O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti


  2-mavzu. Vektorlar sistemasi (8 soat)


Download 403.93 Kb.
Pdf ko'rish
bet4/8
Sana23.05.2020
Hajmi403.93 Kb.
#109336
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
oliy matematika-1


 

 

19 


2-mavzu. Vektorlar sistemasi (8 soat) 

Reja 

1. Chiziqli bog‘langan va chiziqli bog‘lanmagan vektorlar sistemalari. 

2. Vektorlar sistemasining bazisi va rangi. 

3. Vetorlarni vektorlar sistemasi orqali yoyish. 

4.Ortogonal va ortonormallangan vektorlar sistemalarini qurush. 

 

Tavsiya etilgan adabiyotlar: 



1. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992.-496b. 

2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.: 

2007.-302b. 

3. Begmatov A.B. Oliy matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamKI. 

2001. -268b. 

4. Begmatov A.B., Yaiubov M.Ya. Iqtisodchilar uchun matematika. Ma’ruzalar 

matni. –Samarqand. SamQXI. 2003. – 299b. 

1. Chiziqli bog‘langan va chiziqli bog‘lanmagan vektorlar sistemalari.. 

 Ta’rif. 



m

a

a

a

...,


,

2

,



1

 vektorlar sistemasi uchun 

0

...


2

2

1



1

=

+



+

+

m



m

a

c

a

c

a

c

 

tenglik birdaniga 0 ga teng bo‘lmagan 



m

c

c

c

,

...



,

,

2



1

  sonlar uchun bajarilsa vektorlar 



sistemasiga chiziqli bog‘langan  deyiladi,  aks  holda  vektorlar  chiziqli 

bog‘lanmagan bo‘ladi.. Masalan: ikkita kollinear vektorlar, chiziqli bog‘langan, 

aksincha ikkita nokollinear vektorlar chiziqli bog‘lanmagan; uchta komplanar 

vektorlar chiziqli bog‘langan, va aksincha uchta nokomplanar vektorlar chiziqli 

bog‘lanmagan. 

2.Bazis tushunchasi. Biror aniq tartibda olingan tekislikdagi ikkita nokollinear 

vektorlar shu tekislikning bazisini (asosini) tashkil kiladi.  

1

l

va 


2

l

vektorlar 

tekislikning bazisi bulsin, unda tekislikning istalgan 

a

 vektori ularning chiziqli 

kombinatsiyasi sifatida yagona ko‘rinishda ifodalanadi, ya’ni 

2

1



l

y

l

x

a

+

=



                           

       (3) 

Hamda 

( )


у

х

,

 bilan belgilanadi. 



у

х,

  sonlarga 



a

  vektorning 

2

,

1



l

l

  bazisdagi 

komponent (koordinat)lari deyiladi. 

 

Fazoda biror aniq tartibda  olingan uchta nokomplanar vektorlar, shu fazoning 



bazisini tashkil etadi: Bu fazoning istalgan 

a

  vektori  shu 

3

,

2



,

1

l



l

l

  bazis 


vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida yagona ko‘rinishda ifodalanadi, ya’ni 

 

20 


3

2

1



l

z

l

y

l

x

a

+

+



=

                                     (4) 



z

у

х ,

,

  sonlarga   vektorning berilgan bazisdagi komponentlari (koordinatlari) 



deyiladi va 

(

)



z

y

x

a

,

,



 bilan belgilanadi. 

Bazisni hosil qiladigan vektorlar soni fazoning o‘lchami deb ataladi.  



3. Vetorlarni vektorlar sistemasi orqali yoyish. 

1-misol. 



p

(3,2,4), 



q

(4,3,-5),  (7,5,-2) vektorlar   berilgan. 



a

(4,3,2)  vektorning 



p

,

q

,

r

 bazis orqali yoyilmasini toping. 

Yechish: Ma’lumki (4) formulaga asosan 

a

 vektor 


r

q

,

,

 bazis orqali 



r

z

q

y

p

x

a

+

+



=

 

 



 

            (5) 

yagona yoyilmaga ega buladi. 

r

q

p

a

,

,



,

vektorlar biror 

3

,

2



,

1

l



l

l

 bazisda berilganligi uchun (5) dan 

=

-

+



+

-

+



+

+

+



=

+

+



)

2

5



7

(

)



5

3

4



(

)

4



2

3

(



2

3

4



3

2

1



3

2

1



3

2

1



3

2

1



l

l

l

z

l

l

l

y

l

l

l

x

l

l

l

 

3



2

1

)



2

5

4



(

)

5



3

2

(



)

7

4



3

(

l



z

y

x

l

z

y

x

l

z

y

x

-

-



+

+

+



+

+

+



=

 

Demak noma’lum koeffitsiyentlarni topish uchun 



ï

î

ï



í

ì

=



-

±

=



+

+

=



+

+

2



2

5

4



,

3

5



3

2

,



4

7

4



3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

tenglamalar sistemasini hosil qildik. Bu tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi bilan 



yechib, 

x

=7, 


y

=8,


z

=-7 ekanligini aniqlaymiz. 

Shunday qilib, 

a

 vektorning 



p

,

q

,

r

bazisdagi yoyilmasi 



z

q

p

a

7

8



7

-

+



=

 

bo‘ladi.      



Mustaqil yechish uchun masalalar: 

1. Tekislikda 

)

2

,



3

(

p

va 

)

1



,

2

(



q

ikkita vektor berilgan. 

)

5

,



4

(

a

vektorning 

q

,

 bazis 


orqali yoyilmasini toping. 

2. 


)

2

,



3

,

2



(

),

1



,

4

,



3

(

),



1

,

5



,

4

(



r

q

p

 vektorlar berilgan. 

)

4

,



3

,

6



(

a

 vektorning 



r

q

p

,

,



  

bazis orqali yoyilmasini toping?            



 

 

 

3-mavzu. Chiziqli algebra elementlarining tatbiqlari(6soat) 

 Reja 

1.  Chiziqli algebra elemenlarining ba’zi chiziqli iqtisodiy modellarning 

tahlilida qo‘llanilishi. 

 

21 


2.  Tarmoqlararo balansning matematik modeli. 

Tavsiya etilgan adabiyotlar: 

1.  Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992.-496b. 

2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.: 

2007.-302b. 

3. Begmatov A.B. Oliy matematika. Ma’ruzalar matni. 1-qism. –Samarqand. 

SamKI. 2001. -268b. 

4. Begmatov A.B., Yaiubov M.Ya. Iqtisodchilar uchun matematika. Ma’ruzalar 

matni. –Samarqand. SamQXI. 2003. – 299b. 

 

1. Chiziqli algebra elemenlarining ba’zi chiziqli iqtisodiy modellarning 

tahlilida qo‘llanilishi. 

1. Matritsalar algebrasining iqtisodda qo‘llanilishi. Chiziqli algebra 

elementlari yordamida ko‘p iqtisodiy masalalarni yechish mumkin. Boshqacha qilib 

aytganda iqtisodiy masalalarning modellarini tuzishda chiziqli algebra elementlaridan 

muvaffaqiyatli foydalanish mumkin bo‘ladi. Masalan: 

1) korxona bir kunda to‘rt turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab 

chiqarishning asosiy xususiyatlari 1-jadvalda berilga 

1-jadval. 



Mahsulot turi 

Mahsulot 

miqdori, dona 

Xom ashyo 

sarfi, kg 

Mahsulotni 

tayyorlash 

vaqt me’yori, 

mah/soat 

Mahsulot 

narxi, pul 

birligida 

40 



60 



60 


40 



50 


80 



70 


50 



Quyidagi bir kunlik umumiy ko‘rsatkichlarni: a) S xom ashyo sarfini; b) T ish vaqti 

sarfini; v) R mahsulot ishlab chiqarish qiymatini aniqlang. 

Yechish. Jadvalda berilganlar asosida ishlab chiqarishni harakterlovchi 

quyidagi vektorlarni tuzamiz: q(40,60,50,70) -  assortiment  (ishlab  chiqarish 

korxonalarida belgilangan yoki eng zarur xilma-xil mahsulotlar majmui) vektori; 

s= (6, 3, 7, 5) - xom ashyo sarfi vektori; 

t= (5, 3, 7, 6) - ish vaqti sarfi vektori; 

r=(60, 40, 80, 50) - narx vektori

Izlanayotgan ko‘rsatkichlarni assortiment vektorini mos ravishda qolgan 

vektorlarning har biriga skalyar ko‘paytmasini topish bilan aniqlanadi, ya’ni 

S=q

×s=40×6+60×3+50×7+70×5=1120 kg 



T=q

×t=40×5+60×3+50×7+70×6=1150 soat 

R=q

×r=40×60+60×40+50×80+70×50=14700 pul birligi; 



 

22 


2)  korxona to‘rt xildagi xom ashyoni ishlatib, to‘rtta turdagi mahsulot ishlab 

chiqarish uchun ketgan xom ashyo sarfi quyidagi matritsa bilan berilgan 

bo‘lsin:  

 

  



xom ashyo xillari

 

 



 

 

 



         1  2  3  4           

÷÷

÷



÷

÷

ø



ö

çç

ç



ç

ç

è



æ

=

7



6

5

4



2

4

3



7

5

4



3

2

6



5

2

3



A

 

4



3

2

1



  mahsulot turlari 

   


 

 

 



 

Har bir xom ashyo tannarxi hamda uni tashib keltirishga ketgan 

harajatlar mos ravishda 10, 12, 16, 18 va 3, 2, 1, 3 pul birligida bo‘lsa, quyidagi 

ko‘rsatkichlarni: a) har bir tur mahsulotni ishlab chiqarish uchun ketgan xom ashyo 

va tashishga ketgan umumiy harajatlarni aniqlang; b) ishlab  

chiqarish  rejasi 80, 50, 40, 70 birliklarda bo‘lsa, ishlab chiqarishga ketadigan xom 

ashyo va tashishga sarflanadigan umumiy harajatlarini toping. 

Yechish. Xom ashyo tannarxi va uni tashish narxi  matritsasini tuzamiz: 

  

 

 



 

÷÷

ø



ö

çç

è



æ

=

3



1

2

3



18

16

12



10

С

 

 



a) birinchi savolga javobni 

А

 matritsani 



Т

С

- transponirlangan matritsaga 

ko‘paytmasi sifatida topamiz: 

 

           



А

.

Т



С

=

×



÷÷

÷

÷



÷

ø

ö



çç

ç

ç



ç

è

æ



=

÷÷

÷



÷

÷

ø



ö

çç

ç



ç

ç

è



æ

×

÷÷



÷

÷

÷



ø

ö

çç



ç

ç

ç



è

æ

49



322

37

206



31

210


36

242


3

18

1



16

2

12



3

10

7



6

5

4



2

4

3



7

5

4



3

2

6



5

2

3



 

Oxirgi matritsaning birinchi ustuni, mahsulot turlari bo‘yicha xom ashyo 

uchun harajatlarni, ikkinchi ustun esa xom ashyoni tashish uchun ketgan transport 

harajatlarini ifodalaydi. 

b) mahsulot ishlab chiqarishning q=(80, 60, 40, 70) vektor rejasida umumiy 

harajatlarni topish uchun satr matritsani 



А

.

Т



С

 matritsaga ko‘paytiramiz: 

                   

 

 



(

)

(



)

9650


62740

49

322



37

206


31

210


36

242


.

70

40



60

80

.



.

=

÷÷



÷

÷

÷



ø

ö

çç



ç

ç

ç



è

æ

=



T

C

A

q

 

 



 

 

23 


Hosil bo‘lgan matritsaning birinchi 62740 elementi xom ashyo uchun ketgan va 

ikkinchi 9650 elementi esa xom ashyoni tashishga ketgan umumiy harajatlarni 

bildiradi; 

3) ych xildagi xom ashyoni ishlatib to‘rt turdagi   mahsulot ishlab 

chiqaruvchi beshta korxonaning kunlik ishlab chiqarish ko‘rsatkichi hamda har bir 

korxonaning yillik ishlashi kuni va xom ashyolarning narxi quyidagi 2-jadvalda 

berilgan: 

2-jadval. 

mahsulot 

turlari 


Korxonalar unumdorligi,  

mahsulot/kun 

xom ashyo xillari sarfi 

 































 

Yillik ish kunlari miqdori 



xom ashyo narxi 

 







 

260 



250 

230 


240 

235 


60 

80 


70 

 

Quyidagilarni: 



a) har bir korxonaning mahsulot turlari bo‘yicha yillik unumdorligini

b) har bir korxonaning xom ashyo xillariga yillik ehtiyojini

c) korxonalar mahsulot ishlab chiqarishi uchun xom ashyo xillari va 

miqdori bo‘yicha sotib olishga ketgan harajatlarining yillik miqdorini aniqlang. 

Yechish. Korxonalarning mahsulot ishlab chiqarish bo‘yicha unumdorligi 

matritsasini tuzamiz:                     

                                                            Unumdorligi                         

  

 



 

 

 



                                                

 

÷÷



÷

÷

÷



ø

ö

çç



ç

ç

ç



è

æ

=



6

7

6



5

4

0



5

6

7



6

7

4



7

5

3



8

6

3



4

5

5



4

3

2



1

A

 

 



 

                  Bu matritsaning har bir ustuni biror korxona mahsulot turlari bo‘yicha 



kunlik unumdorligiga mos keladi. Biror korxonaning mahsulot turlari bo‘yicha yillik 

unumdorligini topish uchun yildagi ish kunlarini mos korxona ustuniga ko‘paytirish 

bilan, masalan 1-korxona uchun: 260

×5, 260×3, 260×6, 260×4, ya’ni 1300, 780, 1560, 

1040 bo‘ladi. Demak, yillik unumdorlik 



3 maxsulot



 

4 turlari 



 

24 


 

 

÷÷



÷

÷

÷



ø

ö

çç



ç

ç

ç



è

æ

=



1410

0

1645



1880

1680


1380

1250


1040

1200


1380

1750


1560

960


1610

1250


780

1440


690

1000


1300

yil

A

 

   



bo‘ladi. 

Endi, xom ashyolar sarfi matritsasi 



B

 ni tuzamiz:  

                         mahsulot turlari 

                           1   2   3    4 

                      

       


÷÷

÷

÷



÷

ø

ö



çç

ç

ç



ç

è

æ



=

8

3



6

3

7



6

5

2



6

5

4



3

B

 

 



Xom ashyo xillari bo‘yicha korxonalar kunlik sarflari 

B

  matritsani 



A

 

matritsaga ko‘paytirish bilan topiladi, ya’ni 



 

÷

÷



÷

ø

ö



ç

ç

ç



è

æ

=



÷÷

÷

÷



÷

ø

ö



çç

ç

ç



ç

è

æ



×

÷÷

÷



÷

÷

ø



ö

çç

ç



ç

ç

è



æ

=

114



93

88

113



111

101


117

103


83

119


110

89

103



97

81

6



0

7

8



7

6

5



4

5

6



7

6

4



7

5

3



6

3

4



5

8

3



6

3

7



6

5

2



6

5

4



3

BA

 

 



Har bir korxonaning xom ashyo xillariga yillik ehtiyojini 

B

matritsani 



yil

A

matritsaga 

ko‘paytirish bilan aniqlanadi, ya’ni 

 

÷



÷

÷

ø



ö

ç

ç



ç

è

æ



=

÷÷

÷



÷

÷

ø



ö

çç

ç



ç

ç

è



æ

×

÷



÷

÷

ø



ö

ç

ç



ç

è

æ



=

24910


21855

20680


26760

25740


24000

26910


27370

23690


25680

27500


24250

21580


23140

21060


1410

0

1645



1880

1680


1200

960


1440

1380


1380

1610


690

1250


1750

1250


1000

1040


1560

780


1300

8

3



6

3

7



6

5

2



6

5

4



3

yil

BA

 

 



Shunday qilib, masalan 1-korxonaning xom ashyo xillariga yillik ehtiyoji 

mos ravishda 21060, 23140,  21580 bo‘ladi. 

Xom ashyo narxi  matritsasi 

(

)



70

80

60



=

P

bo‘ladi. Har bir korxonaning 

xom ashyo yillik zahirasi uchun umumiy harajatini topish uchun 

P

 satr matritsani 



yil

BA

matritsaga ko‘paytiramiz: 

 


 

25 


 

 

 



 

 

2. Endi  matritsalar hisobining iqtisodda qo‘llanilishiga misollar qaraymiz. 



 Chiziqli tenglamalar sistemasini tuzishga va ularni yechishga iqtisodiy 

misol qaraymiz. 

Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab 

chiqaradi. Ishlab chiqarish xrakteristikalari 3-jadvalda berilgan. 

3-jadval. 

xom ashyo 

xillari 

Mahsulot turlari bo‘yicha xom ashyo 

sarflari 

xom ashyo zahirasi 

 





 



12 


2000 


10 


1660 



11 



2070 


 

Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari bo‘yicha ishlab 

chiqarish hajmini aniqlang. 

Yechish: Ishlab chiqarilishi kerak bo‘lgan mahsulotlar hajmini mos ravishda 

3

2

1



,

,

X



X

X

lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun 

sarfi 5 birlik bo‘lganligi uchun 

1

5X



, 1-tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-

xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2,3-tur mahsulotlarni ishlab 

chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 

2

12X



,

3

7X



 bo‘lib, uning 

uchun quyidagi tenglama o‘rinli bo‘ladi: 

1

5X



+

2

12X



+

3

7X



=2000 uqoridagiga o‘xshash 

2,3-xil xom ashyolar uchun 

 

2070


4

11

9



,

1660


8

6

10



3

2

1



3

2

1



=

+

+



=

+

+



X

X

X

X

X

X

 

 



tenglamalar hosil bo‘ladi. Demak, masala shartlarida quyidagi chiziqli uch 

no’malumli uchta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 

 

2070


4

11

9



,

1660


8

6

10



,

2000


7

12

5



3

2

1



3

2

1



3

2

1



=

+

+



=

+

+



=

+

+



X

X

X

X

X

X

X

X

X

 

 



(

)

(



)

×

=



=

÷

÷



÷

ø

ö



ç

ç

ç



è

æ

×



=

×

4632900



5372400

5464700


5452600

4626400


24910

21855


20680

26760


25740

24000


26910

27370


23690

25680


27500

24250


21580

23140


21060

70

80



60

yil

BA

P

 

26 


chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yechishning  biror  usulidan  foydalanib 

30

,



120

,

70



3

2

1



=

=

=



X

X

X

echimni topish mumkin. (Buni yechib ko‘rishni o‘quvchiga 

havola qilamiz). Bu mahsulot turlari bo‘yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlaydi.  


Download 403.93 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling