Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi guliston davlat universiteti fizika – matematika fakulteti Matematika

1-Xulosa. Ma’lum bo‘ladiki, fazoning o‘lchamli (nuqtada o‘lchamli) bo‘lish xususiyati topologik invariant ekan.
2-Xulosa. shart fazoning shunday ochiq bazasi topilib, uning elementlari chegarasi o‘lchamga ega bo‘lishi shartiga ekvivalentdir.
3-Xulosa. bo‘lganda, 1- va 3-ta’riflar ustma-ust tushadi.
3-Teorema. Agar , bo‘lsa, chekli. U holda ixtiyoriy uchun fazo o‘lchamli qismga ega.
Isbot. Ma’lumki, agar bo‘lsa, u holda shunday nuqta va uning atrofi topiladiki, ixtiyoriy ochiq atrof uchun va shartlar o‘rinli. Ikkinchi tomondan, bo‘lganligidan shunday ochiq toʻplam topiladiki, bo‘lsin. Bu atrof uchun . Demak, to‘plamning chegarasi ning shunday qism to‘plami ekanki, uning o‘lchami ga teng ekan.
Mazkur 3-teorema faqat chekli o‘lchamli fazolar uchun o‘rinlidir.
Misol.
a) to‘g‘ri chiziq va interval 1 o‘lchamlidir;
b) ixtiyoriy ko‘pburchak, aylana, ellips, giperbola va parobola 1 o‘lchamga ega;
d) doira, Myobius yaprog‘i va sfera 2 o‘lchamlidir.
4-Teorema. Ixtiyoriy uchun o‘rinlidir.
Isbot. Induksiya metodi bilan isbotlaymiz: bo‘lganda teorema o‘rinli.
uchun teorema sharti o‘rinli bo‘lsin. fazo uchun o‘rinli, qism fazo va ixtiyoriy nuqtasi bo‘lib, to‘plamining dagi atrofi bo‘lsin. U holda nuqtaning da atrofi topiladiki, u uchun o‘rinli. bo‘lganidan, fazoda shunday ochiq to‘plam topiladiki, u uchun , shartlar o‘rinlidir. desak, u holda to‘plam da ochiq to‘plam va boʻladi. Endi va deb belgilasak, bu yerda . Bu holda, ravshanki, Induksiya shartiga ko‘ra, .
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.