O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

Misol.

 Darslik 200000 nusxada bosib chiqarilgan. Darslikning yaroqsiz (brak) bo`lish 

ehtimoli 0,00005 ga teng. Bu tirajda rosa beshta yaroqsiz kitob bo`lish ehtimoli topilsin. 

echish.

 Shartga ko`ra n = 200000, r = 0,00005, k = 5. U holda pr=200000

⋅0,00005 

= 10 bo`lib, (23.16) formulaga asosan  

( )

0375

,

0

!

5

10

!

10

5

≈

=

≈

−

−

e

e

k

k

Р

k

n

λ

λ

 

bo`ladi. Demak, izlanayotgan ehtimol 

( )

0375

,

0

5

200000

≈

Р

 bo`ladi. 

 

8-§. Diskret tasodifiy miqdorlar 

ξ

 diskret tasodifiy miqdor bo`lib, uning qabul qilishi mumkin bo`lgan   qiymatlari x

1

, x

2

, 

…, x

p

 bo`lsin. 

Agar 

ξ

 tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlarining ehtimollari ma`lum 

bo`lsa, 

ξ

 diskret tasodifiy miqdorning taqsimoti berilgan deyiladi. 

Aytaylik, 

ξ

  diskret tasodifiy miqdor x

1

, x

2

, …, x

p

  qiymatlarni mos ravishda r

1

, r

2

, 

…, r

p

 ehtimollar bilan qabul qilsin: 

(

)

(

)

(

)

.

...,

,

,

2

2

1

1

n

n

р

х

Р

р

х

Р

р

х

Р

=

=

=

=

=

=

ξ

ξ

ξ

 

Bu ma`lumotlardan foydalaiib quyidagi jadvalni tuzamiz: 

ξ

 

X

1

 

x

2

 

… 

x

p

 

R(

k

x

=

ξ

) 

R

1

 

r

2

 

… 

R

n 

 

  

Bu jadvalning birinchi satrida 

ξ

 tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan 

qiymatlari, ikkinchi satrida esa ularga mos ehtimollari yozilgan. 

Ravshanki: 

{

} {

}

{

}

n

х

х

х

=

=

=

ξ

ξ

ξ

...,

,

,

2

1

 

hodisalar bir-biriga bog`liq bo`lmagan hodisalar bo`lib, tasodifiy miqdor, albatta bitta qiymatni 

qabul qilishi kerak bo`lgani uchun 

{

} {

}

{

}

U

х

х

х

n

=

=

∪

∪

=

∪

=

ξ

ξ

ξ

...

2

1

 

bo`ladi {

U

 — muqarrar hodisa). 

Qo`shish teoremasidan foydalanib topamiz: 

{

} {

}

{

} { }

.

...

2

1

U

P

х

P

х

P

х

P

n

=

=

+

=

+

=

ξ

ξ

ξ

 

Natiyjada  r

1 

+ r

2 

+…+ r

p 

=1,  ya`ni 

∑

=

=

n

k

k

p

1

1 tenglikka kelamiz. Bu esa 

ξ

 tasodifiy 

miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan barcha qiymatlari ehtimollarining yig`indisi 1 ga teng 

bo`lishini bildiradi. 

 

20

Diskret tasodifiy miqdor uchun kiritilgan yuqoridagi (24.1) jadval tasodifiy miqdorni to`la 

tavsiflab beradi. Shuning uchun ham (24.1) jadval 

ξ

 diskret tasodifiy miqdor extimollarining taqsimot 

konuni deb ataladi. 

Diskret tasodifiy miqdorning ba`zi muhim taqsimot qonunlarini keltiramiz. 

p  ta o`zaro erkin tajriba o`tkazilgan bo`lib, har bir tajribada A  hodisaning ro`y berish ehtimoli 

o`zgarmas  r  ga teng bo`lsin. Bunday tajribada A  hodisaning  k  marta ro`y berish ehtimoli 

( )

(

)

k

n

k

k

n

n

р

р

C

k

Р

−

−

=

1

 

ga teng edi: Bu holda diskret tasodifiy miqdor 

ξ

 ning qabul qilishi 

mumkin bo`lgan  qiymatlari 

ξ

: 0, 1, 2, …, p  bo`ladi: Ravshanki, tasodifiy miqdor bu 

qiymatlarni mos ravishda ushbu 

( )

(

)

(

)

n

k

р

р

C

k

Р

k

Р

k

n

k

k

n

n

n

,

0

,

1

=

−

=

=

=

−

ξ

 

ehtimollar bilan  qabul  qiladi hamda 

( ) (

)

∑

=

=

+

=

n

k

n

n

q

p

k

P

0

1. 

Natijada ushbu

 

 

(

)

k

=

ξ

 

0 1 

2 

…

k 

… 

n 

( )

(

)

k

Р

k

Р

n

n

=

=

ξ

 

(

)

n

р

−

1

 

(

)

1

1

1

−

−

n

n

р

p

C

 

(

)

2

2

2

1

−

−

n

n

р

p

C

  …

(

)

k

n

k

k

n

р

p

C

−

−

1

  … p

n

 

 

jadvalga ega bo`lamiz. Odatda bu  jadval  binomial taqsimot  deb ataladi.

 

Misol.  Ekilgan har bir chigitning unib chiqish ehtimoli 0,8 ga teng bo`lsa, ekilgan 3 ta 

chigitdan unib chiqqan chigitlar sonining qonuni tuzilsin.

 

echish. Ekilgan har bir chigit unib chiqishi ham, unib chiqmasligi ham mumkin. Ekilgan 3 ta 

chigitdan unib chiqishlar soni tasodifiy miqdor bo`lib, u 0, 1, 2, 3 qiymatlarni qabul qilishi mumkin. 

Bu qiymatlarni qabul qilish ehtimoli Bernulli formulasi yordamida topiladi: 

(

)

(

) ( ) ( )

,

008

,

0

2

,

0

8

,

0

1

0

3

0

3

0

0

3

3

=

⋅

=

−

=

=

р

р

С

Р

ξ

 

(

)

(

)

( ) ( )

,

096

,

0

2

,

0

8

,

0

3

1

1

2

2

1

3

3

=

⋅

⋅

=

−

=

=

р

р

С

Р

ξ

 

(

)

(

)

( ) ( )

,

384

,

0

2

,

0

8

,

0

3

1

2

2

2

2

3

3

=

⋅

⋅

=

−

=

=

р

р

С

Р

ξ

 

(

)

(

) ( ) ( )

.

512

,

0

2

,

0

8

,

0

1

0

0

3

0

3

3

3

3

=

⋅

=

−

=

=

р

р

С

Р

ξ

 

 

Demak, ekilgan  3 ta chigitdan unib chiqishlar soni 

ξ

 tasodifiy mikdorning taqsimot qonuni 

quyidagicha bo`ladi:

 

ξ

 

0 

1 

2 

3 

R 

0,008 

0,096 

0,384 

0,512 

Ravshanki, bu ehtimollar yig`indisi:

 

0,008 + 0,096 + 0,384 + 0,512 = 1.

 

24.1-eslatma. 

ξ

  tasodifiy  miqdor 0, 1, 2, 3, ...  qiymatlarni ushbu

 

(

)

!

k

e

k

Р

k

λ

λ

ξ

−

=

=

        (k = 0, 1, 2, ...) 

ehtimollar bilan qabul qilsin.

 

Natijada quyidagi taqsimot jadvali hosil bo`ladi. 

ξ

 

0 

1 

2 

… 

(

)

k

Р

=

ξ

 

λ

−

е  

λ

λ

−

е

 

λ

λ

−

е

!

2

2

 

… 

Bu jadval Puasson taqsimoti deb ataladi. Bu erda 

( )

;

1

!

!

0

0

0

0

=

=

⋅

=

=

=

−

−

∞

=

−

∞

=

−

∞

=

∑

∑

∑

e

e

e

k

e

k

e

k

P

k

k

k

k

k

n

λ

λ

λ

λ

λ

λ

 

 

21

chunki qatorlar nazariyasidan:

 

e

k

k

k

=

∑

∞

=0

!

λ

 

ekanligi ma`lum. 

 

9-§.  Uzluksiz tasodifiy miqdorlar.  

Biz yukorida diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonunini o`rgandik. Agar tasodifiy miqdor 

uzluksiz bo`lsa, bu tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari biror 

( )

b

а;

  oraliqni 

tashkil etadi. Binobarin bu holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yuqoridagi o`xshash jadval shaklida 

yozib bo`lmaydi.

 

Faraz qilaylik, 

ξ

 ixtiyoriy tasodifiy miqdor, x esa biror haqiqiy son bo`lsin. Qaralayotgan tasodifiy 

miqdor uchun ushbu {

x

<

ξ

} hodisani qaraylik. Bu tajriba natijasida ro`y bergan miqdorning x sondan 

kichik bo`lish hodisasini bildiradi. Endi shu hodisaning ehtimoli 

{

}

x

P

<

ξ

 

ni qaraylik. Ravshanki, bu ehtimol olingan x haqiqiy songa bog`liq, ya`ni x ning funktsiyasi bo`ladi. 

Odatda 

{

}

x

P

<

ξ

  ehtimol bilan aniqlangan funktsiya 

ξ

 tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi deb 

ataladi va G` (x) kabi belgilanadi:

 

G` (x)=

{

}

x

P

<

ξ

.                                               (24.2)

 

Misol. Ushbu jadval bilan berilgan 

ξ

 diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonunining taqsimot 

funktsiyasi topilsin:

 

ξ

 -1 

0 

2 

2,5 

{

}

x

P

<

ξ

 

0,2 

0,3 

0,4 

0,1 

Jadvaldan ko`rinadiki, 

ξ

 tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari —1, 0, 2, 2,5 

bo`ladi. Bu sonlarni son o`qida yasaymiz. 

- 1, 0, 1, 2, 2,5 

Aytaylik,  x 

≤ - 1 bo`lsin. Unda {

x

<

ξ

} hodisasi mumkin bo`lmagan hodisa bo`ladi. {

x

<

ξ

}=V. 

Chunki bu holda tasodifiy miqdoriing 

x

<

ξ

 tengsizlikni qanoatlantiruvchi bitta ham qiymati  yo`q. 

Demak, 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}=R(V)=0 

bo`ladi. Endi -1 < x 

≤ 0 bo`lsin. Bu holda {

x

<

ξ

}  hodisasi {

x

<

ξ

}={

ξ

=-1) bo`ladi. Bundan esa 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}=R(

ξ

=-1)=0,2 

kelib chiqadi. 

Endi 0< x 

≤ 2 bo`lsin.  

Bu holda {

x

<

ξ

} hodisasi 

{

x

<

ξ

}={

ξ

=-1}

∪

{

ξ

=0} 

bo`lib, 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}=R(

ξ

=-1)+R{

ξ

=0}= 0,2 + 0,3 = 0,5 

bo`ladi. 

Faraz qilaylik, 2 < x 

≤ 2,5 bo`lsin. Bu xolda hodisa 

{

x

<

ξ

}={

ξ

=1}

∪

{

ξ

=0}

∪

{

ξ

=2} 

bo`lib, 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}=R{

ξ

=-1}+R{

ξ

=0}+R{

ξ

=2}= 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9 

bo`ladi. 

Va, nihoyat, x > 2,5 bo`lganda {

x

<

ξ

} bo`lib, 

G`(x)=R{

x

<

ξ

}=R{U} = 1 

bo`ladi. 

Shunday qilib, qaralayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi 

 

22

( )

















>

≤

<

≤

<

−

≤

<

−

−

≤

=

булса

х

агар

булса

х

агар

булса

х

агар

булса

х

агар

булса

х

агар

x

F

5

,

2

,

1

,

5

,

2

2

9

,

0

,

2

0

5

,

0

,

1

1

2

,

0

,

1

,

0

 

bo`ladi.  

 

10-§. Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikasi

 

Tasodifiy miqdor taqsimot qonunining berilishi shu tasodifiy miqdor haqida to`liq ma`lumot 

beradi. Ammo ba`zi hollarda tasodifiy miqdor to`g`risida ayrim, yig`ma ma`lumotlarni bilish 

lozim bo`ladi. Bunda tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari — tasodifiy miqdorning 

matematik kutilishi va dispersiyasi tushunchalari muhim rol o`ynaydi. Biz quyida shu tushunchalar 

bilan tanishamiz. 

Biror 

ξ diskret tasodifiy mikdor berilgan bo`lib, u x

1

, x

2

, …, x

p

 qiymatlarni mos ravishda 

r

1

, r

2

, …, r

p

 ehtimollar  bilan qabul qilsin: 

24.1-ta`rif.

 Ushbu 

∑

=

=

+

+

+

n

k

k

k

n

n

р

х

р

х

р

х

р

х

1

2

2

1

1

...

 

yig`indisi 

ξ diskret tasodifiy mikdorning matematik kutilishi deb ataladi va 

ξ

M  kabi belgilanadi: 

∑

=

=

+

+

+

=

n

k

k

k

n

n

р

х

р

х

р

х

р

х

M

1

2

2

1

1

...

ξ

                              (25.1) 

 Demak, 

diskret 

tasodifiy 

mikdorning 

matematik kutilishi bu tasodifiy miqdorning qabul 

qilishi mumkin bo`lgan barcha qiymatlarini ularning mos ehtimollariga ko`paytmalari 

yig`indisidan iborat. 

 Tasodifiy 

miqdor 

matematik 

kutilishining 

ma`nosini anglash uchun bitta masalani 

qaraymiz. 

 Faraz 

qilaylik, 

n ta tajriba o`tkazilgan bo`lib, bunda 

ξ tasodifiy mikdor x

1

, x

2

, …, x

k

 

qiymatlarni mos ravishda m

1

, m

2

, …, m

k

  martadan qabul qilgan bo`lsin. Ravshanki, 

m

1

+m

2

+…+m

k

 = n. 

Qaralayotgan 

ξ tasodifiy mikdor qabul qilgan qiymatlarining o`rta arifmetik qiymati (uni 

х

 bilan belgilaylik) 

n

m

x

m

x

m

x

k

k

+

+

+

...

2

2

1

1

 

ga teng bo`ladi. Bu miqdorni quyidagicha yozish mumkin: 

.

...

...

2

2

1

1

2

2

1

1

n

m

x

n

m

x

n

m

x

n

m

x

m

x

m

x

x

k

k

k

k

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

+

+

+

=

 

Agar 

n

m

i

  (i = 1, 2, …, k) ni {

i

х

=

ξ

} hodisaning nisbiy chastotasi 

i

W  ekanini hamda bu 

nisbiy chastota {

i

х

=

ξ

} hodisasining ehtimoli r

i

 {R{

i

х

=

ξ

} = r

i

) dan kam farq qilishini (

i

i

p

W

≅

) 

e`tiborga olsak, unda 

 

M

p

x

p

x

p

x

W

x

W

x

W

x

n

m

x

n

m

x

n

m

x

x

k

k

k

k

k

k

ξ

=

+

+

+

=

=

+

+

+

≈

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

...

...

...

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

 

ekanini topamiz. Demak, 

ξ

M

x

=

.   

Bu munosabat 

ξ tasodifiy miqdorning matematik qutilishi shu tasodifiy miqdor 

kuzatilayotgan qiymatlarining o`rta arifmetik qiymatiga taqriban teng ekanini ko`rsatadi 

(shuning uchun ham 

ξ

M  ni ko`pincha 

ξ tasodifiy miqdorning o`rtacha qiymati deb yuritiladi). 

 

23