O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

Javob: x =+2πp (pϵZ)

1.1.6-misol. log² x + (x-1)log₂x-6+2x=0 tenglamani yechamiz.

Yechish. Tenglamaning chap tomonini t=log₂x ga nisbatan kvadrat uchhad sifatida qarab, odatdagi standart usulda ko'paytuvchilarga ajratamiz:

Bu tenglama log₂x=-2 va log₂x=3-х tenglamalarga ajraladi. Ularning birinchisi x=0,25 dan iborat yagona yechimga ega. log₂x=3-х tenglama esa x= 2 dan iborat yagona yechimga ega.

Haqiqatan ham, x>2 bo'lganda log₂x > log₂2 = 1>3-x tengsizlikka, 02 bo'lganda esa log₂x22 =1<3-x tengsizlikka egamiz. x<0 da esa tenglama ma'noga ega emas.

Demak, berilgan tenglama x = 0,25 va x= 2 yechimlarga ega.

1.2-§. Nostandart tengsizliklar

Sonlarni taqqoslash amaliyotda keng qo'llaniladi. Masalan, iqtisodclii rejada ko'zda tutilgan ko'rsalkichlarni amaldagi ko'rsalkich- iar bilan taqqoslaydi, shifokor bemorning haroratini sog'lom kishining harorati bilan taqqoslaydi, chilangar yo'nayotgan buyumining o’lchamlarini andaza bilan taqqoslaydi. Bu uchala holda qandaydir sonlar o'zaro taqqoslanadi. Sonlarni taqqoslash natijasida sonli tengsizliklar hosil bo'ladi.

1.2.1-ta’rif: Agar ayirma musbat bo'lsa, u holda a son b sondan katta bo'ladi. Agar ayirma manfiy bo'lsa, u holda a son b sondan kichik bo'ladi. Agar a son b sondan katta bo'lsa, bu kabi; agar a son b sondan kichik bo'lsa, kabi yoziladi.

Shunday qilib, tengsizlik ayirma musbat, ya'ni ekanini bildiradi, tengsizlik esa ekanini bildiradi.

1.2.1-misol. Agar bo'lsa, u holda bo'lishini isbotlang.

Yechish. tengsizlik ayirma musbat son ekanini bildiradi. U holda manfiy son, ya'ni .

Ixtiyoriy ikkita a va b son uchun quyidagi uchta munosabatdan faqat bittasi to'g'ri bo'ladi:

Masalan, va sonlari uchun tengsizlik to'g'ri bo'ladi, va munosabatlar esa to'g'ri bo'lmaydi.

a va b sonlarini taqqoslash, ular orasiga >, = yoki < ishoralaridan qaysinisi qo'yilsa to'g'ri munosabat hosil bo'lishini topish demakdir. Buni ayirmaning ishorasini aniqlash bilan bajarish mumkin.

1.2.1-teorema. Agar va bo’lsa, u holda bo’ladi.

Isboti: Shartga ko'ra va . Bu va ekanini bildiradi. va musbat sonlarni qo'shib, ni hosil qilamiz, ya'ni . Demak, .

1.2.2-teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismiga ayni bir son qo'shilsa, u holda tengsizlik ishorasi o'zgarmaydi.

Isboti: bo'lsin. Bu holda ixtiyoriy с son uchun tengsizlikning bajarilishini isbotlash talab qilinadi. Ushbu

ayirmani qaraymiz. Bu ayirma musbat, chunki masalaning shartiga ko'ra . Demak, .

Natija: Istalgan qo'shiluvchini tengsizlikning bir qismidan ikkinchi qismiga shu qo'shiluvchining ishorasini qarama-qarshisiga almashtirgan holda kо'chirish mumkin.

bo'lsin. Bu tengsizlikning ikkala qismiga sonni qo'shib, ni hosil qilamiz, ya'ni .

1.2.3-teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir musbat songa ko'paytirilsa, u holda tengsizlik ishorasi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir manfiy songa ko'paytirilsa, u holda tengsizlik ishorasi qarama-qarshisiga o'zgaradi.

Natija: Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir musbat songa bo’linsa, u holda tengsizlik ishorasi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir manfiy songa bo’linsa, u holda tengsizlik ishorasi qarama-qarshisiga o'zgaradi.

1.2.2-ta’rif: Bir noma'lumli tengsizlikning yechimi deb, noma'lumning shu tengsizlikni to'g'ri sonli tengsizlikka aylantiradigan qiymatlariga aytiladi.

Tengsizlikni yechish deganda, uning hamma yechimlarini topish yoki uning yechimi yo’q ekanligini ko’rsatish tushuniladi.

Oldingi bandda nostandart tenglamalar qaraldi. Nostandart tenglamada tenglik belgisi tengsizlik belgisi bilan almashtirilsa, nostandart tengsizlik deb ataluvchi tengsizlik hosil bo'ladi.

Nostandart tenglamalarni yechishning umumiy usuli mavjud bo'lmagani kabi, nostandart tengsizliklarni yechishning ham umumiy usuli mavjud emas. Shu sababli, nostandart tengsizliklarni yechishda ham shu tengsizlikka xos bo'lgan chuqur mantiqiy fikr yuritishga to'g'ri keladi. Nostandart tengsizliklarni yechishga doir ayrim misollar bilan tanishaylik.