O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti
Uchta vektorning aralash ko‘paytmasi. Ta’rif
Download 403.93 Kb. Pdf ko'rish
|
oliy matematika-1
- Bu sahifa navigatsiya:
- Mustaqil yechish uchun masalalar
- 11a-chizma 11b-chizma 12-chizma 13-chizma
|
6. Uchta vektorning aralash ko‘paytmasi. Ta’rif. Uchta b a , va
c vektorlarning aralash ko‘paytmasi deb [ ]
b a , vektor ko‘paytmaning c vektorga skalyar ko‘paytmasiga aytiladi va
[ ]
b a × ´ (19) bilan belgilanadi. Aralash ko‘paytma qo‘yidagi xossalarga ega: 1) ko‘paytirish amallarining o‘rnini almashtirish bilan aralash ko‘paytma o‘zgarmaydi, ya’ni [ ]
] c b a c b a ´ × = × ´
(20) shuning uchun ham aralash ko‘paytmani
ko‘rinishda, ya’ni qavslarni va amallar belgilarini ko‘rsatmasdan yozish qabul qilingan;
2) ( ) (
) ( )
c a a b c c a b c b a b a c a c b c b a - = - = - = = = , ;
(21)
15
3) ( ) ( )
b a c b a d c b a c d a c b a c d b a + = + + = × + , ; (22)
4) ( ) ( ) ( ) c b a c b a b с a l l l = = r r & & & . (23)
Vektorlar koordinatalari ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 , , , , , z y x b z y x a va
( ) 3 3 3
y x c bilan
berilgan bo‘lsa bu holda ularning aralash ko‘paytmasi
3 3
2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x c b a = (24) bo‘ladi
, , b a va
c vektorlardan yasalgan parallelepipedning hajmi
3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x c b a v ± = =
(25)
formula bilan ifodalanib bundagi ishora determinantning ishorasi bilan birxilda olinadi. Aralash ko‘paytmaning 0 =
b a
(26) ligi b a, va
c vektorlarning komplanarligining zaruriy va yetarli shartidir. Vektorlarning aralash ko‘paytmasiga asosan birnecha masalalarni yechib ko‘rsatamiz.
b a, va
c vektorlar [ ] [ ]
[ ] 0 = + + × a c c b b a (27) shartni qanoatlantiradi. Bu vektorlarning komplanar ekanligini ko‘rsating.
vektorni (27) vektorga skalyar ko‘paytirib, [ ] [ ] [ ]
0 , = × + × + a c a c b a b a a yoki
0 = + + a c a c b a b a a
a a , , va a c a , , vektorlar komplanar bo‘lganligi uchun (26) shartga asosan 0 , 0 = = a c a b a a , Demak, 0 =
b a kelib chiqadi. Bu esa c b a , , vektorlarning komplanarlik shartidir. 2-misol. ( ) c b a b a c b a = + + b a ayniyatni isbotlang, b a, lar ihtiyoriy sonlar.
Yechish. Aralash ko‘paytmaning xossalariga asosan.
( ) c b a b b a a b a c b a b a c b a = + + = + + × b a b a . 3-misol. b a , va
c vektorlar o‘zaro perpendikulyar ular o‘ng bog‘lam (uchlik)ni tashkil qiladi. 3 , 2 , 4 = = = c b a bo‘lsa
c b a aralash ko‘paytmani hisoblang. 16
Yechish. [ ]
b a vektor ko‘paytmaning modulini topamiz: [ ] 8
sin 2 4 sin = × × = × = Ù p b a b a b a . Ma’lumki [ ] ab va
c vektorlar kollinear, ya’ni [ ] 0
ñ = × l l
b a . Oxirgi tenglikdan [ ]
l = bundan [ ]
3 8 = = c b a l ekanligini hisobga olib ( ) 24 3 3 8 3 8 , 3 8 2 2 = = = = c c c c b a . Demak aralash ko‘paytma 24 =
b a .
( ) (
) 1 , 1 , 2 , 2 , 1 , 1 b a va
( ) 3 , 2 , 1 -
vektorlarning aralash o‘paytmasini toping.
Yechish (24) formulaga asosan
10 1 3 3 1 1 3 0 3 1 0 2 1 1 3 2 1 1 1 2 2 1 1 - = - - - = - - - = - = c b a
aralash ko‘paytmaning manfiyligidan b a , va
c vektorlarning chap bog‘lam (uchlik) ni tashkil qilishidan kelib chiqadi.
( ) ( ) 1 , 2 , 1 , 2 , 2 , 1 - -
a va
( ) 1 , 2 , 5 - - c vektorlarning komplanarligini ko‘rsating.
0 3 6 1 2 2 3 0 6 1 0 2 2 2 1 1 2 5 1 2 1 2 2 1 = - - - = - - - = - - - - = c b a
Oxirgi tenglikdan (16) shartga asosan b a, va
c vektorlarning komplanarligi kelib chiqadi.
1. ABCD rombning hamma uchlari va diagonallarining kesishish nuqtasi O bilan aniqlanadigan hamma vektorlarni ko‘rsating. Ulardan qaysilari o‘zaro teng?(11a-chizma).
11a-chizma 11b-chizma 12-chizma 13-chizma A A A A B B B B C C C C D D D M N 17
2. ABC uchburchakning uchlari bilan aniqlanadigan hamma vektorlarni ko‘rsating? (11b-chizma). 3. ABCD piramida berilgan.
,
,
,
vektorlarning yig‘indisini toping (12- chizma). 4.
+ = b a - bo‘lishi uchun a va
b vektorlar qanday shartni qanoatlantiradi? 5. ABCD tug‘ri turtburchakda AB tomonga i birlik vektor, AD tomonga j birlik vektor qo‘yilgan, hamda 4 ,
= =
AB bo‘lib M-DC kesmaning o‘rtasi, N-BC kesmaning o‘rtasi bo‘lsa,
, , vektorlarni i va j birlik vektorlar orqali ifodalang (13- chizma). 6. ABC uchburchakda AD mediana o‘tkazilgan, ya’ni D nukta BC tomonni teng kesmalarga ajratadi. AD AC AB 2 = + ekanligini isbotlang. 7. Ixtiyoriy
va
b vektorlar berilgan. ) (
, 2 , 3 ,
a b a b a b a + + - - - vektorlarni yasang.
8. ABCD parallelogramda: a AB = ,
b AD = , O-diagonallarining kesishgan nuqtasi. AC OB BD , , va CD vektorlarni a va
b lar orqali ifodalang? 9.
va
c vektorlar OX o‘qi bilan mos ravishda 3 p
3 2 p , p burchaklar tashkil etadi, , 4 = a
2 = b ; 3 = c bo‘lsa c b a - + 3 2 vektorning OX o‘qidagi proyeksiyasini toping. 10.
c b a , , va d vektorlar berilgan. 6 ,
, 2 2 , 3 = = = = d c b a bo‘lsa
d c b a 3 2 - + + vektorning X O o‘qdagi proyeksiyasini toping. 11.
4 2 4 + - = va
k j i b 2 3 6 - - = vektorlar berilgan: a) (
× ); b) 2 a ; c) (2 a -3
,
+2
); d) 2 ) ( b a +
larni hisoblang. 12.
q p a - = 2 va q p b 2 3 + = bo‘lib q p, lar birlik vektorlar hamda ular orasidagi burchak 3 p bulsa ( b a × ) skalyar ko‘paytmani hisoblang. 13. q p a - = 6 bo‘lib 2 2 = p , 3 = q va
q p Ù burchak 4 p bo‘lsa a
vektorning uzunligini hisoblang. 18
14. k j i a + - = 4 va
k j i b 2 2 + + = vektorlar orasidagi a burchakni toping. 15. k j i m a 2 3 + - = va k m j i b - + = 2 vektorlar m ning qanday qiymatlarida perpendikulyar bo‘ladi. 16. A(2,-3,4), B(5,-5,-2), C(1,2,3) va D(7,4,6) nuqtalar berilgan bo‘lsa AB
vektorning CD vektordagi proyeksiyasini toping. 17.
va
b vektorlar o‘zaro perpendikulyar [ ]
, 4 , 3 = = vektor
ko‘paytmani toping. 18.
k j i a 2 3 + - = va k j i b 4 5 6 - + = vektorlarning vektor ko‘paytmasini toping. 19.
[ ] a b , va
( ) [ ] b a b 5 4 3 + vektorlarning kollinear ekanligini ko‘rsating. 20. k j i a 3 7 + + = a va
k j i b 2 + + = b vektorlar a va b larning qanday qiymatlarida kollinear bo‘ladi. 21.
( ) (
) [ ] b a b a 4 , 3 2 + - vektor ko‘paytmani soddalashtiring. 22. 8
8 , 4 ( - - a ) va
) 2 , 3 , 4 ( b vektorlar berilgan. Ularning vektorli ko‘paytmasini, shu vektorlarga yasalgan parallelogrammning yuzini va ular orasidagi burchak sinusini toping. 23. (
1 , 3 , 2 - B nuqtaga ( )
, 2 , 4 -
kuch qo‘yilgan. Bu kuch momentini koordinatalar boshiga nisbatan toping. 24. )
, 2 , 1 (
nuqtaga ) 1 , 1 , 1 ( 1 F , ) 1 , 1 , 3 ( 2 -
va )
, 2 , 3 ( 3 - -
kuchlar qo‘yilgan. Bu kuchlar teng ta’sir etuvchisining A(0,-1,-1) nuqtaga nisbatan kuch momentini aniqlang. 25.
( )( ) ( )
b a a c c b b a 2 = + + + ayniyatni isbotlang. 26.
( ) ( ) 6 , 5 , 4 , 4 , 1 , 7 - - - b a va
( ) 3 , 8 , 6 -
vektorlarning aralash ko‘paytmasini toping.
27. c vektor
a va
b vektorlarga perpendikulyar a va
b vektorlar orasidagi burchak 6 p
3 , 6 = =
a , 3 = c bo‘lsa, c b a aralash ko‘paytmani hisoblang. 28. (
( ) 3 , 1 , 1 , 1 , 3 , 2 - - b a va
( ) 11 , 9 , 1 -
vektorlarning komplanarligini isbotlang. 29.
( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 1 , 5 , 1 , 0 , 1 , 2 , 1 - - C B A va
( ) 3 , 1 , 2 D nuqtalarning bitta tekislikda yotishini isbotlang. Ko‘rsatma:
, , vektorlarning komplanarligidan foydalaning. 30. (
( ) 4 , 4 , 1 , 3 , 4 , 2 b a - va ( ) 2 , 1 , 3 c vektorlardan qurilgan parallelepipedning hajmini hisoblang. Vektorlarning chap yoki ung bog‘lam (uchlik) ni tashkil etishini aniqlang. 31.Uchlari ( ) ( ) ( ) 3 , 4 , 1 , 6 , 1 , 6 , 3 , 1 , 1 - - - C B A va
( ) 3 , 6 , 5 -
nuqtalarda bo‘lgan tetroedrning hajmini hisoblang. 32. (
) 1 , 1 , 4 6 , 4 , 3
a va
( ) 3 , 0 , 2 c vektorlarga qo‘rilgan parallelepipedning hajmini hisoblang.
Download 403.93 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|