O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti

3. Ko‘p tarmoqli iqtisodda Leontev modeli.  Bunday  masala  ko‘p 

tarmoqli moddiy ishlab chiqarishni tahlil qilish, rejalashtirishda kelib chiqadi. Bu 

masalaning harakterli tomoni shundaki, u balans matritsasi modeli bilan ifodalanadi. 

Moddiy  ishlab  chiqarish 

n

 ta  tarmoqdan  iborat  bo‘lsin. 

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

 bilan 

mahsulot ishlab chiqarishning vaqt birligidagi (masalan, bir yillik) rejalashtirilgan 

hajmini belgilaylik. 

Tarmoqlararo balans masalasida moddiy ishlab chiqarish bir necha tarmoqlar 

to‘plamidan iborat bo‘lib, bu tarmoqlarning har biri biror mahsulot ishlab chiqaradi 

yoki biror xizmat ko‘rsatadi. Ishlab chiqarish jarayonida biror tarmoq boshqa 

tarmoqning mahsulotini, masalan, xom ashyo, tayyor materiallar, jihozlar, yoqilg‘i, 

energiya, xizmat turlari va boshqalarni ishlatadi. 

(

)

n

j

i

q

ij

K

,

2

,

1

,

=

-

i

tarmoqning 

-

j

tarmoq 

1

X

miqdordagi mahsulot ishlab chiqarishiga ketgan sarfi hajmini ifodalab, 

-

-1

1

i

q

tarmoqning o‘zida sarflanadigan qismini ifodalasin 

(

)

.

,

2

,

1

n

i

K

=

 

Ma’lumki, 

-

i

tarmoq mahsulotining bir qismi moddiy ishlab chiqarishga 

sarflanib, qolgan qismi boshqa maqsadlar uchun, masalan, xalq iste’moliga, 

eksportga, mablag‘lar yig‘imi (zahira)ga ketadi. 

-

i

 tarmoqning moddiy ishlab 

chiqarishga sarflanmagan qismiga, so‘nggi (oxirgi, oxiridagi, pirovard) mahsulot deb 

ataymiz.  Ularni 

n

y

y

y

,

,

2

1

K

bilan belgilasak  har  bir tarmoq  mahsulotining 

taqsimlanishini quyidagi jadval orqali ifodalash mumkin (4-jadval). 

4-jadval. 

Moddiy 

i/ch 

Mahsulot 

hajmi 

            Tarmoqlararo  sarflar  oqimi 

so‘nggi 

mahsulot 

tarmoq 

raqami 

 

1

 

2

 

K

 

n

 

 

1

 

1

X

 

11

q

 

12

q

 

K

 

n

q

1

 

1

y

 

2

 

2

X

 

21

q

 

22

q

 

K

 

n

q

2

 

2

y

 

K

 

K

 

K

 

K

 

K

 

K

 

K

 

n  

n

X

 

1

n

q

 

2

n

q

 

K

 

nn

q

 

n

y

 

 

Bu jadvalga tarmoqlararo bog‘liqlik jadvali deyiladi. 

Tarmoqlararo bog‘liqlik jadvalida faqat satrlar elementlarini jamlash 

mumkin, ustunlar elementlarini jamlash mumkin emas, chunki ular har xil tarmoqlar 

mahsulotidir. 

Tarmoqlararo balans  masalasining  matematik  modelini tenglamalar 

sistemasi shaklida quyidagicha ifodalash mumkin: 

 

 

27 

n

nn

n

n

n

n

n

y

q

q

q

X

y

q

q

q

X

y

q

q

q

X

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

K

K

K

2

1

2

2

22

21

2

1

1

12

11

1

..

..........

..........

..........

..........

 

 

Bu tenglamalarga ishlab chiqarishning balans telanglamalari deb ataladi. 

Odatda ikki xil balans: qiymat balansi va mahsulotlarning turlari bo‘yicha natural 

balansdan foydalaniladi. Biz qiymatlar balansini qaraymiz. 

(1) tenglamalar sistemasini quyidagicha o‘zgartiramiz: 

 

       

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

X

X

q

X

X

q

X

X

q

X

y

X

X

q

X

X

q

X

X

q

X

y

X

X

q

X

X

q

X

X

q

X

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

K

K

K

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

22

1

1

21

2

1

1

2

2

12

1

1

11

1

..........

..........

..........

..........

..........

..........

 

 

(2) tenglamalar sistemasida 

(

)

n

j

i

a

X

q

a

X

q

a

X

q

ij

i

ij

,

2

,

1

,

/

/

,

/

12

2

12

11

1

11

K

K

=

=

=

=

 

belgilashlarni kiritib, uni quyidagicha yozamiz: 

 

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

y

X

a

X

a

X

a

X

y

X

a

X

a

X

a

X

y

X

a

X

a

X

a

X

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

K

K

K

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

........

..........

..........

..........

..........

..........

 

 

j

ij

ij

X

q

a

/

=

koeffitsiyentlarga texnologik koeffitsiyentlar deyiladi. Chunki, mavjud 

texnika darajasida 

-

j

tarmoq  X 

j

 birlik mahsulot ishlab chiqarishi uchun 

-

i

tarmoqning mahsulotidan 

ij

q

birlik sarflansa, bir birlik 

-

j

tarmoqning mahsuloti 

uchun 

 

j

ij

ij

X

q

a

/

=

(

)

n

j

i

,

,

2

,

1

,

K

=

 

-

i

tarmoq mahsuloti sarfini ifodalaydi. Demak, 

-

ij

a

miqdor  

-

j

tarmoqning 

mahsulotini ishlab chiqarish uchun 

-

i

 tarmoq mahsulotini sarfini bildiradi. 

Texnologik koeffitsiyentlar quyidagi n-tartibli kvadrat matritsani hosil 

qiladi: 

 

 

28 

A

= 

÷÷

÷

÷

÷

ø

ö

çç

ç

ç

ç

è

æ

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

K

K

K

2

1

2

22

21

1

12

11

..........

..........

   

 

(5) 

 

 

A

 matritsa moddiy ishlab chiqarish rejalashtirayotgan davrga, mahsulot ishlab 

chiqarishning texnik shartini ifodalaydi, shuning uchun, uni ishlab chiqarish texnikasi 

yoki bevosita harajatlar matritsasi deb yuritiladi. 

(3) sistemani matritsalar yordamida 

 

n

n

nn

n

n

n

n

n

y

y

y

X

X

X

a

a

a

a

a

a

a

a

a

X

X

X

A

2

1

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

+

×

=

=

K

K

K

 

ko‘rinishda yozib, 

y

y

y

y

X

X

X

X

n

n

=

=

2

1

2

1

,

 

belgilashlarni bajarib 

 

Y

AX

X

+

=

 yoki    

,

Y

AX

X

=

-

 

 

bundan 

 

(

)

Y

X

A

E

=

-

   

 

 

 

(6) 

 

kelib chiqadi,  bu yerda Ye birlik matritsa. Bu muammo birinchi marta atoqli amerika 

iqtisodchisi V.V.Leontev tomonidan 1936 yilda matematik model sifatida qaralgani 

uchun, uning nomi bilan (6) tenglamaga Leontev modeli deyiladi. (6) tenglikdan 

(

)

A

E

-

matritsaga teskari 

(

)

1

-

- A

E

 matritsani topib, uni bu tenglikka chap tomondan 

ko‘paytirib 

(

) (

)

(

)

Y

A

E

X

A

E

A

E

1

1

-

-

-

=

-

-

   

(

)

Y

A

E

X

1

-

-

=

   

(7) 

 

 

 

tenglikni  hosil  qilamiz. 

(

)

1

-

-

=

A

E

P

matritsaga  to‘la harajatlar matritsasi  deb 

ataymiz.

 

(7) tenglikdan foydalanib quyidagi masalalarni yechish mumkin: 

 

 

29 

1) tarmoqlarning 

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

yalpi mahsulotlari miqdorini bilgan holda ularning 

so‘nggi 

n

Y

Y

Y

,

,

,

2

1

K

mahsulotlari miqdorini aniqlash mumkin, ya’ni 

                

(

)

;

X

A

E

Y

-

=

 

2) bevosita harajatlar matritsasi A ni bilgan holda to‘la harajatlar matritsasi 

                 

(

)

1

-

-

=

A

E

P

 

ni aniqlash mumkin; 

3) tarmoqlarning so‘nggi mahsulotlar miqdori u

1

,  u

2

, ..., u

n 

lar rejasi aniq 

bo‘lganda, ularning yalpi mahsulotlari miqdorini topish mumkin, ya’ni 

 

             

(

)

.

1

Y

A

E

X

-

-

=

 

 1-misol. Ishlab  chiqarish   uchta tarmoqdan iborat bo‘lib, bevosita 

harajatlar matritsasi quyidagicha bo‘lsin: 

          

 

 

 

 

          

  

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

1

,

0

0

,

0

1

,

0

2

,

0

3

,

0

2

,

0

0

,

0

1

,

0

3

,

0

A

  

Rejalashtirish  jarayonida  so‘nggi  mahsulotga  ehtiyoji 

000

200

,

000

300

,

000

100

3

2

1

=

=

=

y

y

y

ekanligi  aniqlandi.  Tarmoqlarning  yalpi 

mahsulot ishlab chiqarish rejasini tuzing. 

Yechish.

(

)

A

E

-

matritsani tuzamiz: 

 

(

)

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

-

-

-

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

-

9

,

0

0

,

0

1

,

0

2

,

0

7

,

0

2

,

0

0

,

0

1

,

0

7

,

0

1

,

0

0

,

0

1

,

0

2

,

0

3

,

0

2

,

0

0

,

0

1

,

0

3

,

0

001

010

100

A

E

 

 

(

)

A

E

-

matritsaga teskari matritsani topamiz: 

 

 

(

)

0421

018

,

0

002

,

0

441

,

0

9

,

0

0

,

0

1

,

0

2

,

0

7

,

0

2

,

0

0

,

0

1

,

0

7

,

0

=

-

-

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

-

-

-

=

D

 

 

.

47

,

0

,

14

,

0

,

02

,

0

,

01

,

0

,

63

,

0

,

09

,

0

,

07

,

0

,

2

,

0

,

63

,

0

33

32

31

23

22

21

13

12

11

=

=

=

=

=

=

=

=

=

A

A

A

A

A

A

A

A

A

 

 

(

)

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

D

=

-

-

639

11

,

1

253

33

,

0

751

04

,

0

375

02

,

0

643

49

,

1

378

21

,

0

27

166

,

0

06

475

,

0

643

49

,

1

1

33

23

13

32

22

12

31

21

11

1

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

E

 

 

30 

 

3

2

1

030

247

941

562

279

223

000

200

000

300

000

100

639

11

,

1

253

33

,

0

751

04

,

0

375

02

,

0

643

49

,

1

378

21

,

0

627

16

,

0

506

47

,

0

643

49

,

1

x

x

x

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

×

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

 

 

Shunday qilib, 

030

247

,

941

562

,

279

223

3

2

1

=

=

=

x

x

x

   

 

Takrorlash uchun savollar 

 

1. Assortiment nima? 

2. Matritsalar algebrasi deganda nimani tushunasiz? 

3. Mahsulot ishlab chiqarishda xom ashyo sarfini oddiy misollarda 

tushuntiring? 

4. Mahsulotni tayyorlash vaqti me’yoriga misollar keltiring? 

5. Korxonaning kunlik unumdorligi nima? 

6. Chiziqli tenglamalar sistemasini tuzishga misollar keltiring? 

7. Mahsulot ishlab chiqarishda xom ashyoga yillik ehtiyoj deganda nimani 

tushunasiz? 

8. Xom ashyo tannarxi nima? 

9. Ko‘p tarmoqli ishlab chiqarishni ta’riflab bering? 

10. Ishlab chiqarishning yalpi mahsuloti deb nimaga aytiladi? 

11. Tarmoqlararo bog‘liqlik jadvali nima? 

12. Ishlab chiqarishning balans tenglamalari qanday ko‘rinishda? 

13. Qiymatlar balansi va natural balanslar qanday balanslar? 

14. Texnologik koeffitsiyent nima? 

15. Ishlab chiqarish texnikasi (bevosita harajatlar) matritsasi qanday 

matritsa? 

16. To‘la harajatlar matritsasi qanday topiladi? 

17. So‘nggi mahsulotlar miqdori, matritsalar yordamida qanday topiladi? 

18. Yalpi mahsulotlar miqdori matritsalar yordamida qanday topiladi? 

19. Leontev modeli nima?