yechish. Barcha lar uchun , tengsizlikka egamiz. Shu sababli berilgan tenglamani unga teng kuchli bo’lgan quyidagi sistemaga almashtiramiz.

Bu sistemaning ikkinchi tenglamasi dan iborat yagona yechimga ega. son sistemaning birinchi tenglamasini ham qanoatlantiradi. Shuning uchun sistemaning va berilgan tenglamaning ham yechimi bo’ladi.

1.1.4-misol. tenglamani yechamiz.

Yechish. Tenglamaning chap tarafini soddalashtiramiz.

holga keltirib olamiz.

Tenglamaning o’ng tarafini ham soddalashtiramiz:

ga keltirib olamiz va

tenglikka ega bo’lamiz.

Tenglikning chap tarafidagi ifodani tenglikning o’ng tarafiga olib o’tadigan bo’lsak, tenglamamiz quyidagi ko’rinishga keladi.

Bir necha shakl almashtirishlardan so’ng hosil bo’lgan

tenglama ikkita nomanfiy sonning yig’indisi shakliga keldi. Mantiqan o’ylaydigan bo’lsak, ikkita nomanfiy sonning yig’indisi shu ikki son ham nolga teng bo’lgandagina nolga teng bo’ladi. Demak, (1) tenglikni quyidagi sistema bilan bemalol almashtirsak bo’ladi.

Sistemaning ikkinchi tenglamani ishlasak,

yechim chiqadi.

Ikkinchi tenglamadan chiqqan yechimdan foydalanib,

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamaning yechimi

chiqadi.

Javob: ,

1.1.5-misol. sin7x+cos2x=-2 tenglamani yechamiz.

Yechish. Barcha x𝜖R lar uchun sin7x>-l, cos2x>-l tengsizliklar bajarilganligi uchun berilgan tenglama quyidagi sistemaga teng kuchlidir.

Birinchi tenglama

yechimlar guruhiga, ikkinchi tenglama esa

yechimlar guruhiga ega. Har ikki guruhga tegishli x largina sistemaning yechimi bo'la oladi. Ularni aniqlaymiz:

Bundan, k=2+3,5n ekanligini topib, kϵZ ekanini e'tiborga olsak, n=2p (pϵZ) bo'lishi kelib chiqadi.

Demak, x =+2πp (pϵZ) sonlargina sistemaning, binobarin,

berilgan tenglamaning ham yechimlari bo'ladi.