O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti
Download 403.93 Kb. Pdf ko'rish
|
oliy matematika-1
- Bu sahifa navigatsiya:
- 9-chizma 10-chizma
|
Yechish. Vektorlar ustida chiziqli amallarni qo‘llab
a 2 3 - =7i
k j i 13 9 7 - - , k j i b a 4 2 4 + + = +
ekanligini topamiz. Keyin (9) formuladan foydalanib
( ) ( ) 7 4 2 4 4 ) 13 ( 2 ) 9 ( 4 7 , 2 3 2 3 2 2 2 - = + + × - - × - + × = + + - = - + b a b a b a b a np b a
11
2-misol. k j i a + - = 2 2 va k j i b - - = 4 vektorlar orasidagi a burchakni toping. Yechish (11) formulaga asosan
0 45 , 2 2 cos
, 2 2 2 9 9 1 1 16 1 4 4 ) 1 ( 1 ) 1 )( 2 ( 4 2 cos = = = = + + + + - × + - - + × = a a a
5. Ikki vektorning vektor ko‘paytmasi.Ta’rif. a va b vektorlarning vektor ko‘paytmasi deb shunday uchunchi
vektorga aytiladiki: 1) y son qiymati bo‘yicha berilgan
va
b vektorlardan yasalgan parallelogrammning
Ù = × = a a , sin yuziga teng modulga ega; 2)
a va b vektorlarga perpendikulyar; 3) u shunday yo‘nalganki, uning uchidan (oxiridan) qaraganda
dan
b ga
qarab eng kichik burulish soat mili strelkasi yo‘nalishiga teskari bo‘ladi.
a, va
c vektorlarning bunday joylanishiga o‘ng bog‘lam (uchlik) deyiladi(9- chizma).
9-chizma 10-chizma Vektor ko‘paytma b a ´ yoki [ ] b a × belgi bilan belgilanadi. Ta’rifga asosan [ ]
b a = × , Vektor ko‘paytma
[ ]
×
S × =
(13) ko‘rinishda ham ifodalanishi mumkin, e
[ ] b a × vektor bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektor. Vektor ko‘paytma ko‘yidagi xossalarga ega: 1) vektor ko‘paytma antikommutativ, ya’ni
[ ] [ ] a b b a , , - = ; 2) vektor ko‘paytma skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan assotsiativlik xossasiga ega; ya’ni
[
] [ ] [ ] b a b a b a b a × = × × = × l l l l ; ; 3) Vektor ko‘paytma qo‘shishga nisbatan distributiv,ya’ni a
´ = 1
b c ´ = a
[ ]
B A M × = F A
12
[ ] [ ] [ ] c b c a c b a × + × = × + ;
4) a va
b vektorlarning kollinear bo‘lishining zarur va yetarli sharti ularning vektor ko‘paytmasining 0 ga teng bo‘lishidir.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 , , , , 0 , , , , 0 = ´ - = ´ = ´ = ´ = ´ - = ´ - = ´ = ´ = ´ k k i i k j i k i k j j j k i j j k i k j i i i (14) tengliklar urinli bo‘ladi. ) ( 1 , 1 , 1
y x a va
) ( 2 , 2 , 2 z y x b ortonormal bazis (tug‘ri burchakli koordinatalar sistemasi)da berilgan bo‘lsa
[ ] ( ) (
) ( )
y x y x j z x z x i z y z y k y x y x j z x x z i y z z y b a 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , + - = = - + - + - = (15) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Vektor ko‘paytmani
[
2 2 2 1 1 1 , z y x z y x k j i b a =
(16) ko‘rinishda ham yozish mumkin. Vektorlarning kollinearlik sharti ortonormal bazisda
2 1 2 1 2 1
z y y x x = = bo‘ladi. a va
b vektorlardan tuzilgan parallelogrammning yuzi
[ ]
( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 , y x y x x z x z z y z y b a S - + - + - = =
(17)
Biror qattiq jism A nuqtaga qo‘zgalmas qilib berkitilgan va uning V nuqtasiga F
kuch qo‘yilgan (10-chizma). Bu holda aylanma moment hosil bo‘lib u son qiymati tomondan a sin F AB ×
AB va
F vektorlardan yasalgan parallelogramm yuziga teng bo‘ladi. Mexanikada bunga kuch momenti deb yuritiladi va
[ ]
AB M , = (18) bilan belgilanadi
13
Endi bir necha masalalarni qaraymiz 1-misol. c b a , , vektorlar 0 = + +
b a tenglikni qanoatlantirsa [ ] [ ] [ ]
a c c b b a , , , = = ekanligini isbotlang. Yechish. 0 = + +
b a tenglikni b vektorga vektorli ko‘paytiramiz.
[
] [ ] [
] b o b c b b b a × = × + × + ×
[ ] [ ] 0 , , 0 = = b o b b bo‘lganligi uchun
[
] [ ] [ ]
b b c b c b a , , , 0 , , - = = + ni hisobga olsak [ ] [ ] , 0 , , = - c b b a
yoki [ ] [ ] c b b a , , = kelib chiqadi. Xuddi shunday [ ] [ ]
, , = ekanligini keltirib chiqarish mumkin. Buni bajarib ko‘ring. 2-misol. 4 ,
= b b a bo‘lgan a va
b vektorlar berilgan ( ) 0
90 , 30 , = = Ù a
a bo‘lganda [ ]
a , larni toping. Yechish Vektor ko‘paytma modullarini topamiz: [ ]
[ ] 24 90 sin 4 6 sin , , 12 30 sin 4 6 sin , 0 0 = × = × = = × × = × = a a b a b a b a b a
(13) formulaga asosan [ ] [ ]
, 24 , , 12 , e b a e b a = = bunda
[ ]
a e , - vektor bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektor.
3-misol. k j i b k j i a 6 2 4 , 5 3 2 - + = + - = vektorlarning vektor ko‘paytmasini toping. Yechish (14) tengliklarga va vektor ko‘paytmaning xossalariga asosan
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
- = × + × - × - × - + × = - + + - = j i k j j j i j k i j i i i k j i k j i b a 4 18 6 12 12 4 8 6 2 4 , 5 3 2 , [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k j i i k j k j i j k i k k j i j k i 16 32 8 32 8 16 10 20 18 12 12 + + = × + × - × = = × + × + × + × - × -
4-misol. [ ] b a , va
( ) [ ] b a a 5 3 2 - vektorlarning kollinear ekanligini ko‘rsating. Yechish. Vektor ko‘paytmaning xossalariga asosan ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
b a b a a a b a a , 10 , 10 , 6 5 3 12 - = - = - [ ]
[ ] b a b a , 10 , , - vektorlar kollineardir. 5-misol. ( ) 2 , 2 , 1 - a va
( ) 4 , 0 , 3 -
vektorlar berilgan. Ularning vektor ko‘paytmasini bu vektorlarga yasalgan parallellogramning yuzini; vektorlar orasidagi burchakning sinusini yuzini toping.
÷÷ ø ö çç è æ - - 4 0 3 2 2 1
14
Navbat bilan 1-nchi, 2-nchi va 3-nchi ustunlarni o‘chirib (15) formulaga asosan [a. b] vektor to‘g‘ri
[ ]
þ ý ü - - - ïî ï í ì - - = 4 3 2 1 4 3 2 1 4 0 2 2 , , , b a yoki
[ ] } { 6 , 10 , 8 , =
a
bo‘ladi. 2) (17) formulaga asosan
[ ] 2 10 200 6 10 8 , 2 2 2 = = + + = = b a S
3) ma’lumki [ ] a sin , b a b a × = bundan [ ] ( ) ( ) 3 2 2 sin
3 2 2 5 3 2 10 4 0 3 2 2 1 2 10 , sin
2 2 2 2 2 2 = × = × = = - + + × + - + = × = a a b a b a
) 1
2 , 4 ( F kuch
) 4 , 2 , 3 ( B nuqtaga qo‘yilgan. Bu kuch momentini A(5,-1,6) nuqtaga nisbatan toping.
vektorning koordinatalari
}
{ { ) 2 , 3 , 2 ( , 2 , 3 , 2 ) 6 4 ), 1 ( 2 , 5 3 - - - - = - - - - AB bo‘ladi. (18) va (16)formulalarga asosan [ ] k j i M k j i k j i k j i F AB M 16 6 7 , 16 6 7 2 4 3 2 1 4 2 2 1 2 2 3 1 2 4 2 3 2 , - - = - - = = - + - - - - = - - = = bo’ladi. Download 403.93 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|