O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi
Misollar. 1. Binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin. echish
Download 1.11 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Misollar.
- 15-§. Tanlanma usul
|
Misollar. 1. Binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin. echish. Bu holda, ma`lumki, ξ diskret tasodifiy miqdor 0,1,2,…,k,…,p qiymatlarni mos ravishda ( )
) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 0 0 1 , 1 ..., , 1 ..., , 1 , 1
p С p p С p p С p p С p p С n n n n n n k n k k n n n n n − − − − − − − − − −
ehtimollar bilan qabul qiladi. ξ diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ta`rifga binoan ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = − = − − − − − − = − = − + + − + + − ⋅ + − ⋅ =
k k n k k n n k k n k k n n n n n n k n k k n n n n n p p kС p p kС p p nС p p kС p p С p p С M 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 ... 1 ...
1 1 1 0 ξ
bo`ladi.
Endi bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indini hisoblaymiz. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = − − = − − = − = − = − − − − − = − − − − = = − − − = − − = − n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k k n p p k n k n np p p k n k n np p p k n k n p p k n k n k p p kС 1 1 1 1 1 1 1 . 1 ! ! 1 ! 1 1 ! ! 1 ! 1 1 ! ! 1 ! 1 ! ! ! 1
(25.2) tenglikda 1 −
ni m bilan almashtiramiz. Unda ( ) ( ) (
) ( ) ∑ = − − − − − −
k k n k p p k n k n 1 1 1 ! ! 1 ! 1 yig`indi quyidagi ko`rinishga keladi: ( )
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 1 ! 1 ! ! 1 1 ! ! 1 ! 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 = = − + = − = = − + − − = − − − − − − − = − − − − = − − = − − ∑ ∑ ∑
n n m m n m m n n m m n m n k k n k p p p p C p p m n m n p p k n k n (25.3) (25.2) va (25.3) munosabatlardan ( ) p n p p kС n k k n k k n ⋅ = − ∑ = − 1 1 bo`lishini topamiz. Natijada ( ) np p p kС M n k k n k k n = − = ∑ = − 1 1 ξ
kelib chiqadi. Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan ξ diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
= ξ ga teng bo`ladi. 2. Puasson qonuni bo`yicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning matematik kutilishi topilsin. echish. Bu holda, ma`lumki, ξ tasodifiy miqdor 0, 1, 2, …, n qiymatlarni mos ravishda ... ,
..., , ! 1 , ! 0 0 λ λ λ λ λ λ − − −
n е е n ehtimollar bilan qabul qiladi. Matematik kutilish ta`rifiga ko`ra ...
! ...
! 2 2 ! 1 1 ! 0 0 2 0 + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − − − − λ λ λ λ λ λ λ λ ξ е n n е е е M n
bo`ladi. Uni quyidagicha ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∞ = − − ∞ = − ∞ = − − ⋅ ⋅ = − = ⋅ = 1 1 1 1 ! 1 ! 1 ! k k k k k k k е k е е k k M λ λ λ λ ξ λ λ λ 24 yozib olamiz. Qatorlar nazariyasidan, ma`lumki, ( ) . ! 1 1 1 λ λ е k k k = − ∑ ∞ = −
Natijada ( ) λ λ λ λ ξ λ λ λ = = − = − ∞ = − − ∑
е k е M k k 1 1 ! 1 (25.4) bo`ladi. Endi uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi tushunchasi bilan tanishamiz.
Faraz qilaylik, ξ uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi r(x) bo`lsin. 25.1-ta`rif. Ushbu ( )
∫ +∞ ∞ − =
x xp M ξ (25.5) miqdor ξ uzluksiz tasodifiy miqdorning matemagik kutilishi ξ
Demak, uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi mavjud bo`lishi uchun (25.5) xosmas integral absolyut yaqinlashuvchi bo`lishi kerak.
ξ tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi ifodasini matematik kutilish ifodasi ( )
∫ +∞ ∞ − =
x xp M ξ ga qo`yib, hisoblaymiz: ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 1 1 0 1 0 2 2 2 a b a b a b x a b xdx a b dx x xdx a b dx x dx x xp dx x xp dx x xp dx x xp M b a b a b b a a b b a a + = − − = − = − = ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ = + + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − ξ
Demak, tekis taqsimlangan ξ tasodifiy miqdorning matematik kutilishi: . 2
a M + = ξ
2. Normal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin. echish. Normal qonun bo`yicha taqsimlangan ξ tasodifiy miqdorning ehtimol zichligi ifodasini (6- § ga qarang) matematik kutilish ifodasiga qo`ysak, ∫ +∞ ∞ − −
⋅ =
а x x M σ ϕ σ ξ 1 bo`ladi. Endi bu integralni hisoblaymiz. σ
− = almashtirish bajaramiz. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) . 1 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − + = + + = + = −
⋅ dt t a dt t t dt t a dt t t dt t a t dx а x x ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ ϕ σ σ σ ϕ σ
Demak, ( ) ( )
. ∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ ∞ − + =
t a dt t t M ϕ ϕ σ ξ
Agar 25 ( ) ( ) 0 2 1 2 1 2 1 , 1 2 1 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + − ∞ + − ∞ + − ∞ − − ∞ + ∞ − − ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − − ∞ + ∞ − dt te dt te dt te dt te dt te dt t t dt e dt t t t t t t t π π π ϕ π ϕ
bo`lishini e`tiborga olsak, unda a a M = ⋅ + ⋅ = 1 0 σ ξ bo`lishini topamiz.
Shunday qilib, normal qonun bo`yicha taqsimlangan ξ tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
= ξ bo`ladi.
Xulosa qilib bunday aytish mumkin: tasodifiy miqdorning matematik kutilishi shunday sonni ifodalaydiki, bu son tasodifiy miqdor qiymatlarining o`rta arifmetigi bo`lib, uning atrofida tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari joylashgan bo`ladi.
Endi tasodifiy miqdor matematik kutilishining xossalarini keltiramiz: 1°. Agar S o`zgarmas son bo`lsa, MS = S bo`ladi.
2°.
ξ tasodifiy miqdor, S — o`zgarmas son bo`lsa, u holda ( )
ξ ξ
С M =
3°.
ξ va
η tasodifiy miqdorlar berilgan bo`lsin. Unda
(
η ξ η ξ М M M ± = ± bo`ladi.
4°. Agar a va b o`zgarmas sonlar bo`lsa, u holda ( ) b aM b a M + = + ξ ξ bo`ladi.
5°. Agar ξ va
η o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsa, u xolda ( )
ξ η ξ М M M ⋅ = ⋅ bo`ladi. Endi keltirilgan xossalardan ayrimlarining isbotini keltiramiz:
( ) 2 ξ ξ M M −
ξ
ξ
kabi belgilanadi: [ ] . 2 ξ ξ ξ
M D − = Yuqorida keltirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishining xossalaridan foydalanib, ξ
uchun boshqa ifoda topamiz:
[
( ) ( )
( ) [ ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ M M M M M M M M M M M M M M D − = + − = + + − = + − = − = Demak,
( ) ( )
. 2 2 ξ ξ ξ M M D − = (25.6)
topilsin.
Ma`lumki, bu tasodifiy miqdor 0, 1, 2, …, p qiymatlarni mos ravishda ( )
) ( ) n n n n n n n n n p p С p p С p p С − − − − − − 1 ..., , 1 , 1 1 1 0 0 0 ehtimollar bilan qabul qiladi, uning matematik kutilishi np M = ξ . Yuqoridagi (25.6) formuladan foydalanish maqsadida 2 ξ
ni topamiz. Ta`rifga ko`ra ( ) ∑ = − − =
k k n k k n p p С k M 0 2 2 1 ξ bo`ladi. Bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indini hisoblaymiz: 26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) (
) ( ) [ ] ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (
) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 1 ! 1 1 ! 1 ! 1 ! 2 2 ! 1 ! 2 1 1 ! 1 1 ! 1 ! 1 1 1 ! 1 1 ! 1 ! 1 ! ! ! 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 2 p n p np np np p n q p np q p p n n q p k n k n np q p p k n k n n k np q p k n k n k np q p p k n k n kn q p k n k n k p p С k M n n n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k k n + − = + − = = + + + − = = ⋅ ⋅ − − − − − + + ⋅ ⋅ − − − − − − − = = ⋅ ⋅ − − − − − + − = = ⋅ ⋅ − − − − − = = ⋅ ⋅ − = − = − − = − − − − = − − − − = − − − − = − − − − = − = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ξ
(chunki ( ) ( ) 1 , 1 1 2 = + = + − − n n q p q p ).
Demak, ( ) . 1 2 2 2
n p np M + − = ξ
(25.6) munosabatdan foydalanib topamiz: ( )
( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 2 2 2 2
np np p n p np M M D − = − + − = − = ξ ξ ξ Demak, binomial qonun bilan taqsimlangan ξ
( ) p np D − = 1 ξ
bo`ladi. 11-§. Katta sonlar konuni.. Faraz
etaylik X 1 ,X 2 ,...,X N (1) lar biror a-kiymatga ega bulgan iktisodiy kursatkichni ulchash natijasida paydo bulgan mikdorlar bulsin. Bu kiymatlarning xar biri a va unga kushilgan biror mikdor yigindiga teng buladi. Shu sababli kupincha amalda a -ning kiymati sifatida X N = 1 1 N N × = ∑ α α (2) ni oladilar. Bu erda shunday savollar tugiladi. a= X N - desak buladimi? a- X N ayirma kancha buladi va u kaysi kiymatdan kichik bulishi kerak?
Tekshirishlar natijasi tasodifiy mikdorlar bulganligi sababli. {| X N -a|>
δ } biror xodisa buladi. Agar bu xodisani A bilan belgilasak, ya`ni A={| X
N -a|>
δ } (3) desak, A-ning yuzaga kelish extimoli R(A)- kanchalik kichik, unda R(A)=1-R(A) kanchalik birga yakin bulsa amalda A-ni kam yuzaga keladigan A-ni esa kupincha yuzaga keladigan xodisa desak buladi. Bu xolda δ -ning katta kichikligiga kura a ≈X
(4) deb olsak buladi. Agar tekshirishlar natijasi (1) uzaro boglik bulmagan tasodifiy mikdorlar ketma- ketligini tashkil etsa, N-istalgancha katta son bulsa, istalgan kichik son δ uchun R(A) istalgancha kichik son bular ekan. Ya`ni lim {| | }
N P X a →∞ − = f δ 0 (5) buladi.
27 R(A)=R{|X N -a|>
δ }-ning kichiklik darajasi δ va konkret amaliy xolatga boglikdir. Chebыshev tengsizligi X tasodifiy mikdor. Matematik kutilma a=MX va dispersiya δ 2 =DX ega, a va δ 2
δ >0 istalgancha kichik son bulsin. Teorema. Agar X yukorida keltirilgan shartlarni bajaruvchi tasodifiy mikdor va δ >0 istalgancha kichik son bulsa R{|X-a|>
δ } ≤ ДХ δ 2 (6) buladi.
Isbot. A= R{|X-a|> δ }-belgilaymiz, g(x) - tasodifiy funktsiya kuyidagicha:
1, agar A- xodisa yuzaga kelsa
0, agar A - xodisa yuzaga kelsa. Mg(x)=1 P(A)+0 P(A)=P(A)= R{|X-a|> δ } (7) buladi. f(x)=
( )
− 2
δ ni belgilaymiz va bu funktsiya f(X) ≥0 va f(X) ≥1 A xodisa yuzaga kelsa. Shuning uchun Mg(x) ≤Mf(x)=M[ ( ) ] ( )
M X a DX − = − = 2 2 2 2 2 1 δ δ δ (8) buladi. (7) va (8) lardan: R{|X-a|> δ }= M(g(X)) ≤ Mf(X)= 1 2 δ DX , (6) yuzaga keladi. (6)
- tengsizlikni Chebыshev tengsizligi deyiladi. Chebishev teoremasi. Agar X 1 ,X
,...,X N ,... tasodifiy mikdorlar ketma- ketligi juft- juft uzaro boglik bulmasalar dispersiyalari bir xil son bilan chegaralangan: DX n ≤C n≥1 bulsalar. Unda
lim {| ( )| } N N N P N X M N X →∞ = = ∑ ∑ − > = 1 1 0 1 1 α α α α δ (9) buladi. Isbot. (2) ni eslasak, (9) ifodadagi extimolni kuyidagi kurinishda ezish mumkin. R(|X N
N |> δ ). Bu ifoda Chebishev tengsizligiga asosan 1 2 δ D X N ( ) kichik eki teng buladi. D X D N X N D X N N C C N N N N ( ) ( ) ( ) = = ≤ ⋅ ⋅ =
= = ∑ ∑ 1 1 1 1 2 2 1 α α α α buladi. Ya`ni D X С N N ( ) = (10) Buni biz dispersiyaning xossalaridan foydalanib yuzaga keltirdik. (bular: uzgarmas kupaytuvchini kvadratga kutarib dispersiya belgisidan tashkariga chikarish mumkin va juft -juft uzaro boglik bulmagan tasodifiy mikdorlar yigindisining dispersiyasi dispersiyalar yigindisiga teng degan xossalar) Shunday kilib,
(| | ) (| |) ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 α α α α δ δ δ δ − > = − > ≤ ≤ = = ∑ ∑ (11) buladi (11) da N →∞ limitga utsak (9) yuzaga keladi.
Chebishev teoremasi xam isbot buldi. Bu teoremadan shunday natijaga erishish mumkin. Natija. X biror matematik kutilish M(X)=a, chekli dispersiya D(X)= σ 2
1 ,X 2 ,...,X N , shu tasodifiy mikdor ustida utkazilgan N ta uzaro boglik bulmagan kuzatishlar natijalari bulsa, unda istalgan kichik δ>0 uchun lim (| | ) N N P X a →∞ − < = δ 1 buladi. Bu demak tekshirishlar soni N kancha katta bulsa 1 teng extimol bilan tasdiklash mumkin, X N va M(X)=a farki istalgancha kichik, ya`ni X N ≈a olish mumkin. 28
Bernulli teoremasi. Agar A xodisaning yuzaga kelish extimoli R(A)=r, M A xodisa ustida utkazilgan N uzaro boglik bulmagan tekshirishlar natijasida A ni yuzaga kelish soni bulsa, unda xarkanday δ> 0 uchun: lim (| | )
P M N p →∞ − > = δ 0 buladi. Xinchin teoremasi. Faraz etaylik M(X)=a |a|< ∞, X
n X-ni uzaro boglik bulmagan kuzatishlar natijasida xosil bulgan tasodifiy mikdorlar lim (| | ) N n P Х a →∞ − > = δ 0 buladi. Xarakteristik funktsiyalar xakida tushuncha.
Xarakteristik funktsiyalarning asosiy xossalari. Markaziy limit teorema. Faraz kilaylik, X va U tasodifiy uzgaruvchilar bulsin. Z=X+iY -ni kompleks tasodifiy uzgaruvchi deyiladi, bu erda i-mavxumlik birligi bulib i= − 1 , i
2 =-1 a+ib=Mx+iMy. Z-ning matematik kutilmasi MZ=a+ib buladi. Z 1 va Z 2 kompleks tasodifiy uzgaruvchilarning kupaytmasi Z 1 ⋅
2 =(x
i x 2 -u i u 2 )+i(x
1 x 2 -u 2 u 1 ), agar
Z
= x 1 + i u 1 va Z
2 = x
2 + i u
2 bulsalar.
Matematik kutilishning xakikiy tasodifiy uzgaruvchilar uchun urinli bulgan xossalari kompleks sonli tasodifiy uzgaruvchilar uchun urinli bulib koladi. Masalan Z k (k=1,2,...,n) kompleks sonli tasodifiy uzgaruvchilar bulsa M(Z 1 +Z 2 +...+Z
n )= M(Z
1 )+M(Z
2 )+...+M(Z n ) va M(SZ)=SMZ buladi va undan tashkari: 1.
Agar X 1 ,X 2 ,...,X
n erkli tasodifiy uzgaruvchilar. f 1 ,f
,...,f n - kompleks taosdifiy uzgaruvchilarni ifodalovchi funktsiyalari bulsa, M f 1 (x
),f 2 (x 2 ),,...,f
k (x n ) (1) buladi, agar |M f k (x
)|< ∞ 1≤k≤n urinli bulsa. 2. Agar M|Z|< ∞ bulsa, |MZ|≤ M|Z| (2) buladi. Ta`rif. X xakikiy tasodifiy uzgaruvchi bulsa, uning xarakteristik funktsiyasi deb Z =e itX
(i=
− 1 va -
∞ ϕ x
ϕ x (t)= MZ= M e itX
(3) Masalan 1) agar X- diskret xakikiy tasodifiy uzgaruvchi bulib,
Taksimot konuniga ega bulsa, uning xarakteristik funktsiyasi ϕ x (t)= k n = ∑ 1 e itX R k (4) buladi. 2)
Agar X uzluksiz tasodifiy uzgaruvchi bulib f(x) - ∞
ϕ
x ( )
−∞ ∞ ∫ (5) buladi.
X tasodifiy uzgaruvchining xarakteristik funktsiyasi ϕ x (t), t=0 , ϕ x (0)=1 va | ϕ x (t)| ≤1 barcha - ∞ x
(t) t ning ∞,∞) dagi kiymatlari uchun tekis uzliksiz funktsiya. Agar Z, r-nchi tartibli momentga ega bulsa, ya`ni M|X| r - mavjud bulsa, unda ϕ x (t), r-nchi tartibli xosilaga ega va
ϕ (r)
x (0)=2
r M(X
r ) (6) buladi. Agar X
1 ,X 2 ,...,X n -erkli tasodifiy uzgaruvchilar bulsa unda ϕ х х х n 1 2 + + + ...
(t)= ϕ х 1 (t)
ϕ х 2 (t)
... ϕ
х n (t) (7) buladi. Ya`ni
ϕ x t dt ( )
, < ∞ −∞ ∞ ∫ mavjud va f(x) X ning zichlik funktsiyasi bulsa 29 f(x)= 1 2 2 π ϕ
t dt tx x − −∞ ∞ ∫ ( ) (8) buladi.
12-§. Kup ulchovli tasodifiy mikdorlar Kup xollarda utkazilaetgan tajribaning natijasi bizni kiziktiraetgan tasodifiy eki tasodifiy jaraenning bir nechta xarakteristikasini bir vaktning uzida ulchashdan xosil bulgan sonli sistemadan iborat bulishi mumkin. Bunday tajribalarni kup ulchovli tajribalar deb ataymiz.
Faraz kilaylik ( Ω,Γ,Ρ) extimollik fazosida n -ta ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ n tasodifiy mikdorlar berilgan bulsin. Kuyidagi ξ(w)= (ξ
1 (w),
ξ 2 (w),..., ξ n (w)) tasodifiy mikdorlar sistemasiga n ulchovli tasodifiy mikdor eki tasodifiy vektor deb ataladi.
Agar n ulchovli tasodifiy vektorning barcha mumkin bulgan kiymatlar soxasini Ω ξ ξ ξ
1 2 , ,..., n deb
belgilasak, u xolda uning xar kanday ixtieriy kism tuplami A ⊂Ω ξ ξ ξ 1 2 , ,..., n ning barcha kism tuplamlaridan tashkil topgan tuplam G ξ ξ ξ
1 2 , ,..., n σ-algebra deyiladi va G ξ ξ ξ 1
, ,..., n ataluvchi tushuncha kiritiladi.
Yukorida aytilgan fikrlarni n -ulchovli tasodifiy mikdorlarning eng soddasi bulishi ikki ulchovli ( ξ 1 , ξ 2 ) tasodifiy mikdor uchun eritaylik.
Ωξ ξ 1 2 , - ikki ulchovli tasodifiy vektorning mumkin bulgan kiymatlar soxasi.
G ξ ξ 1 2 , - {
ξ 1
1
∩ξ
2
} kurinishdagi tasodifiy xodisalar Ixtieriy A ⊂Ωξ ξ
1 2 , ,A ∈Γξ ξ
1 2 , uchun uning extimoli deb ataluvchi tushuncha kuyidagicha kiritiladi.
R ξ ξ 1 2 , (A)=R({W( ξ 1
∩ξ 2 (w) ∈A})
Natijada ixtieriy A ∈Gξ ξ 1 2 ,
uchun Kolmogorov aksiomalarini kanoatlantiruvchi manfiy bulmagan R ξ ξ
1 2 , (A) son mos kuyiladi. Xosil bulgan uchlik ( Ωξ ξ
1 2 , ,G ξ ξ
1 2 , ,R ξ ξ
1 2 , ) ikki ulchovli tasodifiy mikdorning extimollik fazosi deyiladi.
Misol. Agar ukka tutilaetgan joyni tekis soxa deb karalsa, snaryadning tushish nuktasi ikki ulchovli tasodifiy mikdorga misol bula oladi. Mikroskop ostida kuzatilaetgan tekis broun xarakatida zarrachaning vaktning belgilangan momentidagi xolati ikki ulchovli tasodifiy mikdordir. Karalaetgan tekislikda koordinatalar sistemasini kiritib, ikki ulchovli tasodifiy mikdorning kiymati bulgan xar bir nuktani ikkita son - uning koordinatalari bilan xarakterlay olamiz. Uz navbatida xar bir koordinata odatdagi (bir ulchovli) tasodifiy mikdor buladi. Shuning uchun ikki ulchovli tasodifiy mikdorni ikkita bir ulchovli tasodifiy mikdor sistemasi deb karash mumkin.
Ikki ulchovli tasodifiy mikdorning taksimot funktsiyasi va uning xossalari Ta`rif. Ikki ulchovli tasodifiy mikdor ( ξ,η) ning taksimot funktsiyasi kuyidagi (ξ xodisaning sodir bulish extimoliga aytiladi, ya`ni F(x,y)=P{( ξ
Geometrik nuktai nazardan ikki ulchovli tasodifiy mikdorning taksimot funktsiyasi tasodifiy ξ,η) nuktaning uchining koordinatalari (x,u) bulgan kvadratining chapi va pastida etish extimoliga aytiladi.
F(x,y) funktsiya kuyidagi xossalarga ega: 1. 0 ≤F(x,y)≤1 x,y∈Ω ξ,η 2.
F(x,y) taksimot funktsiya xar bir argumenti buyicha kamaymaydigan funktsiya, ya`ni x 2 >x 1 uchun F(x 2 ,y)
≥ F(x 1 ,y) u 2 >u 1 uchun F(x,y 2 )
1 ) F( −∞,y)=limF(x,y)=0; F(x,−∞)=limF(x,y)=0
F( −∞,−∞)=limF(x,y)=0; F(+∞,+∞)=limF(x,y)=1 Agar F(x,u) funktsiyaning argumentlaridan biri + ∞ ga intilsa, u xolda F(⋅⋅) funktsiya ikkiligi argumentga tegishli tasodifiy mikdorning taksimot funktsiyasiga aylanadi: 30 limF(x,y)= F(+ ∞,y)=F
2 (y);
limF(x,y)= F(x,+
∞)=F 1 (x); F 1 (x) va F 2 (y) lar mos ravishda ξ va η tasodifiy mikdorlarning taksimot funktsiyalari 5.
F(x,y) funktsiya xar bir argumenti buyicha chapdan uzluksiz Natija. ( ξ,η) tasodifiy nuktaning AVSD tugri turtburchakka tushish extimoli kuyidagicha: R{(x
1 ≤ξ 2 ) ∩(y 1 ≤η 2 )}=F(x
2 ,y 2 )- -F(x 1 ,y 2 )- F(x
2 ,y 1 )+ F(x 1 ,y 1 ) Chekli sondagi eki cheksiz ketma- ketlik xosil kiluvchi xar xil kiymatlar kabul kiluvchi ikki ulchovli tasodifiy mikdor diskret tasodifiy mikdor deyiladi. Ikki ulchovli diskret tasodifiy mikdorni tula xarakterlash uchun mumkin bulgan kiymatlar tuplamini va xar bir kiymatning extimolini (taksimot konunini) kursatish kifoya. Ta`rif. Ikki ulchovli diskret tasodifiy mikdor ( ξ,η) ning taksimot konuni deb shu tasodifiy mikdorning kabul kilishi mumkin bulgan barcha kiymatlari (x i ,u
) bilan, xar bir kiymatni k0abul kilish extimollari R(x i
i )=R{(
ξ=x i ) ∩(η=y j )}=p ij ni berilishiga aytiladi. Taksimot konuni kuyidagicha:
ξ η x 1
X 2 ...
x i ... x n
∑
u 1 P(x 1 ,y 1 ) P(x 2 ,y 1 ) ... P(x i ,y
) ... P(x n ,y 1 ) P(y
1 ) u 2 P(x
1 ,y 2 ) P(x 2 ,y 2 ) ... P(x i ,y
) ... P(x n ,y 2 ) P(y
2 ) ... ... ... ... ... ...
... ... u j P(x 1 ,y j ) P(x
2 ,y j ) ... P(x
i ,y j ) ... P(x n ,y j ) P(y
j ) ... ... ... ... ... ...
... ... y m P(x 1 ,y m ) P(x
2 ,y m ) ... P(x i ,y m ) ... P(x n ,y
) P(y m ) ... P(x 1 ) P(x 2 ) ...
P(x i ) ... P(x n ) 1 jadval erdamida tasvirlash mumkin. Bu erda gorizontal buylab ikki ulchovli tasodifiy mikdorning abstsissalari kabul kilish mumkin bulgan kiymatlar vertikal buylab esa ordinatalarining kiymatlari ezilgan. Jadvalning kataklariga ikki ulchovli tasodifiy mikdorning tekislikning berilgan nuktasiga tushishiga mos tegishli extimoli ezilgan. Agar ikki ulchovli tasodifiy mikdor ( ξ,η) ni yukorida kursatilganidek ikkita bir ulchovli ξ,η tasodifiy mikdorlar tuplami deb karasak, u xolda R(x i ,u
) extimol ( ξ= x i
η=u j ) xodisalarning birgalikda yuz berish extimolidir. Jadvaldan kurinib turibdiki, R(x i ,u j ) extimollar jadvaliga ega bulgan xolda ξ tasodifiy mikdorning η tasodifiy mikdor kanday kiymat kabul kilishdan kat`i nazar x i kiymatini kabul kilish extimolini topish mumkin. R(x
i )=P(
ξ= x i )=P(x i ,y 1 )+P(x i ,y 2 )+...+P(x i ,y
)+...+= P x y i j j ( ,
) ∑ =P i
Shunday kilib P( ξ= x i ) ni topish uchun jadvalning i-ustunidagi P(x i ,y j ) extimollarni kushish lozim ekan. Xuddi shu yul bilan η tasodifiy mikdorning u i kiymatni kabul kilish ( η=u j ) xodisasini extimolini j-satrdagi extimollarni kushish bilan xosil kilinadi. R(u
i )=P(
η= u j )= P x y i j i ( ,
) ∑ =P i 14-§. Matemtik statistikaning asosiy masalalari Biz mazkur kitobning XXIII — XXV boblarida tasodifiy hodisa, tasodifiy hodisaning ehtimoli, tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari, tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni, taqsimot funktsiyasi hamda ehtimol zichligi (differentsial funktsiyasi) kabi tushunchalar bilan tanishdik, Bu tushunchalar asosida amaliyotda uchraydigan xayotiy masalalarni echishni o`rgandik. Ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri tasodifiy miqdor va uning taqsimot funktsiyasi tushunchalaridir. Bizga ma`lumki, tasodifiy miqdorlar o`zlarining taqsimot funktsiyasi bilan to`la aniqlanadi. Tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasini bilgan holda biz u miqdor bilan 31 bog`langan jarayonni to`la o`rganish imkoniyatiga ega bo`lamiz. Ammo amaliyotda bizni qiziqtirayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi noma`lum yoki taqsimot funktsiyaning ko`rinishi ma`lum, uning parametrlari noma`lum bo`ladi. Bunday hollarda tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasini yoki uning ayrim sonli xarakteristikalarini (taqriban) baholash zaruriyati tug`iladi. Bu kabi masalalarni oliy matematikaning bo`limlaridan biri—matematik statistika fani tajriba (kuzatish) yordamida tahlil qilish yo`li bilan o`rganadi. Umumiy qilib aytganda, matematik statistikada statistik ma`lumotlar va bu ma`lumotlarni tahlil qilish bilan ilmiy va amaliy xulosalar chiqarishning matematik usullari o`rganiladi. Shunday kilib, matematik statistika quyidagi ikki asosiy vazifani hal qiladi: 1. Barcha statistik ma`lumotlarni to`plash, lozim bo`lsa, guruhlash. 2. To`plangan ma`lumotlarni maqsadga muvofiq qilib tahlil qilish. 15-§. Tanlanma usul Aytaylik, biror korxona katta sonda mahsulot ishlab chiqargan bo`lib, bu mahsulotni sifat yoki son belgilari bo`yicha tekshirilishi talab etilsin. Ishlab chiqarilgan mahsulotning soni juda ko`p, binobarin, ularning har birini aytilgan belgi bo`yicha tekshirish qiyin bo`ladi. Bunday holda quyidagicha ish tutiladi: barcha mahsulotlardan tavakkal qilib ma`lum sondagisi olinadi, ularni tekshirib, korxonaning barcha mahsulotlari to`g`risida xulosa chiqariladi. Tekshirishning bunday usuli tanlanma usul deyiladi. Quyida bu usulni batafsilroq o`rganamiz. O`rganilishi lozim bo`lgan barcha ob`ektlar to`plami bosh to`plam deb ataladi. Bosh to`plamdan tasodifiy ravishda tanlab olingan ob`ektlar to`plami tanlanma to`plam yoki, kisqacha, tanlanma deb ataladi. Bunday to`plamdagi ob`ektlar soni shu to`plamning hajmi deb ataladi. Bosh to`plamning hajmi N, tanlanma to`plamning hajmi p bilan belgilanadi. Masalan, korxonada ishlab chikarilgan 10000 mahsulotdan 100 tasi tekshirish uchun olingan bo`lsa, u holda bosh to`plamning hajmi N = 10000, tanlanma to`plamning hajmi esa
Bosh to`plamday tekshirish uchun tavakkaliga bitta element, keyin ikkinchi element ajratib olinadi va shu jarayonni davom ettirib, so`ng ajratib olingan elementlardan tanlanma tuziladi. Agar tanlanma elementlarini bosh to`plamga qaytarmasdan, uning elementlari bosh to`plamdan ajratilsa, bunday tanlanma takrormas tanlanma deb ataladi. Agar tanlanmaning elementlari (bosh to`plamdan tanlangan elementni yana) bosh to`plamga qaytarish yo`li bilan ajratilsa, bunday tanlanma takror tanlanma deb ataladi. Modomiki, masala bosh to`plam elementlarining son yoki sifat belgisi to`g`risida kerakli ma`lumotlarni bilishdan iborat ekan, undan o`rganish uchun ajratilgan tanlanma (uning elementlari) vakolatli bo`lishi lozim. Ya`ni tanlanma to`plam bosh to`plamdan shunday ajratilishi lozimki, natijada ajratilgan tanlanma to`plam bosh to`plamni to`la xarakterlaydigan, boshkacha aytganda bosh tuplamning muhim xususiyatlarini o`zida saqlagan bo`lishi kerak. Buni odatda tanlanmaning reprezentativligi deyiladi. Statistik taqsimotning grafigini bilish uning xarakterini yaqqolroq tasavvur etishda qo`l keladi. Biz quyida taqsimot grafigini yasash usullaridan poligon va gistogrammani yasashni keltiramiz. Hajmi p bo`lg`ap tanlanma statistik taqsimot bilan berilgan bo`lsin:
x 1
2
… x k
p 1
2
… p k
W 1
2
… W k
bu erda x i — variantalar, p i — mos chastotalar; W i — mos nisbiy chastotalar, k i , 1 = .
1 , p 1 ), (x 2 , p 2 ), …, (x k , p k ) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq tekislikda chactotalar poligoni deb ataladi. (x 1 , W 1 ), (x 2 , W 2 ), …, (x k , W k ) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq nisbiy chastotalar poligoni deb ataladi. 32 Bu chiziqlarning grafiklarini yasash uchun variantalar qiymatlari abstsissalar o`qiga, chastotalar qiymatlari ordinatalar o`qiga ko`yiladi. Statistik taqsimotning gistogrammasini yasash uchun avval barcha kuzatilgan qiymatlarni uzunligi h bo`lgan ketma-ket qismiy intervallarga (guruhlarga) bo`linadi va har bir intervalga tushgan variantalarning chastotalari topiladi. Asoslari h uzunlikdagi intervallar, balandliklari
nisbatga teng bo`lgan to`g`ri to`rtburchaklardan iborat pog`onaviy figura chastotolar gistogrammasi deb ataladi. Bu erda
nisbat chastota zichligi deyiladi. Asoslari h uzunlikdagi intervallar, balandliklari h W i nisbatga teng bo`lgan to`g`ri to`rtburchaklardan iborat pog`onaviy figura nisbiy chastotalar gistogrammasi deb aytiladi. Chastotalar gistogrammasiniig yuzi tanlanma hajmi p ga, nisbiy chastotalar gistogrammasining yuzi esa birga teng bo`ladi.
Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo`yicha chastotalar poligoiini yasang: 1)
2)
1) abstsissalar o`qida 2, 3, 5, 6 sonlarini, ordinatalar o`qida esa ularga mos 10, 15, 5, 20 sonlarini belgilaymiz, ya`ni koordinatalari (2; 10), (3; 15), (5; 5), (6; 20) bo`lgan nuqtalarni yasab, ularni siniq chiziqlar bilan tutashtiramiz (149-chizmaga karang). 2) Yuqoridagi misol kabi echiladi. 2-misol. Jo`xori donidan 100 dona olindi va ularning har birini tortib ko`rib, quyidagi statistik taqsimot olindi:
Jo`xori og`irliklari 0,1 - 0,3 0,3 - 0,5 0,5 – 0,7 0,7 – 0,9 Jo`xorilar soni 18 52
18 12
Shu taqsimotning gistogrammasini tuzing. echish. Intervallar uzunligi h=0,2 ga teng bo`lgani uchun to`g`ri to`rtburchak balandliklarining nisbati mos ravishda quyidagicha bo`ladi: . 60 ; 260
; 90 2 , 0 18 3 2 1 = = = = h n h n n n
Intervallarni abstsissalar o`qida, balandliklarini ordinatalar o`qida qo`yib pog`onaviy to`g`ri to`rtburchaklar hosil qilamiz (150-chizmaga qarang). 3-misol. Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo`yicha nisbiy chastotalar gistogrammasini yasang. Bu erda p = 20.
Intervallar Chastotalar yig`indisi x i
2 3 5 6 p i
10 15 5 20 x i
12 17 22
16 30
34 38
p i
2 5 9 12 8 8 4 33 10—15 15—20 20—25
25—30 30-35
2 4
8 4
2
Nisbiy chastotalarni topamiz: 1 , 0 ; 2 , 0 ; 4 , 0 ; 2 , 0 20 4 ; 1 , 0 20 2 5 4 3 2 1 = = = = = = = W W W W W . Nisbiy chastotalar zichligini topamiz: . 02
0 ; 04 , 0 ; 08 , 0 ; 04 , 0 ; 02 , 0 5 1 , 0 5 4 3 2 1 = = = = = =
W h W h W h W h W
Abstsissalar o`qida berilgan qismiy intervallarni belgilaymiz. Nisbiy chastotalar zichliklarini ordinatalar o`qida belgilaymiz va har bir interval ustida kesmalar o`tkazamiz, masalan, (10, 15) interval ustida abstsissalar o`qiga parallel va undan 0,02 masofada yotadigan kesma o`tkazamiz va hokazo .
16- Download 1.11 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|