O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

Hodisa ehtimolining statistik ta`rifi. Yuqorida aytib o`tganimizdek, hodisa 

ehtimolining klassik ta`rifi tajriba natijasida ro`y beradigan elementar hodisalarning teng imkoniyatli 

bo`lishiga asoslangandir.

 

Ko`p hollarda elementar hodisalarning teng imkoniyatli bo`lishini ko`rsata olmaymiz. Shu 

sababli ham hodisa ehtimolining amalda qulay bo`lgan ta`rifini keltirish zaruriyati tug`iladi. 

Bunday ta`riflardan biri hodisa ehtimolining statistik ta`rifidir. Bu ta`rifni keltirishdan avval nisbiy 

chastota tushunchasi bilan tanishamiz.

 

Tabiatda, texnikada ko`p marta takrorlanadigan voqealarga duch kelamiz. Bu tajriba 

natijasida biror A  hodisa ro`y berishi ham mumkin, ro`y bermasligi ham mumkin. Aytaylik, N 

marta tajriba o`tkazilgan bo`lib, unda A hodisa 

µ

 marta ro`y bergan bo`lsin.  

Ushbu

 

( )

( )

N

A

A

W

µ

=

 

nisbat hodisaning nisbiy chastotasi deb ataladi.

 

Demak, A hodisaning nisbiy chastotasi shu hodisa ro`y bergan tajribalar sonini o`tkazilgan 

jami tajribalar soniga bo`lgan nisbatiga teng. 

Ko`p kuzatishlar shuni ko`rsatadiki, bir xil shart-sharoitda ko`p marta takrorlanadigan 

tajriba o`tkazilganda nisbiy chastota biror o`zgarmas son atrofida tebranib turadi (odatda buni 

 

7

nisbiy chastotaning turg`unligi deyiladi).  Masalan, tanga  tashlash tajribasini ko`p marta 

takrorlaganda, tanganing gerbli tomonining tushish chastotasi quyidagicha bo`lgan.

 

 

Tajribalar soni (W) 

Gerbli tomoni bilan tushish 

soni (

r

µ

) 

Nisbiy chastota 

r

W

 

4040 

12000 

24000 

2048 

 6019 

12012 

0,5080 

0,5016 

0,5005 

Bundan nisbiy chastotaning 0,5 soni atrofida tebranib turishiki ko`ramiz. Tajribalar 

sonini yanada orttira borganda nisbiy chastota 0,5 soniga borgan sari yaqin kelaveradi.

 

Shunday qilib, hodisaning nisbiy chastotasi tajribalar soni orta borgan sari bitta 

o`zgarmas son atrofida bo`lar ekan. Odatda shu son hodisaning ehtimoli deyiladi. Hodisa ehtimoliga 

berilgan bu ta`rif ehtimolning statistik ta`rifi deyiladi.

 

Misol. Ekilgan 30 tup olma ko`chatidan kelgusi yili 25 tupi ko`kargan bo`lsa, ekilgan olma 

ko`chatining ko`karish (N) hodisasining nisbiy chastotasi topilsin.

 

echish. Ehtimolning statistik ta`rifiga asosan 

25

,

30

=

=

A

N

µ

. Bundan 

( )

83

,

0

6

5

30

25

≈

=

=

=

N

A

W

A

µ

 

 

3-§. Ehtimollar nazariyasining aksiomalari 

Agar ikkita A  va  V  hodisalardan birining ro`y berishi ikkinchisining ro`i berish yoki ro`y 

bermasligiga bog`liq bo`lmasa, u holda bu hodisalar erkli hodisalar deyiladi. Yuqoridagi 

mulohazalarimizdan ravshanki, bu mavzuda faqatgina birgalikda bo`lgan hodisalar haqida fikr yuritiladi, 

chunkn birgalikda bo`lmagan hodisalarning birgalikda ro`y berish (ko`paytmasini) ehtimoli nolga teng. 

A va V hodisalar erikli hodisalar bo`lib, R(A) va R(V)  ularning mos ehtimollari bo`lsin. 

23.3-teorema. 

Ikkita erkli A va V hodisaning birgalikda ro`y bershi ehtimoli shu 

hodisalarning ehtimollari ko`paytmasiga teng: 

R(AV)=R(A)

⋅

R(V). 

Isbot. 

Shartga ko`ra A va V erkli hodisalar. Tajriba natijasida p ta elementar hodisaga ega 

bo`laylik. Bulardan n

1

 tasi A hodisaga qulaylik tug`dirsin. 

 

Tajriba natijasida t  ta elementar hodisaga ega bo`laylik. Bulardan t

1

  tasi  V  hodisaga qulaylik 

tug`dirsin. 

Ravshanki, 

( )

( )

m

m

B

Р

n

n

А

Р

1

1

,

=

=

                                                    (23.7) 

Tajribalar natijasida ro`y beradigan barcha elementar hodisalar soni pt ta bo`ladi.   Bulardan p

1

t

1

 

tasi  A  va V hodisalarning birgalikda ro`y berishiga qulaylik tug`diradi. 

Demak, 

( )

nm

m

n

АВ

Р

1

1

=

 

bo`ladi. Bundan esa, yuqoridagi (23.7) munosabatni e`tiborga olib, 

(

)

( ) ( )

В

Р

А

Р

m

m

n

n

В

А

Р

⋅

=

⋅

=

⋅

1

1

 

bo`lishini topamiz. 

22.2-natija.  

A

1

, A

2

, …, A

p  

birgalikda bog`liq bulmagan hodisalar bo`lsin. U holda 

R(A

1

, A

2

, …, A

p

)= R(A

1

)R(A

2

)…R(A

p

) 

bo`ladi 

 

8

Misol.

 Ikki yashikning har birida 10 tadan detal` bor. Birinchi yashikda 8 ta, ikkinchi 

yashikda 7 ta standart detal` bor. Har bir yashikdan tavakkaliga bittadan detal` olinadi. Olingan ikkala 

detalning standart bo`lish ehtimoli topilsin. 

echish.

 Birinchi yashikdan olingan detal` standart detal` bo`lishi hodisasini A,   ikkinchi 

yashikdan olingani standart detal` bo`lishi hodisasini V deylik. Unda R(A)=

10

8

=0,8,  R(V)=

10

7

= 0,7 

bo`ladi. Ravshanki, olingan ikkala detalning standart detal` bo`lishi hodisasi esa AV hodisa bo`ladi. 

A, V birgalikda bo`lmagan hodisalardir. Shuning uchun 22.3 - teoremaga ko`ra R(AV)=R(A)

⋅

R(V) 

bo`ladi. Demak, 

R(AV)=R(A)

⋅

R(V)=0,8

⋅0,7=0,56 

bo`ladi. 

Bog`lik hodisalar ehtimollarini ko`paytirish teoremasini keltirishdan avval hodisaning shartli ehtimoli 

tushunchasi bilan tanishamiz. 

Biror A hodisa berilgan bo`lsin. Odatda bu hodisa ma`lum shartlar majmui S bajarilganda ro`y 

beradi. Agar A hodisaning ehtimoli R(A) ni hisoblaganda S shartlar majmuidan boshqa hech qanday shart 

talab qilinmasa, bunday ehtimol shartsiz ehtimol deyiladi. Ko`p hollarda A hodisaning extimolini biror V 

hodisa (R (V)>0) ro`y bergan degan shartda hisoblashga to`g`ri keladi. 

A hodisaning bunday ehtimoli shartli ehtimol deyiladi va R(A/V) kabi belgilanadi. 

Misol.

 Tangani 3 marta tashlash tajribasini qaraylik. Tajriba natijasida ro`y beradigan elementar 

hodisalar to`plami quyidagicha bo`ladi: 

Ω = {GGG, GGR, GRG, RGG, RRR, RRG, RGR, GRR}. 

Bu to`plam 8 ta elementdan iboratdir. 

Tanganing gerbli tomoni faqat bir marta tushish hodisasi A va kamida bir marta gerbli tomoni 

tushish hodisasi V bo`lsa, u holda extimolning klassik ta`rifiga asosan: 

R(A)=

8

3

,  R(V)=

8

7

 

bo`ladi. R(A/V) shartli ehtimol esa 

R(A/V)=

7

3

 

ga teng bo`ladi. 

Endi bog`liq hodisalar ehtimollarini ko`paytirish teoremasinn keltiramiz. 

23.4-teorema.

  Ikkita bog`liq hodisaning birgalikda ro`y berish ehtimoli ulardan birining 

ehtimolini shu hodisa ro`y berdi degan farazda hisoblangan ikkinchi hodisaning shartli eqtimoliga 

ko`paytmasiga teng: 

R(AV)=R(A)R(V/A). 

Misol.

 Yashikda 5 ta oq, 4 ta qora shar bor. Yashikdan qaytarib joyiga qo`ymasdan, bittalab 

shar olish tajribasi o`tkazilayotgan bo`lsin. Birinchi galda oq shar,   ikkinchi galda qora shar chiqishi ehtimoli 

topilsin. 

echish.

 Birinchi galda oq shar chiqish hodisasini A,  ikkinchi galda qora shar   chiqish 

hodisasini V deb olaylik. Bu hodisalar bog`liq hodisalar bo`ladi. Hodisa ehtimoli ta`rifiga ko`ra R(A) = 

5/9. 

Birinchi galda oq shar chiqqan holda, ikkinchi galda qora shar chiqishi ehtimoli (shartli ehtimoli)  

R(V/A) = 4/9  bo`ladi. 

Ravshanki, birinchn galda oq shar, ikkinchi galda qora shar chiqishi hodisasi A - V bo`ladi. Bu 

hodisaning ehtimolini yuqorida keltirilgan teoremadan foydalanib topamiz: 

R(AV)=R(A)R(V/A) = 

81

20

9

4

9

5

=

⋅

. 

23.2-eslatma.

 Agar A, V, S bog`liq hodisalar bo`lsa, u holda  

R(AVS) = R(A)R(V/A)R(S/AV) 

munosabatning o`rinli bo`lishini ko`rsatish mumkin. 

 

9

Umuman, A

1

, A

2

, …, A

p

 bog`liq hodisalar uchun quyidagi formula urinli bo`ladi: 

R(A

1

A

2 

…A

p

)=

 R(A

1

)

R(A

2

/A

1

)

R(A

3

/A

1

A

2

)…

R(A

n

/ A

1

A

2 

…A

p-1

). 

 

4-§. To`la ehtimol formulasi. 

Bayes formulasi 

Biror  A  hodisa  p  ta juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan N

1

, N

2

, ..., N

p

  hodisalarning 

(gipotezalarning) bittasi va faqat bittasi bilangina ro`y berishi mumkin bo`lsin. Demak, birinchidan 

A=AN

1 

+ AN

2

, + ... + AN

p

 

ikkinchidan esa 

(

)

j

i

V

АН

АН

j

i

≠

=

∩

 

bo`ladi. 

Ehtimollarni qo`shish teoremasidan foydalanib topamiz: 

R(A) = R(AN

1 

+ AN

2

, + ... + AN

p

) = R(AN

1 

)+R(AN

2

) + ... + R(AN

p

). 

Agar 

R(AN

1 

) = R(N

1 

)R(A/N

1 

), 

R(AN

2

) = R(N

2

)R(A/N

2

), 

………………………. 

R(AN

p

) = R(N

p

)R(A/N

p

) 

bo`lishini e`tiborga olsak, u holda ushbu tenglikka kelamiz:  

R(A)=R(N

1

)R(A/N

1

) + R(N

2

)R(A/N

2

) +…+ R(N

p

)R(A/N

p

) =

( ) (

)

∑

=

n

k

k

k

H

A

P

H

P

1

/

. 

Demak, 

( )

( ) (

)

∑

=

=

n

k

n

n

H

A

P

H

P

A

P

1

/

.                                      (23.10) 

Odatda (23.10) formula to`la ehtimol formulasi deb ataladi. 

To`la ehtimol formulasidan murakkab hodisalarning ehtimollarini hisoblashda foydalaniladi. 

Misol.

 Omborga 360 ta mahsulot keltirildi. Bulardan: 

300 tasi bir korxonada tayyorlangan bo`lib, 250 tasi yaroqli mahsulot,  

40 tasi 2-korxonada tayyorlangan bo`lib, 30 tasi yaroqli mahsulot, 

20 tasi 3-korxonada tayyorlangan bo`lib, 10 tasi yaroqli mahsulot.  

Ombordan tavakkaliga olingan mahsulotning yaroqli bo`lish ehtimoli topilsin. 

echish.

 Tavakkaliga olingan mahsulot uchun quyidagi gipotezalar o`rinli bo`ladi: 

N

1

 — mahsulotning 1-korxonada tayyorlangan bo`lishi,  

N

2

 — mahsulotning 2-korxonada tayyorlangan bo`lishi,  

N

3  

— mahsulotning 3-korxonada tayyorlangan bo`lishi.  

Ularning ehtimollari mos ravishda quyidagicha bo`ladi: 

( )

( )

( )

.

18

1

360

20

;

9

1

360

40

;

6

5

360

300

3

2

1

=

=

=

=

=

=

H

P

H

P

H

P

 

Agar olingan mahsulotning yarokli bo`lishini A  hodisa deb belgilasak, u holda bu hodisaning turli 

gipotezalar shartlari ostidagi ehtimollari quyidagicha bo`ladi: 

(

)

(

)

(

)

.

2

1

/

;

4

3

/

;

6

5

/

3

2

1

=

=

=

H

A

P

H

A

P

H

A

P

 

Yuqorida topilganlarni to`la ehtimol formulasi (23.10) ga qo`yamiz:  

( )

( ) (

) ( ) (

) ( ) (

)

.

36

29

2

1

18

1

4

3

9

1

6

5

6

5

/

/

/

3

3

2

2

1

1

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

=

+

+

=

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

A

P

 

 

10

Aytaylik, birgalikda bo`lmagan N

1

, N

2

, …, N

p

  hodisalarning to`la gruppasi berilgan bo`lib, 

tajribani o`tkazishga qadar ularning har birining 

( )

i

H

P

, 

n

i

,

1

=

  ehtimollari tayin qiymatga ega 

bo`lsin. Tajriba natijasida A  hodisa ro`y berdi degan shart ostida 

i

H

 

(

)

n

i

,

1

=

 hodisalarning 

ehtimollari tajribadan so`ng qanday bo`lishligi kuyidagicha topiladi: 

i

H

 va A hodisalarning ko`paytmasi 

uchun ushbu 

(

)

( ) (

)

( ) (

)

i

i

i

i

H

A

P

H

P

A

H

P

A

P

AH

P

/

/

=

=

 

formuladan 

(

)

( ) (

)

( )

A

P

H

A

P

H

P

A

H

P

i

i

i

/

/

=

 

munosabatga ega bo`lamiz. Bu munosabatga to`la ehtimol formulasini qo`llanib, quyidagini topamiz: 

(

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

∑

=

=

+

+

=

n

i

i

i

i

i

n

n

i

i

i

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

H

A

P

H

P

A

H

P

1

1

1

/

/

/

...

/

/

/

 

Bu formula Bayes formulasi deyiladi. 

Misol.

 Yuqoridagi misolda tavakkaliga olingan mahsulotning yaroqli ekanligi ma`lum bo`lsa, 

uning birinchi korxonada tayyorlangan bo`lish ehtimolini toping. 

echish. 

Masalada  R(N/A)  shartli ehtimolni topish talab qilinmoqda. Bu ehtimolni Bayes 

formulasidan foydalanib topamiz: 

(

)

( ) (

)

( )

A

P

H

A

P

H

P

A

H

P

1

1

1

/

/

=

 

Endi 

( )

36

29

=

A

P

, 

( )

6

5

1

=

H

P

 va 

(

)

6

5

/

1

=

H

A

P

 bo`lganligidan talab qilinayotgan 

ehtimollik quyidagiga teng: 

(

)

( ) (

)

( )

.

29

25

36

29

6

5

6

5

/

/

1

1

1

=

⋅

=

=

A

P

H

A

P

H

P

A

H

P

 

5-§. O`zaro bog`liq bo`lmagan tajribalar ketma- ketligi.  

Bernulli formulasi 

Amaliy masalalarni hal etishda tajribalar odatda bir necha bor takrorlanadi. Buning natijasida 

tajribalar ketma-ketligi hosil bo`ladi. Masalan, yangi paxta navi yaratilganligini ma`lum kafolat bilan 

tasdiqlash uchun shu nav bilan bir necha yil tajribalar o`tkazilib, ular asosida yangi navning o`rtacha 

hosildorligi, tola chiqishligi, tez pisharligi, sifatliligi kabi muhim belgilari avvalgi navlarga 

qaraganda yuqori ekanligi  ko`rsatiladi. 

Ma`lumki, tajribalar o`tkazilishi natijasida tasodifiy hodisalar ro`y berdi. Agar tajriba natijasida 

biror tasodifiy hodisa ro`y berish ehtimoli boshqa tajriba natijasida kanday tasodifiy hodisa ro`y berganiga 

bog`liq bo`lmasa, bunday tajribalar ketma-ketligi o`zaro bog`lik bo`lmagan tajribalar delinadi. 

Aytaylik, p ta tajriba o`tkazilgan bo`lib, ular quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 

1) tajribalar o`zaro bog`liq bo`lmasin; 

2)  har bir tajriba natijasida yo 

A

  hodisa, yoki unga qarama-qarshi 

A

  hodisalardan biri ro`y 

bersin;

 

3)har bir tajribada 

A

  hodisaning ro`y berishi ehtimoli o`zgarmas bo`lib, u 

( )

p

A

P

=

  ga teng 

bo`lsin. U holda 

A

  hodisaning ro`y bermaslik ehtimoli, ya`ni qarama-qarshi hodisaning ro`y berish 

ehtimoli 

( )

p

q

A

P

−

=

=

1

 bo`ladi.

 

 

11

Bunday, ya`ni har bir bog`liqmas tajriba natijasida to`la gruppa tashkil qiladigan ikkita 

A

 va 

A

 

hodisalardan faqat bittasi albatta ro`y beradi deb qaraladigan tajribalar ketma-ketligi Bernulli sxemasi 

deyiladi.

 

Ravshanki, 

( )

p

q

A

P

−

=

=

1

 

Demak, har bir tajriba natijasida  

A

    hodisaning ro`y berish ehtimoly 

( )

p

A

P

=

,  unga 

qarama-qarshi 

A

 hodisaning ro`y berish ehtimoli 

( )

q

A

P

=

 bo`lsin. Asosiy masala p ta erkli tajribada 

A

 

hodisasnning rosa k  marta ro`y berishi ehtimolini topishdan iborat. Bu ehtimolni 

( )

k

P

n

  bilan 

belgilaylik.