O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti

Chiziqli operatorlar ustidagi amallar

bet	8/8
Sana	23.05.2020
Hajmi	403.93 Kb.
	#109336

1 2 3 4 5 6 7 8

Bog'liq
oliy matematika-1

3.Chiziqli operatorlar ustidagi amallar.

Ikkita chiziqli operator

BX

Z

AX

Y

;

matritsa ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. Chiziqli operatorlar yig‘indisi

DX

X

B

A

Z

Y

)

(

bo‘ladi.

;

AX

Y

chiziqli operator matritsa ko‘rinishda berilgan va

l istalgan son bo‘lsin. Bu operator

l songa ko‘paytmasi

BX

X

A

Z

)

(

bo‘ladi.

Endi ikkita ketma-ket chiziqli operatorlar

BУ

Z

AX

Y

;

ni qaraymiz. Birinchi operatorni ikkinchisiga qo‘yib

CX

X

BA

AX

B

Z

)

(

)

(

operatorlar ko‘paytmasi C ni hosil qilamiz. Bunga

AX

Y

akslantirishning

BУ

Z

akslantirishga ko‘paytmasi deyiladi. Chiziqli akslantirish

AX

Y

matritsa

ko‘rinishda berilgan bo‘lib,

A

det

¹0 bo‘lsin. Akslantirishni teskari matritsaga

ko‘paytrib

Y

A

X

akslantirishni hosil qilamiz.

Y

A

X

akslantirish

AX

Y

akslantirishga teskari

akslantirish deyiladi. fazoda biror aniq bazis tanlangan bo‘lsa (1) ni matritsa

ko‘rinishda

X

AX

(2)

deb yozish mumkin. Bu tenglikni qanoatlantiruvchi istalgan no‘l bo‘lmagan uctun

matritsa

A

matritsaning

l xususiy qiymatga mos xususiy vektori deyiladi.

l

EX

(

E

birlik matritsa) bo‘lganligi uchun (2) ni quyidagicha yozish

mumkin.

)

(

X

E

A

koordinatlar bilan ifodalasak

)

(

...

....

...

)

(

...

)

(

11

n

nn

n

n

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

(3)

bo‘ladi. Xususiy vektorlarni topish uchun (3) sistemaning no‘ldan farqli yechimini

topish kerak bo‘ladi. Bu faqatgina

½

E

½=0 (39)

bo‘lgandagina bo‘ladi. (3) tenglamalar sistemasiga

matritsaning harakteristik

tenglamasi deyiladi va uning ildizlari

A

matritsaning xususiy qiymatlari bo‘ladi.

Akslantirish matritsasining harakteristik tenglamasi bazisning tanlanishiga

bog‘liq emas.

Ixtiyoriy

x

vektorlar uchun

)

,

(

)

(

Ax

y

Ay

x

tenglik bajarilsa

akslantirishga simmetrik operator akslantirish deyiladi.

akslantirish simmetrik bo‘lishi uchun, akslantirish matritsasi ortonormal

bazisda simmetrik bo‘lishi zarur va yetarlidir, ya’ni

(

)

(

ji

ij

a

a

Simmetrik matritsa quyidagi xossalarga ega:

1) haqiqiy simmetrik matritsaning hamma xususiy qiymatlari

haqiqiydir;

2) haqiqiy simmetrik

matritsaning har xil xususiy qiymatlariga mos

xususiy vektorlar o‘zaro ortogonaldir.

1-misol. Biror bazisda

÷÷

ø

ö

çç

matritsa bilan berilgan chiziqli

akslantirishning xususiy qiymatlarini va xususiy

vektorlarini toping.

Yechish. Harakteristik tenglamani tuzamiz:

4

3

yoki

bo‘ladi

Bu holda (38) sistema quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

(

)

(

)

1

x

x

x

Bu sistemaga

qiymatni qo‘yib

í

ì

x

x

x

x

sistemani hosil qilamiz.

Bu sistemaning yechimlaridan bittasi

,

1

=

x

bo‘lib,

1

=

xususiy qiymatiga mos kelgan xususiy vektor (1, -1) bo‘ladi.

Xuddi shunday,

ga mos kelgan xususiy vektor (2,3) ekanligini

aniqlaymiz.

Mustaqil yechish uchun misollar

1. Agar funksiyalarni qo‘shishni va ularni haqiqiy songa ko‘paytirishni

funksiyalar nazariyasida qabul qilingan ma’noda, ya’ni erkli o‘zgaruvchining har bir

qiymatiga mos kelgan qiymatlarini qo‘shish yoki songa ko‘paytirish kabi tushunilsa,

haqiqiy o‘zgaruvchining mumkin bo‘lgan barcha haqiqiy funksiyalari to‘plami ham

chiziqli fazoga misol bo‘ladi. (I-VIII) aksiomalarni birma bir tekshirib ko‘ring.

2. [0,1] kesmada berilgan haqiqiy funksiyalar to‘plami funksiyalarni qo‘shish

va ularni haqiqiy songa ko‘paytirishga nisbatan chiziqli haqiqiy fazoni tashkil qiladi.

3. Haqiqiy sonlar to‘plamining chiziqli fazoni tashkil qilishini ko‘rsating.

4. Musbat butun sonlar to‘plami chiziqli fazoni tashkil qiladimi?

Aksiomalarning bajarilishini tekshirib ko‘ring.

5. Yevklid fazosida

(1,1; ;1; 1) va

(3;-5;1,1) vektorlar orasidagi burchakni

toping.

6.Uchlari

(5,4,4,4,2),

(5,2,8,4,6),

(4,5,9,7,2) nyqtalarda bo‘lgan

uchburchak tomonlarining uzunliklarini va uchburchakning ichki burchaklarini

toping.

7.

A

chiziqli akslantirish biror bazisda quyidagi matritsalar bilan berilgan,

ularning xususiy qiymatlarini va ularga mos xususiy vektorlarini toping.

)

a

÷÷

ø

çç

;

)

b

÷÷

çç

;

)

c

÷÷

çç

- 5

8. Uch o‘lchovli fazoda A chiziqli akslantirish biror bazisda quyidagi

matritsalar bilan berilgan bo‘lsa uning xususiy qiymatlarini va ularga mos xususiy

vektorlarini toping.

)

;

)

Tavsiya etilgan adabiyotlar:

2. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992. -496b.

2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.:

2007.-302b.

3. Begmatov A.B. Oliy matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamKI.

2001. -268b.

4. Begmatov A.B., Yaiubov M.Ya. Iqtisodchilar uchun matematika. Ma’ruzalar

matni. –Samarqand. SamQXI. 2003. – 299b.

6-mavzu. Kvadratik formalar(8 soat)

Reja

1.  Kvadratik forma tushunchasi.

2.  Kvadratik forma matritsasi va uning rangi.

3.  Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish.

4.  Musbat aniqlangan kvadratik formalar.

5.  Xalqaro savdo modeli.

6.  Rejalashtirish modeli.

Tavsiya etilgan adabiyotlar:

1. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992. -496b.

2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.:

2007.-302b.

3. Begmatov A.B. Oliy matematika. Ma’ruzalar matni. –Samarqand. SamKI.

2001. -268b.

4. Begmatov A.B., Yaiubov M.Ya. Iqtisodchilar uchun matematika. Ma’ruzalar

matni. –Samarqand. SamQXI. 2003. – 299b.

Kvadratik formalar

Mavzuning tayanch iboralari

Kvadratik forma, kvadratik forma matritsasi va diterminanti, kvadratik

forma rangi, kanonik ko‘rinishdagi kvadratik forma.

Kvadratik formalar haqida tushunchalar. 1-ta’rif.

n

x

x

x

haqiqiy

o‘zgaruvchilardan tuzilgan bir jinsli (ozod va birinchi darajali hadlar

qatnashmagan) ikkinchi darajali ko‘p hadga kvadratik forma deyiladi.

(

)

n

x

x

x

f

n

x

x

x

o‘zgaruvchilardan tuzilgan kvadratik formani bilan belgilasa

biror haqiqiy son bo‘lsa, ta’rifga ko‘ra

(

)

(

)

n

n

x

x

x

f

A

x

x

x

f

tenglik bajariladi.

Ikki

, X

X

o‘zgaruvchilardan tuzilgan kvadratik forma

(

)

,

x

a

x

x

a

x

a

x

x

f

(1)

bo‘ladi.

X

X

X

o‘zgaruvchilardan tuzilgan kvadratik forma esa,

(

)

,

x

x

a

x

x

a

x

x

a

x

a

x

a

x

a

x

x

x

f

(2)

bo‘ladi.

Umumiy holda, ya’ni n ta o‘zgaruvchi uchun

(

)

k

i

ik

n

x

x

a

x

x

x

f

(3)

bo‘lib, bunda

.

ki

ik

a

a

Kvadratik forma

ik

a

conli koeffitsiyentlar orqali to‘la aniqlanadi. Buni uch

o‘zgaruvchili kvadratik forma uchun ko‘rsatamiz. Matritsalar hisobidan foydalanib

ushbu tenglikni yozamiz:

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

,

x

x

x

x

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

a

x

x

a

x

x

a

x

x

a

x

x

a

x

x

a

x

a

x

x

a

x

x

a

x

x

a

x

a

x

x

x

f

11

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

(4)

(Oxirgi matritsalar ustida amallarni bajarib ko‘rishni o‘quvchiga havola etamiz).

1

X

X

X

X

ustun matritsani,

(

)

1

X

X

X

X

T

satr matritsani,

÷

÷

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

belgilashlarni kiritsak (4) tenglik

(

)

AX

X

X

X

X

f

T

ko‘rinishda bo‘ladi.

simmetrik matritsaga

(

)

3

,

X

X

X

f

kvadratik formaning matritsasi deb ataladi.

A

matritsaning determinantiga esa shu kvadratik formaning determinanti deyiladi.

matritsaning rangiga kvadratik formaning rangi deb ataladi.

2. Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish.

2-ta’rif. Kvadratik formada o‘zgaruvchilarning faqat kvadratlari qatnashsa

unga kanonik ko‘rinishda deyiladi.

(3) kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish deganda, shunday yangi

n

y

y

y

bazisni (yangi koordinatlar sistemasini) topish tushuniladiki

y

orqali

(3) kvadratik forma ushbu

(

)

,

n

n

n

y

y

y

X

X

X

f

(5)

ko‘rinishda bo‘ladi. Ravshanki (5) kvadratik formaning

1

A

matritsasi diagonal

matritsadir

Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirshni ushbu misolda qaraymiz.

1-misol.

(

)

X

X

X

X

X

X

X

X

X

f

kvadratik forma matritsasini toping va uni kanonik ko‘rinishga keltiring.

Yechish.

=

a

o

a

a

a

a

a

bo‘lganligi uchun, ushbu

simmetrik matritsani hosil qilamiz:

021

222

320

Bu berilgan kvadratik formaning matritsasidir.

Endi ushbu harakteristik tenglamani tuzamiz:

021

5) Bundan

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

(

)

(

)

;

bo‘lib

kelib chiqadi.

Shunday qilib, berilgan kvadratik forma

2

y

y

y

f

kanonik ko‘rinishda bo‘ladi.

Endi kvadratik forma, bunday ko‘rinishga ega bo‘ladigan bazisni

aniqlaymiz. Buning uchun matritsasi

021

222

320

bo‘lgan chiziqli simmetrik almashtirish xususiy vektorlarini topish zarur. Bu xususiy

vektorlarni topish uchun ushbu tenglamalar sistemasini tuzamiz:

(

)

(

)

(

)

-

X

X

X

X

X

X

X

Bu tenglamalar sistemasiga

xususiy qiymatni qo‘yib

2

0

+

X

X

X

X

X

X

sistemani hosil qilamiz, ma’lumki hosil bo‘lgan tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p

yechimlarga ega.

k

X

bo‘lsin,

holda

2

k

X

k

X

Demak

xususiy

qiymatga mos xususiy vektor

(

)

2

e

e

k

u

e

bo‘ladi.

Xuddi yuqoridagidek

xususiy qiymatlarga mos xususiy

vektorlar topiladi (ularni topishni o‘quvchiga havola etamiz), javob,

(

)

(

)

e

e

e

k

v

e

e

e

k

v

( ) ( )

=

K

deb olib, ushbu normallashgan

xususiy vektorlarni hosil qilamiz:

(

)

(

)

(

)

3

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

е

е

Yangi bazisga o‘tish matritsasi

2

B

bo‘ladi.

Koordinatlarni almashtirish formulalari

y

y

y

X

y

y

y

X

y

y

y

X

bo‘ladi.

Kvadratik formalar apparati matematikaning bir qancha tadqiqotlarida

hamda chiziqli bo‘lmagan programmalashtirish, ikkinchi tartibli chiziqlar va sirtlarni

tekshirishda va boshqa ko‘p sohalarda qator tatbiqlarga ega.

Takrorlash uchun savollar

1. Kvadratik formani ta’riflang?

2. Hamma ikkinchi darajali ko‘p had kvadratik forma bo‘la oladimi?

3. Ikki o‘zgaruvchili kvadratik forma qanday ko‘rinishda?

4. Uch o‘zgaruvchili kvadratik formani yozib ko‘rsating?

5. n o‘zgaruvchili kvadratik forma qanday yoziladi?

6. Kvadratik forma matritsasi nima va u qanday topiladi?

7. Uch o‘zgaruvchili kvadratik formani matritsalar yordamida yozish

mumkinmi va qanday?

8. Kvadratik forma determinanti nima?

9. Kvadratik formaning rangi qanday aniqlanadi?

10. Kvadratik formaning kanonik ko‘rinishi qanday bo‘ladi?

11. Diagonal matritsani bilasizmi?

12. Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish uchun nima qilinadi?

13. Yangi bazisga o‘tish matritsasi qanday bo‘ladi?

14. Koordinatlar almashtirish formulasi qanday?

15. Kvadratik forma apparatidan qaysi sohalarda foydalanish mumkin?

Mustaqil bajarish uchun misollar

(

)

,

X

X

X

X

X

X

f

ikki o‘zgaruvchi kvadratik formasining matritsasini tuzing.

2. Uch o‘zgaruvchi kvadratik formasi

X

X

X

X

X

X

X

X

X

f

ning matritsasini toping

(

)

,

X

X

X

X

X

X

f

kvadratik formani kanonik

ko‘rinishga keltiring.

. 1)

(

)

;

1

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

f

(

)

;

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

f

kvadratik formalarni kanonik ko‘rinishga keltiring.

7-mavzu. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar- 4 soat

Reja

1. Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy tenglamasini tekshirish.

2. Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy tenglamasini kanonik

ko‘rinishga keltirish.

Tavsiya etilgan adabiyotlar:

2. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik .1-jild.-T.:O‘qituvchi. 1992. -496b.

2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.:

2007.-302b.

8-mavzxu. Fazoda ikkinchi tartibli sirtlar – 6 soat.

Reja

1.  Ikkinchi tartibli sirtlar haqida asosiy tushunchalar.

2.  Silindrik sirtlar.

3.  Ellipsoid , paraboloid va giperboloidlar.

4.  Elliptik va giperbolik paraboloidlar.

5. Ikkinchi tartibli sirtlarni kanonik ko‘rinishga keltirish.

6. Fazoda silindrik va siferik koordinatlar sistemalari hamda

ularning Dekart koordinatlari bilan bog‘lanishi.

Tavsiya etilgan adabiyotlar:

1. Soatov Yo.U. Oliy matematika. Darslik. 1-jild.-T.: O‘qituvchi. 1992. -496b.

2. Sharaxmetov Sh. Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik. –T.:

2007.-302b.

3. 1. Begmatov A. Oliy matematika. O‘quv qo‘llanma. Samarqand: SamKI. 2003-

250 b.

4. Shneyder V.Ye. va boshqa. Oliy matematika qisqa kursi. 1 tom. (o‘zbekchaga

tarjima). T: O‘qituvchi 1985. -407 b.

5. Jo‘rayev T. va boshq. Oliy matematika asoslari. 1 tom. T.: O‘zbekiston. 1995. -

275 b.

Ikkinchi tartibli sirtlar

Ma’lumki, sirt uchta o‘zgaruvchi

,

у

va

z

larni bog‘laydigshan tenglama

bilan aniqlanadi.

х

,

у

va

z

larga nisbatan ikkinchi darajali algebraik tenglama bilan

aniqlanadigan sirt ikkinchi tartibli sirt deb ataladi. Bunday sirtning umumiy

tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

d

сz

bу

aх

Fуz

Ехz

Dху

Сz

Ву

Ах

(1)

bunda

F

E

D

C

B

A

koeffitsiyentlardan hech bo‘lmaganda bittasi 0 dan farqli.

(1) tenglama koeffitsiyentlarining qiymatlariga qarab, har xil sirtlarni ifodalaydi.

Buning ayrim xususiy hollarini qaraymiz.

1. Silindrik sirt. Biror berilgan chiziqni kesuvchi to‘g‘ri chiziqning bu chiziq

bo‘ylab va berilgan yo‘nalishga parallel harakatidan hosil bo‘lgan sirt silindrik sirt

deb ataladi. Harakatlanuvchi to‘g‘ri chiziq yasovchi, berilgan chiziq esa yunaltiruvchi

deb ataladi. Yasovchi

o‘qqa parallel,

yunaltiruvchi chiziq esa

XOY

tekislikda yotadigan va

( )

у

х

tenglama bilan

aniqlanadigan holni qaraylik(1-chizma):

x

z

y

)

(

z

y

x

M

)

,

,

(

o

y

x

N

rrrrrч

x

z

y

o

R

чизма

( )

,

z

y

x

F

tenglamalar sistemasi yasovchilari

o‘qiga parallel silindrik sirt tenglamasidir.

Shunga o‘xshash

( )

,

x

z

y

F

tenglamalar sistemalari yasovchilari mos ravishda

OY

,

OX

o‘qlariga parallel bo‘lgan

silindirik sirt tenglamalaridir.

1-misol.

x

R

z

у

tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadigan sirt, silindrik sirt bo‘lib, u doiraviy silindr

deb ataladi. Uning yasovchisi

OX

o‘qqa parallel, yo‘naltiruvchisi esa

YOZ

tekisligida radiusi

va markazi koordinatalar boshida bo‘lgan

2

2

R

z

у

aylanadir(2-chizma).

ïî

ï

í

2

z

b

y

a

x

tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadigan silindrik sirt elliptik silindr deyiladi(3-

chizma). . Xuddi shunga o‘xshash,

ïî

y

b

z

a

x

y

pz

x

tenglamalar sistemalari giperbolik, parabolik silindrlar ham aniqlanadi.

Ikkinchi tartibli sirtlarning ko‘rinishini, uning holatini parallel kesimlar usuli orqali

o‘rganiladi. Bu usulning mohiyati, sirt koordinata

tekisliklari yoki unga parallel bir necha tekisliklar bilan kesiladi. Sirtning

ko‘rinishi va holati shu olingan kesimlar turi bo‘yicha ifodalanadi.

( )

y

z

x

F

2. Ellipsoid. Kanonik tenglamasi

+

c

z

b

y

a

x

(2)

ko‘rinishda bo‘lgan ikkinchi tartibli sirt ellipsoid deyiladi. (2) tenglama o‘zgaruvchi

koordinatalarning faqat kvadratlarini o‘z ichiga oladi, shuning uchun ellipsoid

koordinatlar boshi va koordinat o‘qlariga nisbatan simmetrikdir.

Bu ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan kesimini qaraymiz.

=

z

ya’ni

XOY

koordinat tekisligi bilan kesganda, kesimda, yarim o‘qlari

b

a,

bo‘lgan

2

2

b

y

a

x

ellips hosil bo‘ladi.

Xuddi shunday

= у

koordinata tekisliklari bilan kesganda, mos

ravishda kesimda

+

c

z

b

у

+

c

z

a

x

ellipslar hosil bo‘ladi.

Shunday qilib, qaralgan kesimlar ellipsoidni yopiq sirt sifatida ifodalash

imkonini beradi.

c

b

a ,

lar ellipsoidning yarim o‘qlari deyiladi(4-chizma).

3. Bir pallali giperboloid. Kanonik tenglamasi

x

x

x

y

o

o

o

3-chizma

4-chizma

5-chizma

+

c

z

b

y

a

x

bo‘lgan sirt bir pallali giperboloid deb ataladi. Giperboloidni

=

z

koordinat tekisligi bilan kesganda kesimda

2

2

+

b

y

a

x

ellips hosil bo‘ladi.

= у

koordinat tekisliklari bilan kesganda, kesimda mos

ravishda

-

c

z

a

x

c

z

b

у

giperbolalar hosil bo‘ladi. Bu giperboloidning (5-chizma) ko‘rinishdaligini

ifodalaydi.

4. Ikki pallali giperboloid. Kanonik tenglamasi

+

c

z

b

y

a

x

(2)

bo‘lgan ikkinchi tartibli sirt ikki pallali giperboloid deyiladi.

Koordinata tekisliklari bilan kesganda hosil bo‘lgan kesimlar giperboloidning

ikkita alohida palladan iborat ekanligini tasvirlaydi(6-chizma).

5. Elliptik paraboloid. Kanonik tenglamasi,

z

q

y

p

x

(3)

bo‘lgan sirtga elliptik paraboloid deyiladi, bunda

q

р,

lar bir xil ishorali sonlar.

Koordinatlar va ularga parallel tekisliklar bilan kesganda, kesimda hosil

bo‘lgan shakllar elliptik paraboloidning cheksiz qavariq idish sifatida tasavvur

qilishga imkon beradi(7-chizma).

6. Giperbolik paraboloid. Kanonik tenglamasi

z

q

y

p

x

(4)

sirtga giperbolik paraboloid deb ataladi, bunda

q

р,

lar bir xil ishorali sonlar.

=

y

tekislik bilan kesganda

pz

x

uchi koordinata boshida bo‘lgan

parabola,

tekislik bilan kesgnada uchi pastga, qaragan parabola,

h

z

XOY

tekislikka parallel tekislik bilan kesganda

h

q

y

p

x

giperbola hosil bo‘ladi.

Shunday qilib, ko‘rib chiqilgan kesimlar giperbolik paraboloidni egarsimon

sirt sifatida ifodalashga imkon beradi(8-chizma) .

Ikkinchi tartibli sirtlarga bir necha misollar qaraymiz:

2-misol.

54

18

+

z

y

x

z

y

x

tenglama qanday sirtni ifodalaydi.

Yechish.

z

y

x ,

o‘zgaruvchilar bo‘yicha to‘la kvadratlar ajratamiz:

(

) (

)

+

z

z

y

y

x

x

yoki

(

)

(

)

(

)

z

у

х

oxirgi tenglamadan

x

x

x

y

o

o

6-chizma

7-chizma

8-chizma

(

) (

)

z

у

х

Oxirgi tenglamani (2) tenglama bilan taqqoslab uning simmetriya

markazi (-1, -2, 3) nuqtada bo‘lgan bir pallali giperboloiddan iborat ekanligini

ko‘ramiz.

Mustaqil ish uchun topshiriqlar

1. Parallel kesimlar usulidan foydalanib qo‘yidagi sirtlarning ko‘rinishini va

koordinat sistemasiga nisbatan holatini tekshiring:

(

)

;

-

z

у

х

+

у

z

х

;

(

)

(

)

z

у

х

; 4)

-

z

y

x

2. To‘la kvadratlar ajratib, koordinatlarni almashtirib quyidagi sirtlar

tenglamasini soddalashtiring:

;

z

y

x

z

y

x

;

+

z

y

x

z

y

x

367

216

-

z

y

x

z

y

x

;

z

y

x

z

у

х

;

-

z

y

x

z

х

;

+

z

y

x

y

x

+

z

y

x

z

y

x

z

у

х

to‘g‘ri chiziq

2

16

+

z

y

x

ellipcoidni qaysi nuqtalarda kesib o‘tadi.

Document Outline

(1)
- (1)
  - (1)
    - (1)
    - Vektorning o‘qdagi proyeksiyasi uchun
      - Vektorning o‘qdagi proyeksiyasidan ma’lumki

Download 403.93 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8