Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi guliston davlat universiteti fizika – matematika fakulteti Matematika

lemma. ( )/R faktor fazo X sirtga gomeomorfdir.
Isboti. Ekvivalentlik munosabati ta’rifida keltirilgan gomeomorfizmlar tabiiy ravishda ( ) syurektiv akslantirishni aniqlaydi, bunda har bir nuqtaning asli aniq R ekvivalentlik sinfidan iborat bo‘ladi. Faktor akslantirish ( )/R uluksiz akslantirish bo‘lib, ayni paytda biektiv hamdir. Aniqki, unga teskari bo‘lgan akslantirish ham uzluksiz. Demak, akslantirish biektiv va ikki tomonga uzluksiz ekan. Bu esa, gomeomorfizmdir.
Eyler harakteristikasi
Topologik fazolarning gomeomorf akslantirishlarda saqlanadigan xossalari topologik xossalar yoki topologik invariantlar deyiladi. Agar ikkita topologik fazolar oʻzaro gomeomorf boʻlsa, ularning topologik xossalari bir xildir, ya’ni ular umumiy topologik invariantlarga ega. Koʻpxilliklarning topologik invariantlaridan biri boʻlgan ularning Eyler boʻyicha xarakteristikasini quyidagi misollardan boshlab koʻrib chiqamiz.

1. 
   Graflar. Graf deb, chekli sondagi yoylardan va chekli sondagi nuqtalardan iborat bogʻlamli figura ataymiz. Yoylar grafning qirralari, nuqtalar esa uning uchlari deb ataladi. Grafning ba’zi uchlari oʻzaro kesishmaydigan qirralar yordamida tutashtirilgan boʻlishi mumkin. Misol uchun 2-a rasmdagi graf 3 ta qirra va 4 ta uchga ega.
   

a) b) v)
2-rasm.
Grafdagi qirralardan iborat va aylanaga gomeomorf yopiq egri chiziq kontur deb ataladi(2-b rasm). Agar grafning ixtiyoriy ikkita uchini qirralar yordamida tutashtirish mumkin boʻlsa, u bogʻlamli graf, konturga ega boʻlmagan bogʻlanishli graf esa daraxt deyiladi(2-v rasm). bilan grafni, bilan graf uchlarining sonini, bilan esa qirralarning sonini belgilaymiz.
1-Teorema. daraxt boʻlsa
Isbot. Teoremani induksiya metodi yordamida isbotlaymiz. Agar boʻlsa, graf ikkita uchga ega va tabiiyki teorema oʻrinli. boʻlganda teoremani oʻrinli hisoblab, hol uchun isbotlaymiz. Graf bogʻlanishli boʻlganligi uchun unda shunday qirra mavjudki, uni olib tashlasak yana daraxt hosil boʻladi. Bu qirrani bilan, hosil boʻlgan yangi grafni bilan belgilaymiz. da ta qirra bor. Demak uning uchun teorema oʻrinlidir, ya’ni uning soni ga teng. Qirra ni va qoʻshib ni hosil qilamiz: bunda qirralar soni va uchlar soni bittaga oshadi, chunki ning bitta uchi ga kirmaydi. Shunday qilib, ning qirralari soni ga teng boʻlsa, uning uchlari soni ga teng boʻladi. Teorema isbotlandi.
Bu ayirma grafning Eyler boʻyicha xarakteristikasi deyiladi va bilan belgilanadi. Yuqoridagi teoremadan koʻrinib turibdiki, ixtiyoriy daraxtning Eyler boʻyicha xarakteristikasi birga teng. Ixtiyoriy bogʻlanishli graf uchun quyidagi oʻrinli.