O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika texnika fakulteti

Yadroning statistik xususiyati
Yadroning spin bilan bog‘liq bo‘lgan yana muhim xarakteristikasi statistik xususiyatidir. Ctatistika bir necha aynan bir xil zarralarning kollektiv xususiyatidir.
Bir xil mikrozarralar masalan, ikkita proton barcha xususiyatlari bilan aynan bir xil bo‘lib, bir-birlaridan farqlanmaydilar. Aynan bir xil ikki zarra o‘zaro joylari almashtirilsa holat xususiyatlari hyech ham o‘zgarmaydilar. Bundan bir xil zarralarni almashtirishlik yangi holatga olib kelmaydi.
Demak, ikkita bir xil a va b zarralardan biri tayinli a va ikkinchisi b holatda emas, balki ixtiyeriy a yoki b holatlarda turaoladilar.
Ma’lumki, kvant mexaniqasiga ko‘ra zarra trayektoriyasini aniqlash mumkin emas, fakatgina to‘lqin funksiyasi amplitudasiga ko‘ra zarrachani topish ehtimoliyatini beradi. Agar aynan bir xil a va b zarralar harakatlanib turishsa qaralayotgan vaqtda qaysi birining sohaning qaysi joyida ekanligini aniqlab bo‘lmaydi. Bu zarralarni qayd qiladigan bo‘lsak hisoblagich qaysi birini qayd etayotganligini bilib bo‘lmaydi, faqatgina bularning hisoblagichga kelib tushgan ehtimoliyatini aniqlash mumkin. Shunday qilib, mikroolamda aynan bir xil zarralar holati bu zarralar joyini o‘zaro almashtirish bilan o‘zgarmas ekan.
Kvant nazariyasiga ko‘ra n-ta zarralardan iborat sistemaning koordinatalari r₁...r_n va spin proyeksiyalari m₁...m_n bo‘lgan to‘lqin funksiyasi _{m m...m}(r₁...r_n). Bu sistemadagi ikkita zarra masalan, birinchi va ikkinchilarini o‘zaro almashtirsak sistema holati o‘zgarmasligi kerak.

bu yerda P₁₂-almashtiruvchi operator.
Almashtiruvchi operator P₁₂ ni ikki marta qo‘llab funksiya oldingi holatiga keladi P²₁₂=1 , ya’ni P₁₂=1 .
Istalgan bir juft zarralar uchun yuqoridagidek mulohaza qilish mumkin. Ikkita bir xil zarralarni o‘zaro almashtirish bilan to‘lqin funksiya o‘zgarmasa zarralarga nisbatan simmetrik, agar o‘zgarsa zarralarga nisbatan antisimmetrik.
Ko‘rsatish mumkinki, zarralar almashtirishlarga nisbatan u yoki bu simmetriyaga tegishli bo‘ladilar. Zarralarning almashtirishlarga nisbatan xususiyatini statistika deb ataladi.
Agar zarralar istalgan juftini o‘zaro almashtirish bilan to‘lqin funksiyasi simmetrik bulsa Boze-Eynshteyn statistikasiga buysunadilar.

Bu zarralarga boze-zarralar yoki bozonlar deyiladi.
Agar zarralar istalgan juftini o‘zaro almashtirish bilan to‘lqin funksiyasi antisimmetrik bo‘lsa, Fermi-Dirak statistikasiga bo‘ysunadi.

bu zarralarga fermi zarralari yoki fermionlar deb ataladi.
Fermi-Dirak statistikasidagi zarralar Pauli tamoiliga bo‘ysunadilar. Pauli tamoyiliga ko‘ra har qanday yopiq sistemada bir xil xususiyatga ega bo‘lgan hatto ikkita fermion joylasholmaydi. Pauli tamoyiliga ko‘ra fermion n, l, I, m kvant sonlarining birortasi bilan farqlanishi lozim. Kvant mexanikasidan ⁽¹⁾ va ⁽²⁾ holatlardagi ikki xil zarra to‘lqin funksiyasi ⁽¹⁾⁽²⁾ teng.
Ikkita fermion zarralar uchun (4) ga ko‘ra ko‘paytma antisimmetrik bo‘ladi

Agar ⁽¹⁾ va ⁽²⁾ funksiya bir xil bo‘lsa bu ifoda nol bo‘ladi. Pauli tamoyili bajariladi.
Pauli tamoyili olam to‘zilishini tushuntirish uchun qo‘llaniladi. Elementlar davriy sistemasini, atom yadro, va kristallar strukturasini busiz tushuntirib bo‘lmaydi.
Ikkita bozon zarralar uchun simmetrik funksiya

bu ifoda bir xil funksiyalar uchun nolga teng bo‘lmaydi, ya’ni bir holatda istalgancha bozonlar turaoladi. Bozonlar Pauli tamoyiliga bo‘ysinmaydi. Shunday qilib, elementar zarralar, tok yadrolar spinlari yarimli butun I=1/2, 3/2, 5/2 bo‘lsa fermionlar bo‘lib Fermi-Dirak statistikasiga bo‘ysunadi. Agar elementar zarralar juft yadrolar spinlari butun I=0,1,2 bo‘lsa bozonlar bo‘lib, Boze-Eynshteyn statistikasiga bo‘ysunadi.
Sistema bir necha fermion-elementar zarralardan tashqil topgan bo‘lsa, bu zarralar sonining tok yoki juftligiga ko‘ra Fermi-Dirak yoki Boze-Eynshteyn statistikasiga mansub bo‘lishligi mumkin.
Yadro nuklonlari fermion bo‘lganligi uchun juft yadrolar (spinlari butun son ) bozonlar bo‘lib, Boze-Eynshteyn statistikasiga buysunsa, tok yadrolar fermion bo‘lib (spinlari I=1/2 – 9/2) Fermi-Dirak statistikasiga buysunadi. Chunki nuklonlar to‘lqin funksiyasi har bir juft almashtirishlarga nisbatan antisimmetrik bo‘lib, juft sondagi nuklonlar uchun to‘lqin funksiyasi ishorasini juft marotaba, tok sondagi nuklonlar uchun esa tok marotaba almashtirish lozim bo‘ladi. Natijada juft nuklonlar simmetrik, tok nuklonlar antisimmetrik to‘lqin funksiyasiga ega bo‘ladilar.
Masalan, alfa-zarra ikkita proton, ikkita neytrondan tashqil topgan. Ikkita deytondan iborat deyishlik mumkin. Nuklonlarni to‘la almashtirish uchun oldin protonlarni keyin neytronlarni xususiy funksiyaning ishorasini ikki marta almashtirish kerak, natijasida isharasi o‘zgarmay qoladi.