O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti
2-mavzu. Vektorlar sistemasi (8 soat)
Download 403.93 Kb. Pdf ko'rish
|
oliy matematika-1
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3. Vetorlarni vektorlar sistemasi orqali yoyish. 4.Ortogonal va ortonormallangan vektorlar sistemalarini qurush.
- 1. Chiziqli bog‘langan va chiziqli bog‘lanmagan vektorlar sistemalari..
- 3. Vetorlarni vektorlar sistemasi orqali yoyish.
- Mustaqil yechish uchun masalalar
- 2. Tarmoqlararo balansning matematik modeli.
- Mahsulot turi Mahsulot miqdori, dona Xom ashyo sarfi, kg Mahsulotni
19
2-mavzu. Vektorlar sistemasi (8 soat) Reja 1. Chiziqli bog‘langan va chiziqli bog‘lanmagan vektorlar sistemalari. 2. Vektorlar sistemasining bazisi va rangi. 3. Vetorlarni vektorlar sistemasi orqali yoyish. 4.Ortogonal va ortonormallangan vektorlar sistemalarini qurush.
Tavsiya etilgan adabiyotlar: 1. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992.-496b. 2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.: 2007.-302b. 3. Begmatov A.B. Oliy matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamKI. 2001. -268b. 4. Begmatov A.B., Yaiubov M.Ya. Iqtisodchilar uchun matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamQXI. 2003. – 299b.
Ta’rif. m a a a ...,
, 2 , 1 vektorlar sistemasi uchun 0 ...
2 2 1 1 = + + +
m a c a c a c
tenglik birdaniga 0 ga teng bo‘lmagan m c c c , ... , , 2 1 sonlar uchun bajarilsa vektorlar sistemasiga chiziqli bog‘langan deyiladi, aks holda vektorlar chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi.. Masalan: ikkita kollinear vektorlar, chiziqli bog‘langan, aksincha ikkita nokollinear vektorlar chiziqli bog‘lanmagan; uchta komplanar vektorlar chiziqli bog‘langan, va aksincha uchta nokomplanar vektorlar chiziqli bog‘lanmagan. 2.Bazis tushunchasi. Biror aniq tartibda olingan tekislikdagi ikkita nokollinear vektorlar shu tekislikning bazisini (asosini) tashkil kiladi. 1
va
2 l vektorlar tekislikning bazisi bulsin, unda tekislikning istalgan
vektori ularning chiziqli kombinatsiyasi sifatida yagona ko‘rinishda ifodalanadi, ya’ni 2 1 l y l x a + = (3) Hamda ( )
у х a , bilan belgilanadi. у х, sonlarga a vektorning 2 ,
l l bazisdagi komponent (koordinat)lari deyiladi.
Fazoda biror aniq tartibda olingan uchta nokomplanar vektorlar, shu fazoning bazisini tashkil etadi: Bu fazoning istalgan a vektori shu 3 ,
, 1
l l bazis
vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida yagona ko‘rinishda ifodalanadi, ya’ni 20
3 2 1 l z l y l x a + + = (4) z у х , , sonlarga a vektorning berilgan bazisdagi komponentlari (koordinatlari) deyiladi va ( ) z y x a , , bilan belgilanadi. Bazisni hosil qiladigan vektorlar soni fazoning o‘lchami deb ataladi. 3. Vetorlarni vektorlar sistemasi orqali yoyish. 1-misol. p (3,2,4), q (4,3,-5), r (7,5,-2) vektorlar berilgan. a (4,3,2) vektorning p ,
,
bazis orqali yoyilmasini toping. Yechish: Ma’lumki (4) formulaga asosan
vektor
r q p , , bazis orqali r z q y p x a + + =
(5) yagona yoyilmaga ega buladi.
, , , vektorlar biror 3 ,
, 1
l l bazisda berilganligi uchun (5) dan = -
+ - + + + + = + + ) 2 5 7 ( ) 5 3 4 ( ) 4 2 3 ( 2 3 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 l l l z l l l y l l l x l l l
3 2 1 ) 2 5 4 ( ) 5 3 2 ( ) 7 4 3 (
z y x l z y x l z y x - - + + + + + + =
Demak noma’lum koeffitsiyentlarni topish uchun ï î ï í ì = - ± = + + = + + 2 2 5 4 , 3 5 3 2 , 4 7 4 3 z y x z y x z y x
tenglamalar sistemasini hosil qildik. Bu tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi bilan yechib, x =7,
y =8,
z =-7 ekanligini aniqlaymiz. Shunday qilib,
vektorning p ,
,
bazisdagi yoyilmasi z q p a 7 8 7 - + =
bo‘ladi. Mustaqil yechish uchun masalalar: 1. Tekislikda ) 2
3 (
va )
, 2 ( q ikkita vektor berilgan. ) 5
4 (
vektorning
bazis
orqali yoyilmasini toping. 2.
) 2 , 3 , 2 ( ), 1 , 4 , 3 ( ), 1 , 5 , 4 ( r q p vektorlar berilgan. ) 4
3 , 6 ( a vektorning r q p , , bazis orqali yoyilmasini toping? 3-mavzu. Chiziqli algebra elementlarining tatbiqlari(6soat) Reja 1. Chiziqli algebra elemenlarining ba’zi chiziqli iqtisodiy modellarning tahlilida qo‘llanilishi. 21
2. Tarmoqlararo balansning matematik modeli. Tavsiya etilgan adabiyotlar: 1. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992.-496b. 2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.: 2007.-302b. 3. Begmatov A.B. Oliy matematika. Ma’ruzalar matni. 1-qism. –Samarqand. SamKI. 2001. -268b. 4. Begmatov A.B., Yaiubov M.Ya. Iqtisodchilar uchun matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamQXI. 2003. – 299b.
1. Matritsalar algebrasining iqtisodda qo‘llanilishi. Chiziqli algebra elementlari yordamida ko‘p iqtisodiy masalalarni yechish mumkin. Boshqacha qilib aytganda iqtisodiy masalalarning modellarini tuzishda chiziqli algebra elementlaridan muvaffaqiyatli foydalanish mumkin bo‘ladi. Masalan: 1) korxona bir kunda to‘rt turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarishning asosiy xususiyatlari 1-jadvalda berilga 1-jadval. Mahsulot turi Mahsulot miqdori, dona Xom ashyo sarfi, kg Mahsulotni tayyorlash vaqt me’yori, mah/soat Mahsulot narxi, pul birligida 1 40 6 5 60 2 60
3 3 40 3 50
7 7 80 4 70
5 6 50 Quyidagi bir kunlik umumiy ko‘rsatkichlarni: a) S xom ashyo sarfini; b) T ish vaqti sarfini; v) R mahsulot ishlab chiqarish qiymatini aniqlang. Yechish. Jadvalda berilganlar asosida ishlab chiqarishni harakterlovchi quyidagi vektorlarni tuzamiz: q(40,60,50,70) - assortiment (ishlab chiqarish korxonalarida belgilangan yoki eng zarur xilma-xil mahsulotlar majmui) vektori; s= (6, 3, 7, 5) - xom ashyo sarfi vektori; t= (5, 3, 7, 6) - ish vaqti sarfi vektori; r=(60, 40, 80, 50) - narx vektori. Izlanayotgan ko‘rsatkichlarni assortiment vektorini mos ravishda qolgan vektorlarning har biriga skalyar ko‘paytmasini topish bilan aniqlanadi, ya’ni S=q ×s=40×6+60×3+50×7+70×5=1120 kg T=q ×t=40×5+60×3+50×7+70×6=1150 soat R=q ×r=40×60+60×40+50×80+70×50=14700 pul birligi; 22
2) korxona to‘rt xildagi xom ashyoni ishlatib, to‘rtta turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan xom ashyo sarfi quyidagi matritsa bilan berilgan bo‘lsin:
xom ashyo xillari
1 2 3 4 ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ = 7 6 5 4 2 4 3 7 5 4 3 2 6 5 2 3 A
4 3 2 1 mahsulot turlari
Har bir xom ashyo tannarxi hamda uni tashib keltirishga ketgan harajatlar mos ravishda 10, 12, 16, 18 va 3, 2, 1, 3 pul birligida bo‘lsa, quyidagi ko‘rsatkichlarni: a) har bir tur mahsulotni ishlab chiqarish uchun ketgan xom ashyo va tashishga ketgan umumiy harajatlarni aniqlang; b) ishlab chiqarish rejasi 80, 50, 40, 70 birliklarda bo‘lsa, ishlab chiqarishga ketadigan xom ashyo va tashishga sarflanadigan umumiy harajatlarini toping. Yechish. Xom ashyo tannarxi va uni tashish narxi matritsasini tuzamiz:
÷÷ ø ö çç è æ = 3 1 2 3 18 16 12 10 С
a) birinchi savolga javobni А matritsani Т С - transponirlangan matritsaga ko‘paytmasi sifatida topamiz:
А .
С = × ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ = ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ × ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ 49 322 37 206 31 210
36 242
3 18 1 16 2 12 3 10 7 6 5 4 2 4 3 7 5 4 3 2 6 5 2 3 Oxirgi matritsaning birinchi ustuni, mahsulot turlari bo‘yicha xom ashyo uchun harajatlarni, ikkinchi ustun esa xom ashyoni tashish uchun ketgan transport harajatlarini ifodalaydi. b) mahsulot ishlab chiqarishning q=(80, 60, 40, 70) vektor rejasida umumiy harajatlarni topish uchun satr matritsani А .
С matritsaga ko‘paytiramiz:
( ) ( ) 9650
62740 49 322 37 206
31 210
36 242
. 70 40 60 80 . . = ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ = T C A q
23
Hosil bo‘lgan matritsaning birinchi 62740 elementi xom ashyo uchun ketgan va ikkinchi 9650 elementi esa xom ashyoni tashishga ketgan umumiy harajatlarni bildiradi; 3) ych xildagi xom ashyoni ishlatib to‘rt turdagi mahsulot ishlab chiqaruvchi beshta korxonaning kunlik ishlab chiqarish ko‘rsatkichi hamda har bir korxonaning yillik ishlashi kuni va xom ashyolarning narxi quyidagi 2-jadvalda berilgan: 2-jadval. mahsulot turlari
Korxonalar unumdorligi, mahsulot/kun xom ashyo xillari sarfi
1 2 3 4 5 1 2 3 1 5 4 3 6 8 3 2 3 2 3 5 7 4 7 4 5 6 3 6 7 6 5 0 5 6 3 4 4 5 6 7 6 6 7 8
Yillik ish kunlari miqdori xom ashyo narxi
1 2 3 4 5 1 2 3
260 250 230
240 235
60 80
70
Quyidagilarni: a) har bir korxonaning mahsulot turlari bo‘yicha yillik unumdorligini; b) har bir korxonaning xom ashyo xillariga yillik ehtiyojini; c) korxonalar mahsulot ishlab chiqarishi uchun xom ashyo xillari va miqdori bo‘yicha sotib olishga ketgan harajatlarining yillik miqdorini aniqlang. Yechish. Korxonalarning mahsulot ishlab chiqarish bo‘yicha unumdorligi matritsasini tuzamiz: Unumdorligi
÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ = 6 7 6 5 4 0 5 6 7 6 7 4 7 5 3 8 6 3 4 5 5 4 3 2 1 A
Bu matritsaning har bir ustuni biror korxona mahsulot turlari bo‘yicha kunlik unumdorligiga mos keladi. Biror korxonaning mahsulot turlari bo‘yicha yillik unumdorligini topish uchun yildagi ish kunlarini mos korxona ustuniga ko‘paytirish bilan, masalan 1-korxona uchun: 260 ×5, 260×3, 260×6, 260×4, ya’ni 1300, 780, 1560, 1040 bo‘ladi. Demak, yillik unumdorlik 1 2
4 turlari 24
÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ = 1410 0 1645 1880 1680
1380 1250
1040 1200
1380 1750
1560 960
1610 1250
780 1440
690 1000
1300 yil A
bo‘ladi. Endi, xom ashyolar sarfi matritsasi B ni tuzamiz: mahsulot turlari 1 2 3 4
÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ = 8 3 6 3 7 6 5 2 6 5 4 3 B
Xom ashyo xillari bo‘yicha korxonalar kunlik sarflari B matritsani A
matritsaga ko‘paytirish bilan topiladi, ya’ni ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ × ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ = 114 93 88 113 111 101
117 103
83 119
110 89 103 97 81 6 0 7 8 7 6 5 4 5 6 7 6 4 7 5 3 6 3 4 5 8 3 6 3 7 6 5 2 6 5 4 3 BA
Har bir korxonaning xom ashyo xillariga yillik ehtiyojini B matritsani yil A matritsaga ko‘paytirish bilan aniqlanadi, ya’ni
÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ × ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 24910
21855 20680
26760 25740
24000 26910
27370 23690
25680 27500
24250 21580
23140 21060
1410 0 1645 1880 1680
1200 960
1440 1380
1380 1610
690 1250
1750 1250
1000 1040
1560 780
1300 8 3 6 3 7 6 5 2 6 5 4 3 yil BA
Shunday qilib, masalan 1-korxonaning xom ashyo xillariga yillik ehtiyoji mos ravishda 21060, 23140, 21580 bo‘ladi. Xom ashyo narxi matritsasi ( ) 70 80 60 = P bo‘ladi. Har bir korxonaning xom ashyo yillik zahirasi uchun umumiy harajatini topish uchun
satr matritsani yil BA matritsaga ko‘paytiramiz:
25
2. Endi matritsalar hisobining iqtisodda qo‘llanilishiga misollar qaraymiz. Chiziqli tenglamalar sistemasini tuzishga va ularni yechishga iqtisodiy misol qaraymiz. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xrakteristikalari 3-jadvalda berilgan. 3-jadval. xom ashyo xillari Mahsulot turlari bo‘yicha xom ashyo sarflari xom ashyo zahirasi
1
3
1 5 12
7 2000
2 10
6 8 1660 3 9 11 4 2070
Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari bo‘yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang. Yechish: Ishlab chiqarilishi kerak bo‘lgan mahsulotlar hajmini mos ravishda 3 2
, ,
X X lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun sarfi 5 birlik bo‘lganligi uchun 1 5X , 1-tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1- xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2,3-tur mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 2 12X , 3 7X bo‘lib, uning uchun quyidagi tenglama o‘rinli bo‘ladi: 1 5X + 2 12X + 3 7X =2000 uqoridagiga o‘xshash 2,3-xil xom ashyolar uchun
2070
4 11 9 , 1660
8 6 10 3 2 1 3 2 1 = + + = + + X X X X X X
tenglamalar hosil bo‘ladi. Demak, masala shartlarida quyidagi chiziqli uch no’malumli uchta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
2070
4 11 9 , 1660
8 6 10 , 2000
7 12 5 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + = + + = + + X X X X X X X X X
( ) ( ) × = = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ × = × 4632900 5372400 5464700
5452600 4626400
24910 21855
20680 26760
25740 24000
26910 27370
23690 25680
27500 24250
21580 23140
21060 70 80 60 yil BA P 26
chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning biror usulidan foydalanib 30 , 120 , 70 3 2 1 = = = X X X echimni topish mumkin. (Buni yechib ko‘rishni o‘quvchiga havola qilamiz). Bu mahsulot turlari bo‘yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlaydi.
Download 403.93 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling