O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi


Download 1.11 Mb.
Pdf просмотр
bet1/8
Sana21.08.2017
Hajmi1.11 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8

 

 

 



 

O`ZBEKISTON   RESPUBLIKASI 

OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI  

 

 

BERDAX  nomidagi  QORAQALPOQ DAVLAT UNIVERSITETI  

 

 

 



«Iqtisodiet, biznes va axborot tizimlari» kafedrasi 

 

 



 

  

 



 

 

Barcha iqtisodiyet yunalishlari uchun 



 

«

 

Ehtimollar nazariyasi va matematikalik statistika» 

 

 

fani buyicha ma`ruza matni. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



N U K U S - 2007 

 

 


 

2

O t a r o v A. A. – «Ehtimollar nazariyasi va matematikalik statistika» fani buyicha ma`ruza 



matnlari – Nukus, 2006y. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

K I R I Sh 

Kundalik hayotda turli hodisalarga duch kelamiz. Ularga masalan, quyoshning 

chiqish va botish hodisasi, havo o`zgarib, yomg`ir yoki qor yog`ish hodisasi misol bo`ladi. 

Albatta, hodisalar mu`lum shart-sharaitlar (shartlar majmui), bajarilish yoki biror 

tajriba (sinash) o`tkazish natijasida ro`y beradi. Masalan, bir dona to`liq mag`izli chigitni etarli 

haroratga, namlikka ega bo`lgan tuproqqa etarli chuqurlikka (shartlar majmuasi) ekkanda unib 

chiqish yoki chiqmaslik hodisalaridan biri ro`y berishi mumkin. 

Tajriba natijasida biror shartlar majmui bajarilganda albatta ro`y beradigan hodisa 

muqarrar hodisa deyiladi. 

Tajriba natijasida shartlar majmui bajarilganda mutlaqo ro`y bermaydigan hodisa 



mumkin bo`lmagan (muqarrar bo`lmagan) hodisa deyiladi. Ammo amaliyotda natijasini to`la 

ishonch bilan bashorat qilish mumkin bo`lmagan tajribalar (sinovlar) bilan ish ko`rishga to`g`ri 

keladi. Masalan, tangani tashlashdan iborat tajribada u yoki bu tomonini tushishini to`la 

ishonch bilan oldindan aytish mumkin emas yoki ekilgan chigit urug`ini unib chiqish yoki 

chiqmasliginn aytish qiyindir. Bunga o`xshash barcha hollarda tajribaning natijasini tasodifga 

bog`liq deb hisoblaymiz va uni tasodifiy hodisa sifatida qaraymiz. 

Shunday qilib tasodifiy hodisaga, quyidagicha ta`rif berish mumkin.  

Tajriba natijasida (biror shartlar majmui bajarilganda) ro`y berishi ham, ro`y bermasligi ham 

mumkin bo`lgan hodisa tasodifiy hodisa deb ataladi. Masalan, tanga tashlash tajribasida yo 

gerbli tomon tushishi, yoki raqamli tomon tushishi hodisasi tasodifiy hodisa bo`ladi. Tasodifiy 

hodisalar latin alfavitiniig bosh harflarn AV, S, D . . .   bilan  belgilanadi. 

Muqarrar hodisani U  harfi bilan, mumkin bo`lmagan hodisani esa V  harfi bilan 

belgilaymiz. Biror tajriba o`tkazilayotgan bo`lsin. Bu tajribaning har bir natijasini ifodalovchi 

hodisa  elementar hodisa deb ataladi va 

ω

 (omega) bilan belgilanadi. Elementar hodisalar 



to`plami 

 bilan belgilanadi, ya`ni 



 = {


ω

}. Elementar hodisalarga ajratish  mumkin   

bo`lgan   hodisa   murakkab hodisa deb ataladi. 

Ko`pincha amaliyotda bir xil shartlar majmui bajarilganda ko`p marta kuzatilishi 

mumkin bo`lgan hodisalar, ya`ni ommaviy bir jinsli hodisalar bilan ish ko`rishga to`g`ri keladi. 

Ehtimollar nazariyasi etarlicha, ko`p sondagi bir jinsli tasodifiy hodisalar bo`ysunadigan 

qonuniyatlarni aniqlash bilan shug`ullanadi. 

Demak, ehtimollar nazariyasi predmeti ommaviy bir jinsli  tasodifiy hodisalarning 

ehtimoliy konuniyatlarini o`rganuvchi fandir. 

 

Misollar. 1. Tangani bir marta tashlashdan iborat tajribani qaraylik. Bu tajriba 



natijasi ikkita elementar hodisadan: 

1

ω



 —tanganing gerbli tomoni tushishi hodisasi (G) va 

2

ω



 

tanganing raqamli tomoni tushishi hodisasidan (R) iborat bo`ladi. Demak, bu holda elementar 

hodisalar to`plami 

 = {


2

1

ω



ω

}={G, R} 

bo`ladi. 

 

2. Tangani ikki marta tashlashdan iborat tajribani qaraylik.  Bu tajriba natijalari 



quyidagicha bo`ladi: 

GG  — ikki marta ham tanganing gerbli tomoni tushishi hodisasi; 

GR  — birinchi marta gerbli, ikkinchi marta  raqamli tomoni tushish hodisasi; 

RG — birinchi marta raqamli, ikkinchi marta esa gerbli tomoni tushishi hodisasi; 

RR — ikki marta ham tanganing raqamli tomoni tushishi hodisasi. 

Bu holda elementar hodisalar GG, GR, RG, RR bo`lib, ularning to`plami  

={ GG, GR, RG, RR} bo`ladi. 



 

1- §. Tasodifiy hodisalar ustida amallar 

Biror tajriba o`tkazilgan  bo`lib, uning natijasida A  va  V  hodisalar ro`y bergan bo`lsin. 

Ko`pgina hollarda ehtimolni  hisoblash  jarayonida o`rganilayotgan hodisalar orasidagn 

bog`lanishni aniqlash lozim bo`ladi. Shu maqsadda quyida hodisalar tengligi, yig`indisi va 

ko`paytmasi tushunchalari bilan  tanishamiz. 

23.1-ta`rif.  Agar tajriba natijasida A  hodisa ro`y berganda hamma vaqt V  hodisa 

ham ro`y bersa, A hodisa V ni ergashtiradi deb ataladi va 



В

А

⊂  kabi yoziladi. 

Masalan, tajriba 3 dona yangi nav urug`ni ekishdan iborat bo`lsin. Bu tajriba natijasidan 

quyidagi hodisalarni tuzamiz: 



 A



— birorta ham urug` unib chiqmaganligi  hodisasi, 

 A

1

 — 1 dona urug`ning unib chiqish hodisasi, 

 A



— ikki dona urug`ning unib chiqish hodisasi, 

— unib chiqqan urug`lar soni ikkitadan ortiq bo`lmaganlik hodisasi. Ravshanki, bu 

xolda 


А

А

А

А

А

А



2

1



1

0

,



,

 

bo`ladi. 



 

4

23.2-ta`rif. Agar 



A  hodisa  V  hodisani ergashtirsa va o`z navbatida V  hodisa  

hodisani ergashtirsa, u holda 



A va V teng kuchli hodisalar deyiladi va A=kabi yoziladi. 

23.3-ta`rif. Tajriba natijasida  yo 

A  hodisa, yoki V  hodisa, yoki ham A,  ham  

hodisalar ro`y berishidan iborat hodisa 



A va V  hodisalarning  yig`indisi  deb ataladi va  A  +  V  

kabi  belgilanadi. 



23.4-ta`rif. Tajriba natijasida ham 

A  hodisa, ham V  hodisaning (bir vaqtda) 

birgalikda ro`y berishidan iborat hodisa 



A va V  hodisalar  ko`paytmasi  deb ataladi va AV 

kabi  belgilanadi. 



23.5-ta`rif. Agar 

A va hodisalar bir paytda ro`y berishi mumkin bo`lmagan hodisalar, 

ya`ni 


A



V =V  bo`lsa, u holda A va V birgalikda bo`lmagan hodisalar deyiladi. Aks holda 



birgalikda hodisalar deyiladi. 

Masalan, tangani tashlash natijasida bir vaqtda gerbli va raqamli tomonlar tushish 

hodisalari birgalikda bo`lmagan hodisalar bo`ladi. 

23.6-ta`rif. Agar 

A va V  hodisalar yig`indisi muqarrar hodisa, ko`paytmasi esa 

mumkin bo`lmagan hodisa, ya`ni 



A + V =U,    A



V =V 

bo`lsa, u holda 

A va hodisalar o`zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi. 

Odatda 


A hodisaga karama-qarshi hodisaga  А  kabi belgilanadi. 

Demak, 


A + А =U,   A



А =V. 



23.7-ta`rif. Tajriba natijasida 

A hodisaning ro`y berishdan, V  hodisaning esa ro`y 

bermasligidan iborat hodisa 



A va hodisalar ayirmasi deb ataladi va A - V  kabi belgilanadi. 

23.1-eslatma. 

A

1

, A

2

, …, A

p

  hodisalarning yig`indisi va ko`paytmasi yuqoridagidek 

ta`riflanadi. 



A

1



A



2

, …A

p

 hodisalarni qaraylik. Agar bu hodisalar yig`indisi muqarrar hodisa bo`lsa, 

ya`ni 


A



A





+ … + A



= U 

bo`lsa, u holda 



A

1



A



2

, …A

p

 hodisalar hodisalarning to`la gruppasini tashkil etadi deyiladi. 

Agar 


A

1



A



2

, …A

p

 hodisalar uchun 

1

0



.  

A



A





+ … + A



= U; 

2

0



.  

A



A



=V,   i



j   (i, j=1, 2, …, n) 

bulsa, ya`ni istalgan ikkita 

A

i  

va

   



A

j

 ( i



j)  (i, j= n

,

hodisalar bir vaqtda ro`y berishi mumkin 



bo`lmasa, u holda A

1

,  A



2

, …,  A

p

 hodisalar juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan hodisalarning 



to`la gruppasini tashkil etadi deyiladi. 

Agarda bir necha A



1

A



2

, …A

p

 hodisalardan istalgan birini sinash natijasida ro`y berishi 

boshqalariga qaraganda kattaroq imkoniyatga (qulaylikka) ega deyishga asos bo`lmasa, bunday 

hodisalar teng imkoniyatli hodisalar deyiladi. 



 

2-§. Hodisa ehtimolining

 ta`riflari 

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi bo`lgan tasodifiy hodisaning ehtimoli 

tushunchasini keltiramiz. Hodisaning ehtimoli ma`nosini anglash uchun bitta sodda misol keltiramiz. 

Bitta yashikda 10 dona bir xil shar bo`lib, ularning ikkitasi qizil rangli, 8 tasi esa ko`k rangli 

bo`lsin. Yashikdagi bu sharlarni yaxshilab aralashtirib, so`ng bu yashikdan qaramasdan tavakkaliga shar 

olish tajribasini o`tkazaylik. Ravshanki, yashikdan olingan sharning ko`k rangli bo`lish imkoniyati qizil 

rangli bo`lishi imkoniyatiga qaraganda ko`proq bo`ladi.

 

Odatda imkoniyatlarni sonlar bilan xarakterlab, ular solishtiriladi. Natijada ko`p imkoniyatli, kam 



imkoniyatli umuman, ma`lum miqdordagi imkoniyatli kabi hodisalarning sonli o`lchovlari to`g`risida 

gapirish mumkin bo`ladi.

 

Bu hodisaning ehtimoli tushunchasiga olib keladi.  



1.  Hodisa  ehtimolining klassik ta`rifi. Biror tajriba natijasida chekli sondagi e

1

, e

2

…, e



n

  elementar hodisalardan birortasi ro`y berishi mumkin bo`lsin.

 


 

5

Bu  e



1

, e

2

, …, e



n

  elementar hodisalar quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 

1)  hodisalar juft-jufti bilan birgalikda emas, ya`ni istalgan ikkita  e

i

  va  e

j

 

(i



j)  hodisa 

birgalikda ro`y bermaydi; 

2)   e



1

, e

2

, …, e



n

  hodisalardan birortasi albatta ro`y beradi; 

3)   e

1

, e

2

, …, e





 hodisalar teng imkoniyatli. 

Biror  A  hodisa  e



1

, e

2

, …, e



n

    elementar  hodisalar ichidan  

m

k

k

k

е

е

е

...,


,

,

2



1

lar ro`y berganda 

ro`y bersin. Bu holda 

m

k

k

k

е

е

е

...,


,

,

2



1

 elementar hodisalar (ya`ni A  hodisasining ro`y berishiga olib 

keladigan hodisalar)  A  hodisaga  qulaylik tug`diradigan hodisalar deyiladi.

 

Masalan, tangani ikki marta tashlash tajribasini qaraylik. Bu tajriba natijasida GG, GR, RG, 



RR  elementar  hodisalar ro`y beradi.

 

A  hodisa tangani ikki marta tashlaganda ikkala holda ham gerbli tomoni tushishi hodisasi 

(GG hodisasi) bo`lsin. Bu holda hodisaga qulaylik tug`diradigan  elementar hodisa faqat bitta bo`ladi 

(GG hodisa).

 

Faraz qilaylnk, ta  e



1

, e

2

, …, e





 elementar hodisalardan tasi A hodisaning ro`y berishiga qulaylik 

tug`dirsin.

 

23.8-ta`rif. Ushbu 

n

m

 son A hodisaning ehtimoli deb ataladi va uni R(A) kabi yoziladi: 



R(A)=

n

m

.

 



Demak, hodisaning ehtimoli hodisaning ro`y berishiga qulaylik tug`diruvchi hodisalar sonining 

teng imkoniyatli barcha elementar hodisalar soniga nisbatiga teng.

 

Misollar. 1. Yashikda yaxshilab aralashtirilgan 25 ta bir xil shar bo`lib, ulardan 5 tasi ko`k, 

11 tasi qizil va  9 tasi oq shar bo`lsin. Yashikdan tavakkaliga bitta shar olinganda uning ko`k shar 

bo`lishi, qizil shar bo`lishi va oq shar bo`lishi ehtimollari topilsin.

 

Ravshanki, jami elementar hodisalar soni p  = 25 (5+11+9=25)  bo`ladi. Aytaylik,  A,V  va  S  mos 



ravishda ko`k, qizil va oq shar chiqishidan iborat hodisalarni ifodalasin. m

1

, m

va t



3

 esa mos ravishda bu 

hodisalarga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar soni  bo`lsin. U holda masala shartiga ko`ra 



m

1

=5, m

11, t



3

 =9  bo`ladi.

 

Ehtimolning klassik ta`rifiga ko`ra 



( )

( )


( )

36

,



0

25

9



,

44

,



0

25

11



,

2

,



0

25

5



=

=

=



=

=

=



С

Р

В

Р

А

Р

 

bo`ladi. Demak, tavakkaliga olingan sharning ko`k shar bo`lish ehtimoli  0,2 ga, qizil shar bo`lish 



ehtimoli esa 0,44 ga va oq shar bo`lish ehtimoli 0,36 ga teng. 

2. O`tkazilayotgan tajriba, simmetrik, bir jinsli tangani uch marta tashlashdan iborat bo`lsin. 

Tajriba natijasida 2 marta gerbli tomoni tushish hodisasining ehtimoli topilsin.

 

Tangani uch marta tashlashda ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalar 



to`plamini tuzamiz: 

  e



1

 (GGG), e

2

 = (GGR), e

3

 = (GRR), e

4

 = (RRR),  

e

5

 = (RGR), e

6

 = (RRG), e

7

 = (GRG), e

8

 = (RGG)}

 

bo`lib, bu to`plam elementlarining soni = 8.



 

Aytaylik, hodisa tangani uch marta tashlaganda 2 marta gerbli tomoni tushishi hodisasi bo`lsin.

 

Elementar hodisalar to`plami 



 dan ko`ramizki, barcha elementar imkoniyatlar soni p = 2

3

 = 8, 



ulardan hodisaga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar soni t = 3 bo`ladi.

 

Hodisa ehtimolining ta`rifiga ko`ra qaralayotgan hodisaning ehtimoli 



( )

375


,

0

8



3 =

=

А



Р

 

bo`ladi.



 

Hodisa ehtimolining ta`rifidan bevosita quyidagi xossalar kelib chiqadi.

 

1°. Har qanday A hodisaning ehtimoli



 

 

6

R(A)



 0  

va  R(A)

 1

ya`ni 

≤ R(A)





 

bo`ladi. 

2°. Muqarrar hodisaning ehtimoli ga  teng  bo`ladi, ya`ni  R(

)= 1. 

3°. Mumkin bo`lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng bo`ladi

R(V)=

0. 


2.  Hodisa ehtimolining geometrik va statistik ta`riflari. Biz yuqorida o`rgangan 

ehtimolning klassik ta`rifidan unda bayon etilgan barcha elementar imkoniyatlar soni chekli 

bo`lgan holdagina foydalanish mumkin, aks holda bu ta`rifdan foydalaiib bo`lmaydi.

 

Bunday holda hodisa ehtimoliga boshqacha ta`rif berishga to`g`ri keladi. Quyida hodisa 



ehtimolining geometrik va statistik ta`riflarini keltiramiz. 

H o d i s a   e h t i m o l i n i n g   g e o m e t r i k   t a ` r i f i .  F a r a z  qilaylik, tekislikda biror 

 

soha beralgan bo`lib, bu 



 soha boshqa bir 

G

 sohani o`z ichiga olsin: 



Q

G

⊂ .   sohaga 

tavakkal qilib nuqta tashlanadi. Bu nuqtaning 

G

 sohaga tushishi ehtimolini ta`riflaymiz. Bu erda 

barcha elementar hodisalar to`plami 

 sohadan iborat bo`ladi. Ravshanki,  Q  -  cheksiz to`plam. 

Binobarin, bu holda ehtimolning klassik ta`rifidan foydalanib bo`lmaydn. 



 sohaga tashlangan 

nuqta shu soxaning istalgan qismiga tushishi mumkin va nuqtaning 



 sohaning biror 

G

 qismiga 

tushish ehtimoli 



G

 ning o`lchoviga proportsional bo`lib, u 

G

 ning shakliga ham, 

G

 ning 

 

sohaning qaeriga joylashishiga ham bog`liq bo`lmasin. Shu shartlarda ushbu 



mesQ

mesG

Р

=

 



miqdor qaralayotgan hodisaning geometrik ehtimoli deb ataladi. Bunda 

Q

mes

−  va 


G

 sohalarning 

o`lchovini bildiradi.

 

Misol.  L  uzunlikka ega bo`lgan kesmaga tavakkal qilib nuqta tashlangan bo`lsin. 

Tashlangan nuqtaning kesma o`rtasidan uzog`i bilan l  masofada  (2lyotishi hodisasining 

ehtimoli topilsin.

 

echish. Umumiylikka ziyon keltirmasdan kesmaning o`rtasini sanoq boshi deb qaraylik 

(141-chizma).

 

Masalaning shartini qanoatlantiradigan nuqtalar to`plami [-l; l] segmentidan iborat 



bo`ladi. Bu segmentning uzunligi 2l ga teng. Yuqoridagi ta`rifga ko`ra qaralayotgan hodisaning 

ehtimoli


 

L

l

Р

2

=



 

ga teng bo`ladi.

 




Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling