Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi Guliston davlat universiteti

Mustaqil oʻrganish uchun savollar:
1. Tenglama va tengsizliklar yoʻnalishi haqida nimalarni bilasiz?
2. Tenglama deb nimaga aytiladi?
3. Tengsizliklarni echishning qanday usullari mavjud?
4. Tenglamalarningqanday tiplari mavjud
5.Tenglamalar va tengsizliklar va ularning sistemalari maktabda qanday tartibda oʻrganiladi?
6.Nostandart usullar tenglama va tengsizliklar echishda qanday qoʻllanilishiga misollar keltiring.
OʻN BIRINChI MA’RUZA
Mavzu: Funktsiyalar va grafiklarni oʻrganish

1. Funktsiya tushunchasining kiritilishi va oʻrganilishi.

2. Asosiy elementar funktsiyalar.

3. 
   Funktsiyalar xossalari va grafiklarini oʻrganish.
   

4.Algebra darslarida oʻquvchilar funktsional tafakkurini oʻstirish metodikasi haqida
Tayanch iboralar: funktsiya, funktsiya aniqlanish, oʻzgarish soxalari, davriyligi, juft-toqligi, grafigi, grafiklarni almashtirishlar, asosiy elementar funktsiyalar, xossalari, grafiklari.
1. Funktsiya tushunchasining kiritilishida asosiy e’tiborli jihat shundan iboratki, oʻquvchilar turli xil funktsional bogʻlanishlar toʻgʻrisida umumiy tasavvurlarga ega, ya’ni bir miqdorning oʻzgarishi bilan ikkinchi bir miqdor qandaydir qonuniyat asosida oʻzgarishini hayotiy misollarda koʻrsatish zarurati tugʻiladi. Shuning uchun funktsiya tushunchasini va uning ta’rifini berishda turmushdagi turli xil jarayonlardagi funktsional bogʻlanishlar haqida zarur tushuncha va bilimlarni berish talab etiladi.
Funktsiya tushunchasiga ta’rif berishda ikki toʻplam orasidagi moslik tushunchasini yoritib berish lozim. Bunda ikki toʻplam elementlari orasidagi bu moslik biror qonuniyat asosida roʻy berishini va shuning uchun funktsiya ikki toʻplam: aniqlanish sohasi va oʻzgarish sohasi bilan berilishi hamda bunda har bir toʻplam elementlari bir-biriga ma’lum bir bogʻlanishda ekanligini tushuntirish zarur.
Oʻquvchilarga funktsiya ta’rifini bergandan soʻng, uning uch xilda berilishi usuli haqida bilimlar berish imkoniyati tugʻiladi, ya’ni: analitik, jadval, grafik. Bu usullarning bir-biriga munosabatini oʻrnatish ham ukuvchilarning funktsiya xakidagi dastlabki tushunchalarini mustaxkamlashga xizmat kiladi.
Bunda masalan, kanday kilib, analitik usulda berilganda uning grafigini yasash, yoki teskari masala, grafigi berilganda uning analitik berilishini topish haqida muhokama oʻtkazish mumkin.Albatta koʻpincha birinchi masala koʻp marta qaraladi va formula funktsiya grafigini tasvirlash uchun barcha imkoniyatlarni beradi. Lekin agar funktsiya grafigiga qarab uning analitik ifodasi yoki formulasini topish qiyinchiliklar tugʻdiradi. Buni sezgan xolda oʻqituvchi shunday grafik mashqlardan foydalanishi lozimki, oʻquvchi muntazam ravishda grafikdan(uning eskizidan) funktsiya analitik koʻrinishi haqida tasavvoʻrga ega boʻlsin, bu albatta ma’lum qiyinchiliklar va malakalarni talab etadi.
Xuddi shunday har bir boshqa jadval-formula, formula-jadval, grafik-jadval, jadval-grafik kabi funktsiya berilish usullari munosabatlarini muhokama etib, ularga doir zarur mashqlarni echish maqsadga muvofiq boʻladi.
Bundan tashqari, funktsiya berilish usullari maxsus hollarini hamda funktsiyani faqat soʻz bilan ifoda etadigan usul haqida ham ma’lumotlar berish mumkin. Masalan, analitik usulda berilishda faqat bitta formula emas, bir nechta formula yordamida beriladigan funktsiyalarga misollar keltirib oʻtish mumkin. Soʻz bilan ifoda qilinadigan funktsiyalarga quyidagi misollarni keltirish mumkin: ante funktsiya, x dan kichik eng katta butun son, Dirixle funktsiyasi (barcha ratsional sonlarda 1, irratsional sonlarda esa 0 ga teng).
Funktsiya tushunchasini kiritishda uning aniqlanish va oʻzgarish sohalari oshkora berilmaganda qanday qilib topish, yoki grafik usulda berilganda bu sohalarni qanday aniqlash mumkinligi haqida ma’lumotlar berish oʻquvchilar funktsional tafakkurini oʻstirish uchun xizmat qiladi.
Funktsiya haqida dastlabki umumiy tushunchalarni berishda yana funktsional belgilashlarga alohida e’tiborni qaratish, funktsiya qiymatlarini hisoblash malakalarini tarkib toptirish yaxshi natijalar beradi. Bunga doir funktsiyaning berilgan nuqtadagi qiymatini topishga doir hisoblash, isbotlash va boshqa masalalarni qarab chiqish ham ularning funktsional tasavvurlarini oʻstirishda ahamiyatga ega. Shuningdek, ba’zi jarayonlar oʻzgarishini funktsiya bilan ifodalash, fizik, geometrik mazmunli matnli masalalarni echish ham ijobiy natijalar beradi.
2. Maktabning 7-sinfidan boshlab quyidagi funktsiyalar oʻrganiladi, bular: chiziqli funktsiya, kvadratik funktsiya, darajali funktsiya, logarifmik va koʻrsatkichli funktsiya, trigonometrik funktsiyalar.
Bu funktsiyalarni oʻrganish ularning xossalarini keltirib chiqarish asosida amalga oshiriladi.
Eng dastlab chiziqli funktsiya xossalari batafsil oʻrganilib, aniqlanish va oʻzgarish sohalari, burchak koeffitsienti tushunchasi tadqiq etilib, uning grafigi toʻgʻri chiziqdan iborat ekanligi ta’kidlanadi. Bunda dastlab y=kx soʻngra esa y=kxQv koʻrinishdagi funktsiyalar tekshirilib, ularning xossalaridan oʻsuvchiligi va kamayuvchiligi haqida bilimlar beriladi.
Kvadratik funktsiya esa dastlab y=x² funktsiya va uning xossalari muhokama etilib, uning qaysi oraliqda oʻsishi yoki kamayishi, juft funktsiya ekanligi ordinata oʻqiga nisbatan simmetrik joylashishi haqida tushunchalar beriladi. Shundan soʻng y=ax² , y=ax²Qv va y=a(x-s)²Q v va nihoyat umumiy koʻrinishdagi kvadratik funktsiya qaraladi. Bunda har bir funktsiya xossalari hamda uni tekshirish usullari bayon qilinadi. Bunda asosan quyidagi oʻquv masalalari muhim hisoblanadi: funktsiya nollarini topish, uning grafigi(parabola) uchlari koordinatalarini topish, koordinata oʻqlari bilan kesishish nuqtalarini topish, oʻsish va kamayish oraliqlarini topish, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini elementar usullar bilan aniqlash.
Funktsiyalarni oʻrganishda oʻquvchilarni funktsiya tekshirishning umumiy sxemasi asosida ish yuritishlariga koʻniktirib borish zarur. Bunda dastlab funktsiya aniqlanish va oʻzgarish sohalarini oʻrnatish, funktsiyaning nollarini topish, oʻsish va kamayish oraliqlarini topish, funktsiyaning eng katta yoki kichik qiymatlarini topish, juftligini tekshirish va bular asosida grafikni yasash koʻnikmalarini tarkib toptirish muhim ahamiyatga ega.
Darajali funktsiyani oʻrganishda p ning qiymatlariga mos uning xossalari turlicha boʻlishi haqida bilimlar beriladi. Bunda umumlashtirish va maxsuslashtirish orqali zarur bilimlarni shakllantirish imkoniyati tugʻiladi.
Koʻrsatkichli va logarifmik funktsiyalarni oʻrganishda esa asosiy e’tibor oʻquvchilarning bu funktsiyalarning oʻzaro bogʻliqligi asosida tushunishlariga imkon berish hamda teskari funktsiya tushunchasini chuqur oʻzlashtirishlariga zarur tushuntirish va qoʻshimcha mashqlardan foydalanish yaxshi natijalar beradi. Bundan tashqari, bu funktsiyalar xossalarini chuqur bilish koʻrsatkichli va logarifmik tenglama va tengsizliklarni echishda asosiy oʻrinni egallaydi.
Trigonometrik funktsiyalarni oʻrganishda quyidagi asosiy jihatlar e’tiborga olinishi zarur:
- trigonometrik funktsiyalar davriy funktsiyalar boʻlib, ularning aniqlanish va oʻzgarish sohalari, oʻsish va kamayish oraliqlarini taqqoslash asosida bayon etish zarur;
- trigonometrik funktsiyalarni tekshirishda oʻquvchilar tegishli xossalarni trigonometrik birlik doira va koordinatalar sistemasida tasvirlagan holda muhokama yuritish ularning funktsional tasavvurlarini rivojlantirish uchun asos boʻladi.
Trigonometrik funktsiyalarga doir oʻquv masalalari ichida quyidagilar darslarda qarab chiqilishi mumkin:trigonometrik funktsiyalar qiymatlarini hisoblash, trigonometrik funktsiyalar juft-toqligi, davriyligini aniqlash, eng kichik musbat davrini topish, eng katta va eng kichik qiymatlarini topish, trigonometrik funktsiyalar grafiklarini yasash.
Umuman olganda, har bir elementar funktsiyalar sinfini oʻrganganda, ularning asosiy xossalari bilan birga, maktab matematika kursi boshqa yoʻnalishlari bilan ham uzviy aloqani oʻrnatish zarur, masalan, trigonometrik tenglama va tengsizliklarni echish na faqat analitik usul bilan balki grafik usulda echilib, ularni taqqoslash, funktsional nuqtai nazardan echimlarni tekshirish bu funktsional yoʻnalish tadbiqlarini oʻrgatishda alohida ahamiyatga ega boʻladi.
3. Funktsiyani oʻrganishda uning grafigini yasashga oʻrgatish asosiy malakalardan hisoblanadi. Shuning uchun har bir funktsiyalar sinfini oʻrganishda uning grafigi xarakterli xususiyatlari hamda yasash algoritmi oʻquvchilarga tanishtirilishi zarur. Bunda oʻqituvchi umuman grafik usul funktsiyalarni tekshirishning muhim quroli ekanligiga ishonch hosil qilishi talab etiladi.
Hozirgi davrda ham funktsiyalar grafiklarini yasash amaliy koʻnikmalarini tarkib toptirish unchalik ham ahamiyat kasb etmasada, yangi texnologiyalar, super EHM larning hayotga joriy etilishi ancha murakkab jarayonlar funktsional bogʻlanishlarini va ularning grafiklarini yasash beqiyos imkoniyatlariga ega. Lekin oʻquvchilar funktsional tasavvurlarini oshirishda grafik savodxonlikni boʻlishi, kelajakda mutaxassislarning turli jarayonlar bogʻlanishlari haqida dastlabki tushunchalarni paydo qilish uchun ahamiyatli hisoblanadi.
Har bir funktsiya grafigini yasash algoritmi mavjudligi va grafikni aniqlovchi tegishli ma’lumotlar hajmi oʻquvchilarda funktsiya grafiklarini optimal usulda yasash yoki eskizini yasashga oʻrgatish muhimdir. Bunda funktsiya grafiklarini almashtirishlari haqida oʻquvchilarga tushunchalar berish, ma’lum qismni yasash orqali butun grafik haqida tasavvur boʻlishiga erishish mumkin. Shuningdek, grafikni yasashda funktsiya xossalaridan foydalanish haqida ham zarur ma’lumotlar berish mumkin: funktsiya juftligi yoki davriyligi xossalari uning grafigini yasash uchun imkon beradi.
Funktsiya grafiklarini almashtirishlaridan OX oʻqi, OU oʻqi boʻyicha sijitish, yoki ikkalasinining ham bir vaqtda bajarilishi, simmetriya, grafikni choʻzish, qisish va parallel koʻchirish hamda uning kombinatsiyalaridan iborat almashtirishlarni qoʻllashga doir mashqlar echish oʻquvchilarning grafikaviy koʻnikmalarini oʻstirish bilan birga ularning oʻrganilayotgan funktsiya xossalarini chuqur egallashga imkon beradi. Shuningdek, oʻquvchilari funktsional madaniyatini oʻstirishda grafik savol-mashqlar, tenglama va tengsizliklarni grafik usulda echish, grafik asosida funktsiyalar xossalarini ajratishga doir mashqlardan foydalanish yaxshi natijalar beradi.
4. Ma’lumki, maktabda oʻquvchilarning matematik bilimlarini chuqurlashtirishda funktsional tafakkur saviyasini rivojlantirish asosiy hisoblanadi. Bunda funktsiya tushunchasi va uning mohiyatini oʻrganishga doir maxsus mashqlar majmuasi alohida ahamiyatga ega.
1. Biz quyida funktsiya tushunchasini oʻrganishda taklif etiladigan topshiriq va savollar tuzilishiga toʻxtalib oʻtamiz.

1. 
   Funktsiyalar turli xil usullarda berishdagi oʻzaro aloqani oʻrnatadigan mashqlar:
   

• 
  formula boʻyicha funktsiya koʻrinishini tanish;
  
• 
  grafik boʻyicha funktsiya koʻrinishini aniqlash;
  
• 
  Funktsiya grafigini oʻqiy olish;
  
• 
  Formula bilan berilgan funktsiyani tekshirish;
  
• 
  Formula bilan berilgan funktsiya grafigini yasash;
  
• 
  Harfiy koeffitsientli tenglamalarni echish;
  
• 
  Grafik bilan berilgan funktsiya formulasini topish;
  
• 
  Grafiklari boʻyicha funktsiya parametrlarini topish va taqqoslash;
  
• 
  Jadval boʻyicha berilish usulidan formula berilishiga oʻtish.
  

2. 
   Analitik berilgan funktsiyani aniqlay olish algoritmi quyidagi qadamlarni oʻz ichiga oladi:
   

• 
  agar oʻzgaruvchilar koʻrsatilmagan boʻlsa, uni aniqlash;
  
• 
  funktsiyani argument va oʻzgarmaslar orqali ifodalash, zarur shakl almashtiririshlarni bajarish;
  
• 
  funktsiyaning analitik ifodasidagi hadlarni argument darajalari oʻsish (kamayish) tartibida joylashtirish;
  
• 
  hosil qilingan ifodani tahlil etish ( hosil qilingan ifodani ma’lum funktsiyalar analitik ifodasi bilan taqqoslash );
  
• 
  oʻzgaruvchilar orasidagi bogʻlanish xarakterini aniqlash.
  

3. 
   Funktsiya grafigini oʻqiy olishga doir quyidagi mashqlardan foydalanish mumkin:
   

• 
  Bu funktsiya grafigi boʻlib…. hisoblanadi va…. deb ataladi;
  
• 
  Grafik tarmoqlari… ga yoʻnalgan, chunki….;
  
• 
  Berilgan funktsiya grafigi OX oʻqi (OY oʻqi) ni … larda kesib oʻtadi;
  
• 
  Berilgan funktsiya x ning…. qiymatida maksimal (minimal) qiymatga ega;
  
• 
  X ning… qiymatlarida funktsiya oʻsadi, … qiymatlarida kamayadi;
  
• 
  Funktsiyaning nollari boʻlib… hisoblanadi.;
  
• 
  ….. qiymatlarida funktsiya musbat qiymatlar, … qiymatlarida manfiy qiymatlar qabul qiladi.
  

4. 
   Funktsiyani tekshirishga doir masalalar:
   

• 
  oʻquvchilarga ma’lum boʻlgan xossalarni qoʻllashga doir masalalar;
  
• 
  formula bilan berilgan funktsiyalarni tekshirishga oid masalalar.
  
• 
  Parametrlarga koʻra funktsiyani tadqiq etish.
  

5. 
   Formula boʻyicha funktsiya grafigini yasashga doir masalalarni echishda asosiy e’tibor quyidagilarga qaratilishi zarur:
   

Funktsiya grafigini taxminiy tasvirlay olish; jadvalsiz, lekin formula buyicha yasay olish; funktsiya turini aniqlay olish; funktsiya aniqlanish sohasini e’tiborga olib, uning grafigini tasvirlay olish kabi koʻnikmalarni shakllantirish talab etiladi.