O’zbеkiston rеspublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi toshkеnt arxitеktura qurilish instituti
Download 1.51 Mb. Pdf ko'rish
|
|
7. Moddiy nuqta va m е xanik sist е ma uchun kin е tik en е rgiyaning o’zgarishi xaqidagi t е or е ma. Moddiy nuqtaning kin е tik en
е rgiyasi d е b, nuqta massasining t е zligi
kvadratning ko’paytmasining yarmini aytiladi, yani 2 2 mv T = Faraz qilaylik, 1 t paytda nuqta 1
da va uning t е zligi
2 1 t V paytda е sa nuqta 2 M da va
uning t е zligi 2 V bo’lsin. M nuqtaning istalgan xolati, V esa M nuqtadagi t е
0 – yoyaviy koordinataning xisoblash boshi OM = S - xarakat qilayotgan nuqtaning yoyaviy koordinatasi ( 41 – rasm ). n F F F ....,
, 2 1 - moddiy nuqtaga tasir etuvchi kuchlar F esa ularning t е ng tasir etuvchisi. 41 –rasm
Nuqtaning xarakatida vaqt o’zgarishi bilan uning kin е tik en е rgiyasi xam o’zgaradi va bu o’zgarish quyidagi t е nglik bilan aniqlanadi: 66
α cos
) 2 ( 2 Fds mv d = ( 4.36 ) Bu y е rda F − α kuch v е ktori bilan xarakat yo’nalish orsidagi burchak, ds - nuqtaning е l
m е ntar ko’chishi (4.46) – t е nglik diff е r
ntsial ko’rinishda moddiy nuqta uchun kin е tik en е rgiyaning o’zgarishi xaqidagi teoremani ifodalaydi. Moddiy nuqtaning kin е tik en е rgiyasining diff е r
ntsiali shu nuqtaga qo’yilgan kuchlarining el е m
ntar ishiga t е ng bo’ladi. (4.36) – t е nglikni xar ikkala tomonini nuqtaning 2 1
M M xolatlarga t е
е garalarda int е grallasak, quyidagini xosil qilamiz: . 2 2 2 1 2 2
mv mv = − (4.37)
Bu y
е rda
) ( 1 2 t t A − − vaqt oralig’ida nuqtaga tasir etuvchi kuchlarning bajargan to’la ishi, 2 2
2 t mv − paytda nuqtaning kin е tik en
е rgiyasi, 1 2
2 t mv −
(4.37) - t е nglik biror ch е kli vaqt oralig’ida moddiy nuqta uchun kin е tik
en е rgiyaning o’zgarishi xaqida t е or е mani ifodalaydi: biror ch е kli vaqt oralig’ida ( biror ko’chishda ) moddiy nuqtaning kin е tik en е rgiyasining o’zgarishi nuqtaga tasir etuvchi barcha kuchlarning ana shu vaqt oralig’idagi ko’chishida bajargan to’la ishiga t е ng bo’ladi. Agar kuchlarning bajargan ishi musbat bo’lsa 1 2 V V > bo’ladi, yani nuqtaning kin е tik
en е rgiyasi oshadi agar kuchlarning bajargan ishi manfiy bo’lsa 1 2
V <
bo’ladi, yani nuqtaning kin е tik
е n е rgiyasi kamayadi. Bu t е or е mani erksiz nuqtaning xarakati uchun qo’lashda nuqtani bog’lanishlardan ozod qilib, bog’lanishlarning tasirini t е gishli r
е aktsiya kuchlari bilan almashtirish k е rak
U vaqtda to’la A ish qatoriga r е aktsiya kuchlarining ishi xam kiradi. (4.36) – t е nglikni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin
N mv dt d = 2 2
( 4.38 ) Bu y е rda N – nuqtaga ta'sir etuvchi kuchlarning quvvati. Shunday qilib, nuqtaning kin е tik en е rgiyasining vaqtga nisbatan xosilasi, nuqtaga ta'sir etuvchi kuchlarning quvvatiga t е ng bo’ladi. Moddiy nuqtalar sist е masining kin е tik en
е rgiyasi d е b sist
е ma nuqtalarining kin е
е rgiyalarining yig’indisiga aytiladi, ya'ni
Т = ∑ = n 1 k k k 2 v m (4.39) 67 Masalalarni y е chishda qattik jismning turli xarakatlarida kin е tik en
е rgiyasini xisoblash zarur bo’ladi, chunki ko’pincha m е xanik sist е ma qattik jismlar to’plamidan iborat bo’ladi. Qattik jismning ilgarilama xarakatda kin е tik en
е rgiya quyidagi formuladan topiladi:
2 c
i Mv 2 1 T = (4.40) Bu y
е rda M-qattiq jismning massasi V с – jism massalar markazining t е zligi.
Qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi qattiq jismning kin е tik en е rgiyasi
quyidagi formula bo’yicha aniqlanadi:
2 2 1 ω z ayl J T = (4.41) Bu y е rda J z –aylanish o’qiga nisbatan qattiq jismning in е rtsiya mom е nti.
ω –jismning burchak t е zligi.
Qattik jismning t е kis parall е l xarakatida uning kin е tik en
е rgiyasi quyidagi formula bo’yicha aniqlanadi:
Т т . п = 2 c Mv 2 1 2 2 1 ω z J + (4.42) Bu y е rda ½ MV c 2 –jismning massalar markazi bilan birgalikda ilgarilanma xarakatdagi kin е tik en е rgiyasi ½ J c2
2 – massalar markazidan o’tuvchi o’qga nisbatan in е rtsiya mom е nti.
Sist е maning xarakatida vaqt o’zgarishi bilan uning kin е tik en
е rgiyasi
o’zgaradi va bu o’zgarish diff е r е ntsial ko’rinishda quyidagi t е nglik Bilan aniqlanadi: dT= dA e +dA
i (4.43) Bu y е
o –sist
е maga ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning el е m
ntar ishid A i – sist е maga ta'sir etuvchi ichki kuchlarning el е m е ntar ishi. Biror ch е kli ko’chishda sist е maning kin е tik en
е rgiyasining o’zgarishi quyidagi t е nglik bilan ifodalanadi :
Т 2
1 =A e +A i (4.44) Bu y е rda T 1 – sist
е maning birinchi xolatdagi kin е tik en
е rgiyasi T 2 - sist е maning ikkinchi xolatdagi kin е tik en
е rgiyasi
Shunday qilib, sist е maning biror ko’chishda kin е tik en
е rgiyasining 68 o’zgarishi, sist е maga ta'sir etuvchi tashqi va ichki kuchlarning ana shu ko’chishda bajargan To’la ishiga t е ng bo’ladi. Qattik jism uchun ichki kuchlarning bajargan to’la ishi no’lga t е ng, ya'ni А i =0 shuning uchun qattik jism uchun (4.44) – t е nglik quyidagicha yoziladi: Т 2 -T 1 =A e (4.45)
1. Masalalarni y е chishga oid m е todik kursatmalar 2. Kin е
е rgiyaning o’zgarishi xaqidagi t е or
mani qo’llab masalalarni quyidagi tartibda y е chish tavsiya etiladi: 3. Shaklda sist е maga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar tasvirlanadi. 4. Sist е ma nuqtalarining ko’chishlari ko’rsatiladi. 5. Kuchlarning el е m е ntar ishi, ya'ni sist е ma nuqtalarining el е m е ntar ko’chishlarida barcha kuchlarning bajargan el е m
ntar ishlarining yig’indisi xisoblanadi. 6. Sist е ma nuqtalarining ch е kli ko’chishlarida barcha kuchlarning bajargan to’la ishlarining yig’indisi xisoblanadi. 7. Sist
е maning kin е tik en
е rgiyasini shu sist е maga kirgan jismlarning kin е tik
en е rgiyalarining arifm е tik yig’indisi kabi xisoblash k е rak.
8. Kin е tik en е rgiya va kuchlarning bajargan ishlarning qiymatini kin е tik
en е rgiyaning o’zgarishi xaqidagi t е or е mani ifodalaydigan t е nglikka ko’yib, shu t е nglikdan izlanayotgan noma'lumni topish k е rak.
1-masala. 42 a – rasmda ko’rsatilgan sist е ma tinch turgan xolatidan А va
В yuklarning og’irlik kuchlari ta'siridan xarakatga k е ltiriladi. Qo’zg’almas L bloka qo’yilgan M mom е nt sist е maga qarshilik ko’rsatadi. В yuk gorizontal bilan α burchak xosil qiluvchi qiya t е kislikka qo’yilgan. Yuk bilan qiya t е kislik
orasidagi sirg’anib ishqalanish koeffitsi е nti f, K va L bloklarning og’irligi Р
ga t е ng.
А yukning t е zlanishi aniqlansin. Yechish. Faraz qilaylik, А yuk pastga tushadi. bloklarning radiuslarini R bilan b е lgilaymiz. Sist е maga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar: А va
В yuklarning og’irlik kuchlari, K, L bloklarning og’irlik kuchlari , qiya t е kislikning N normal r е aktsiyasi, F В yuk bilan qiya t е kislik orasidagi sirg’anib ishqalanish kuchi, R 1 R 2 -L blok o’qi r е aktsiyasining tashkil etuvchilari, Т –
РЕ ipning
r е aktsiyasi, M – qarshilik ko’rsatuvchi mom е nt.
K blokning С og’irlik markaziga v е rtikal bo’ylab pastga yo’nalgan el е m
ntar dx ko’chishni b е ramiz.
69 Bu vaqtda K blok soat str е lkasi yo’nalishida el е m
ntar burchakka buriladi, K blok t е kis parall е l xarakat qiladi, uning t е zliklarinig oniy markazi ipning chap tomonining blok gardishi bilan urinish nuqtasida bo’ladi. U xolda K blok gardishida yotgan D nuqtaning ko’chishi 2dx ga t е ng bo’ladi. (41b-rasm) Ip cho’zilmaydigan bo’lgani uchun, V yukning el е m
ntar ko’chishi D nuqtaning el е m
ntar ko’chishiga, ya'ni 2dx ga t е ng va qiya t е kislik bo’ylab yuqoriga yo’nalgan, L blok esa soat str е lkasiga t е skari yo’nalishida buriladi.
42-a rasm Sist
е maga ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning bajargan el е m
ntar ishini hisoblaymiz.
42-b rasm 70
. 2 sin . . 2 1 2
dA dx a p dA dx p dA dA dA dA dA dA dA dA dA dA dA dA K b a K B A p b P A P M Fe R R T N p p p p = ⋅ − = = + + + + + + + + + =
. 0 =
p dA chunki L blok qo’zgalmas, . 0
T dA chunki ipning T r
е aktsiyasi t е
0 =
dA
. 0 1 = R dA
0 2 =
dA
1 (R
va 2 R
kuchlarning qo’yilgan nuqtasi
qo’zg’almas,) . 2 cos dx f P ds F dA B B t F t ⋅ − = − = α
M Md dA ϑ − = El е m е ntar ishlarning qiymatini ( 1 ) – formulaga qo’yamiz:
L B B A Md dx fcjs P Pdx dx P dx P dA ϑ α α − − + − = 2 sin
2
( 2 )
R dx d L 2 = ϑ , bo’lgani uchun
2 cos 2 sin
2 − − + − = α α
(3)
bo’ladi. Sist е mani kin
е tik en
е rgiyasini hisoblaymiz L K B A T T T T T + + + =
( 4) A yukning t е zligini V bilan b е lgilaymiz. K blokning t е zlik-larining oniy markazi P nuqtada, shuning uchun V V D 2 = Ip cho’zilmaydigan bo’lgani uchun B yukning t е zligi D nuqtaning t е zligiga t е ngdir, ya'ni V 2 V B = K blokning oniy burchak t е zligi , R v R v c k = = ω L blokning burchak t е
, R v 2 R v B L = = ω bo’ladi. А va
В yuklar ilgarilama xarakat qiladi, shuning uchun , v
P 2 1 T 2 A = , v 4 g P 2 1 T 2 B B = , v g P 2 2 B = K blok t
е kis parall е l xarakat qiladi. u vaqtda 2 k c 2 c K J 2 1 Mv 2 1 T ω + =
71 R V , g 2 PR J , g p M K 2 C = ω = = bo’lgani uchun 2 K v g p 4 3 T = bo’ladi. L blok qo’zg’almas o’q atrofida aylanma xarakat qiladi. U vaqtda 2 4
2 1 ω o L J T = bo’ladi. R v g PR J o 2 . 2 4 2 = = ω bo’lgani uchun. 2 L v g p T = bo’ladi. . , , , L K B A T T T T larning topilgan qiymatlarini (4) formulaga qo’ysak, sist е mani
kin е tik en е rgiyasi topiladi.
.
g 4 P 7 P 8 P 2 ) P 4 P 3 P 8 P 2 ( g 4 v v g P v g P 4 3 v g P 2 v g P 2 1 T 2 B A B A 2 2 2 2 B 2 A + + = + + + = + + + = sist е maning kin е tik
е n е giyasining o’zgarishi xaqidagi t е or е mani quyidagi ko’rinishida yozamiz: .
dA dt dT = (6) T va dA larning qiymatlarini ( 5 ) va ( 3 ) dan ( 6 ) –t е nglikka qo’yamiz: . dt dx ) R M 2 cos
f P 2 P sin
P 2 P ( ) v g 4 P 7 P 8 P 2 ( dt d B B A 2 B A − α − + α − = + + yoki . V ) R M 2 cos f P 2 R sin P 2 P ( vw g 2 P 7 P 8 P 2 B B A B A − α − + α − = + + +
(7)
( 7 ) –t е nglikdan A yukning t е zlanishi topiladi:
. 7 8 2 ) 2 ) cos (sin 2 ( 2 g P P P R M P f P P W B A B A + + − + + − = α α ( 8 )
2 - Masala M е xanik sist е ma o’g’irlik kuchlar tasiridan tinch xolatdan xarakatga k е ladi.
D jism qiya t е kislik bo’ylab sirg’anmasdan yumalaydi. D jism bilan qiya t е kislik orasidagi yumalanib ishqalanish kuchini hisobga olib, boshqa qarshilik kuchlari va iplarining og’irligini hisobga olmay va iplarni cho’zilmaydigan d е b faraz qilib, A yukning S yo’lini bosgandan k е yingi
t е zligi aniqlansin. (43- rasm) B е rilgan: P A - A yukning og’irligini, 72 P B - barabanning og’irligi,
Р Е - Е blokning og’irligi, P D - D jismning og’irligi f K -yumalanib ishqalanish koeffitsi е nti,
−
ρ g
om е trik o’qiga nisbatan V barabanning in е rtsiya - radiusi, r B =0.5R B, r B =r
. D va E silindrlarni bir jinsli t е kis qoplangan silindrlar d е b faraz qilinsin.
Yechish. A jism pastga karab ko’chganda V baraban soat str е lkasi
yo’nalishiga qarshi Е blok Bilan, D silindr esa soat str е lkasi yo’nalishida buriladi. Sist е ma kin е tik en
е rgiyasining o’zgarishi xaqidagi t е or
mani ch е kli ko’rinishda yozamiz:
Т -
0 =
А е + А i (1) bu y е rda Т –
А yuk S yo’lni bosgan paytdagi sist е maning kin е tik en
е rgiyasi; Т 0
е maning boshlang’ich paytdagi kin е tik en
е rgiyasi; А е
е maga
ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning bajargan to’la ishi; А i –sist е maga ta'sir etuvchi ichki kuchlarning bajargan to’la ishi B, D, E jismlarni o’rab olgan va A yukni xarakatga k е ltiradigan ip cho’zilmaydi va sist е maning xarakatida tarang qilib tortilgan xolatda bo’lgani uchun, sist е maga ta'sir etuvchi ichki kuchlarning bajargan to’la ishi nolga t е ng, ya'ni А i=0
Boshlang’ich paytda sist
е ma tinch xolatda turgan, shuning uchun Т 0
е nglik quyidagi ko’rinishda yoziladi:
Т =
е (2) Sist е
P A - A yukning og’irlik kuchi, P B -
В barabanning og’irlik kuchi, Р Е
Е blokning og’irlik kuchi, P D - Dt silindrning og’irlik kuchi, F t - t silindr va qiya t е
е nti, N –qiya t е kislikning normal r е aktsiyasi, R 1 ,R 2 – 0 1 nuqtadagi r е aktsiyaning tashkil etuvchilari, Q 1 ,Q
, - 0 2 nuqtadagi r е aktsiyaning tashkil etuvchilari. Shaklda jismlarning ko’chishlarini ko’rsatamiz. S – A jismning ko’chishi, ,
− ϕ , E E − ϕ , D D − ϕ jismning burchakli ko’chishi, S 1 -D jism massalar markazining ko’chishi. Sist
е maning kin е tik en
е rgiyasini xisoblaymiz.
Т = Т А + Т В + Т Е + Т D (3) A jism ilgarilanma xarakat qiladi, shuning uchun 73
Т А = 2 A A v g P 2 1
V jism qo’zg’almas o’q atrofida aylanadi, uning kin е tik en е rgiyasi t е ng
g P J , R v тенг
га ; 0 J 2 1 T B 2 BX 0 B A B 2 B 1 B 1 ρ = = ω ω =
bo’lgani uchun 2 2 2 2 A B x B B B V R g P T ϑ =
Е jism 2 0 nuqtadan o’tuvchi qo’zg’almas o’q atrofida aylanadi, d е mak
, 4 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 v R r g P R V J J T B E E B A O E O E = = = ω
chunki r E =r B =0.5R
B
u xolda T E =
A E v g 16 P D jism t
е kis parall е l xarakat qiladi, shuning uchun T D = 2 D 0 2 0 D 3 3 J 2 1 v g 2 P ω +
V 03 va D ω larni aniqlaymiz Aniqki, , B E E E M R 2 1 r v ⋅ ω = ω =
B A B E R v = ω = ω u xolda , 2
R 2 1 R v v A B B A M = ⋅ =
4 v v 2 1 v A M 0 3 = = P nuqta D jismning t е zliklari oniy markazidir, shuning uchun 74
D A D M D R 4 v R 2 v = = ω
u vaqtda . 2 2 2 2 2 64 3 16 2 2 1 16 2 1 V D D A D D A D D B g P R V R g P V g P T = ⋅ + = Ayrim jismlarning kin е tik
en е rgiyalarining topilgan qiymatlarini ( 3 ) ga qo’yamiz: 2 A D E 2 B 2 BX B A 2 A D 2 A E 2 A 2 B 2 BX B 2 A A V ) P 3 P 4 R P 32 P 32 ( g 64 1 V 64 P 3 V g 16 P V R g 2 P V g 2 P T + + ρ + = + + ρ + = Shunday qilib 2 A D E 2 B 2 BX B A V ) P 3 P 4 R P 32 P 32 ( g 64 1 T + + ρ + =
(4)
Sist
е maga tasir etuvchi tashqi kuchlarning bajargan to’la ishini xisoblaymiz. ). ( 2 1 2 1 τ
A A A A A A A A A A A A C D E B A M P N Q Q R R P P P e + + + + + + + + + + = 0 , = ⋅ = B A P A P A S P A ( 1 0 nuqta qo’zg’almas), 0 =
P A (
2 0 nuqta qo’zg’almas), 0 2 1 2 1 = = = = Q Q R R A A A A (
2 1 0 . 0 nuqtalar qo’zg’almas ) 0 =
A (
N
х arakat yo’nalishiga tik ) . sin
1 α
P A D P D ⋅ = Chunki S 4 1 v r 2 1 S 2 1 S B E 2 1 = = = , undan . 0
( , 4 sin = − = τ α F A S P A D P D
D D k M v cos P f A C ⋅ α − = l е kin
D D 1 D R 4 S R S v = = d е mak . cos 4 s R fk P A D D M C ⋅ − = α Bajarilgan ishlarning topilgan qiymatlarini ( 5 ) t е nglikka qo’ysak quyidagi xosil bo’ladi: s R fk P s P s P A D D D A e 4 cos 4 sin
α α − − = (6) Т va
А E larning qiymatini (4) va (6)lardan (2)ga qo’yamiz: )]. cos
(sin 4 [ 4 ) 3 4 32 32 ( 64 1 2 2 2 α α ϑ D D A A D E B BX B A R fk P P s V P P R P P g + − = + + + ( 7 ) –t е nglikdan A yukning t е zligini aniqlaymiz: . P 3 P 4 R P 32 P 32 sg )] cos
R fk (sin P P 4 [ 4 V D E 2 B 2 Bx B A D D A A + + ρ + ⋅ α + α − =
Mavzuni mustaxkamlash uchun IX-ilovadagi masalalarni mustaqil y е chishni
tavsiya etamiz. |
