O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

§.  Statistik baholar 

Yuqorida aytib o`tganimizdek, matematik statistikaning asosiy masalasi bosh to`plamni 

o`rganish, ya`ni uning belgisi taqsimot qonunini topishdir. 

Aytaylik, biror yo`l bilan bunday taqsimot qonuni topilgan bo`lsin (masalan, u binomial 

qonuni yoki Puasson qonuni yoki normal qonun bo`lsin). U holda uning noma`lum 

parametrlarining statistik baholarini ko`rish masalasi yuzaga keladi. (Masalan, normal qonun 

bo`lganda a va 

σ

 ni, Puasson qonuni bo`lganda 

λ

 ni aniqlash). Va aksincha, parametrlar ma`lum 

bo`lsa uning taqsimot qonunini aniqlash lozim. Umumiy holda bu ikkala vazifa ham noma`lum 

bo`lishi mumkin. 

Umuman taqsimot qonunining noma`lum parametrlarini yoki empirik taqsimot qonunini 

kuzatishlar natijasidan, ya`ni bosh to`plamdan ajratilgan tanlanmadan foydalanib topish lozim 

bo`ladi. Noma`lum parametrlarni aniqlashda turli xatoliklarga (statistik xatolarga) duch kelamiz. 

Avvalo shuni aytish kerakki, bosh to`plamdan olingan turli tanlanmalar bo`yicha topilgan 

parametrlarning qiymatlari umuman aytganda, turlicha bo`ladi. 

Odatda bosh to`plamdan tanlanma to`plam elementlarini tasodifiy tanlash usuli bilan 

ajratma hosil bo`lgan tanlanma to`plamda reprezentativlik yaxshi saqlanadi. 

Ma`lumki, tanlanma to`plam bosh to`plamning biror qismi. Binobarin, tanlanma to`plam 

to`g`risidagi fikrlar bosh to`plamni to`liq xarakterlamasa, bu hol statistik xatoga olib keladi. 

Ravshanki, tanlanma to`plamdagi kuzatishlar soni ham bosh to`plamni xarakterlashga 

bog`liq. Tanlanma to`plamning tashkil etgan elementlar soni qancha ko`p bo`lsa, statistik xato 

shuncha kam bo`ladi. 

Demak, tanlanmadan foydalanib taqsimot qonunining parametrlarini shunday aniqlash 

lozimki, bunda statistik xatolar imkon boricha kam bo`lsin. 

Biror taqsimot qonunining parametri 

θ

 ni tajriba asosida topilgan x

1

,  x

2

, …, x

p

  sonlar, 

ya`ni tanlanma ma`lumotlar yordamida hosil qilingan 

θ

 bilan baholansin. Odatda 

θ

 ni 

θ

 uchun 

baho deyiladi. 

Ravshanki, bunda 

θ

   baho  x

1

, x

2

, …, x

p  

larga bog`liq bo`ladi: 

(

)

n

х

х

х

...,

,

,

2

1

θ

θ

=

. 

Modomiki,  x

1

,  x

2

, …, x

p

  lar tasodifiy miqdor ekan, unda 

θ

 ham tasodifiy miqdor 

bo`ladi. 

Agar 

θ

 bahoning matematik kutilishi 

θ

 ga teng, ya`ni M

θ

 = 

θ

 bo`lsa, 

θ

 ni siljimaydigan 

baho deyiladi. 

Agar 

∀a > 0 uchun 

 

34

{

}

0

lim

=

>

−

∞

→

a

P

n

θ

θ

 

bo`lsa, u  holda 

θ

 baho 

θ

 ning asosli bahosi deyiladi. 

Faraz qilaylik, 

θ

 parametr uchun 

1

θ

 va 

2

θ

 baholar  bo`lsin.  

Agar 

(

)

(

)

2

2

2

1

θ

θ

θ

θ

−

<

−

М

М

 

bo`lsa,  

1

θ

 baho 

2

θ

 bahoga qaraganda effektivroq baho deyiladi. 

Statistik taqsimot qonunlarining parametrlarini baholashda ularning siljimaydigan, asosli hamda effektiv baho bo`lishi 

kabi xususiyatlarga egaligi talab qilinadi. 

 

 

17- §.  Statistik gipotezalar 

x

1

,x

2

,...,x

n

 - noma`lum F(x) taksimot funktsiyasining tanlanmasi bulsin. Faraz kilaylik, 

kuyidagi gipotezani tekshirish kerak: 

 

 

N

0

:  F(x)=F

0

(x)                               (1) 

bu erda F

0

(x)-berilgan uzluksiz eki diskret taksimot funktsiyasidir. Ushbu (1)-chi gipotezani 

tekshirish masalasi muvofiklikni tekshirish masalasi deb ataladi. (1)-chi uchun xar kanday kriteriy 

muvofiklik kriteriysi deb ataladi. 

Muvofiklik gipotezalari oddiy va murakkab gipotezalarga bulinadi. Agar F

0

(x) tulik 

aniklangan bulsa, (1) -gipoteza oddiy gipoteza buladi. Masalan, tanlanma urta kiymati va dispersiyasi 

berilgan normal taksimot buyicha tanlangan degan gipoteza oddiy gipotezadir. Boshka tarafdan, agar 

tanlanmaning parametrlari noma`lum bulgan normal taksimotdan ekanligini tekshirish kerak bulsa, 

bunday gipoteza murakkab gipoteza buladi. 

1. 

 

Oddiy gipoteza uchun  

χ

2

 muvofiklik kriteriysi. 

(1)-oddiy gipotezani kuramiz. R- son ukini shunday z

1,

z

2

,..., z

k

 

a) 

z

i

 z

J

=

∅, i≠j 

b) 

z

1

+z

2

+...+z

k

=R 

k intervalga bulamiz. Shunda F

0

(x) funktsiyasi ma`lum bulganligidan tanlanma elementlarining 

bu intervallarga moslik extimolini xisoblashimiz mumkin. Bularni p

i

 (i=1,k) bilan, bu intervallarga 

mos elementlarni n

i

 (i=1,k) bilan belgilaymiz. 

K. Pirson (1900) n

→∞ da 

 

 

X

2

=

(

)

n

nП

nП

i

i

i

k

−

=

∑

2

1

                       (2) 

statistikasi erkinlik darajasi k-1 bulgan 

χ

2

  taksimoti deb olganda xosil buladigan yakinlashish farkini 

tekshirgan va np

i

 uzaro yakin eki teng bulgan xolda bu fark juda kichik bulishini kursatgan. 

χ

2

 kriteriysining kullanish koidasi kuyidagicha: 

χ

2

 statistika kiymatini (2) formula buyicha 

xisoblab va muximlik darajasi 

α ni tanlab χ

2

 -taksimoti jadvalidan 

χ

2

k-1;

α  

ning kritik kiymati 

aniklanadi. 

Agar 

χ

2

 >

χ

2

k-1;

α  

bulsa, u xolda N

0

 gipotezasi kabul kilinmaydi, agar 

χ

2

≤χ

2

k-1;

α 

bulsa, u xolda N

0

 

gipotezasi kabul kilinadi. Bunday gipoteza kabul kilinganda, ravshanki, fakat birinchi tur xato 

tekshiriladi. 

2. 

 

Murakkab gipoteza uchun 

χ

2

 muvofiklik kriteriysi. 

N

0

: F(x)=F

0

(x;

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

)                                 (3)

 

murakkab gipotezasini kurib chikamiz, ya`ni F

0

(x) funktsiyasining funktsional kurinishi ma`lum, lekin 

ba`zi bir (eki xamma) parametrlari noma`lum. Oddiy gipotezadan farki shundaki, nazariy P

i 

extimollari 

bevosita xisoblash imkoniyati yuk, chunki ular noma`lum S(

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 larga boglik. 

Shunday kilib, ularni p

i

(

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

) kurinishda ezishimiz shart. Noma`lum 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 parametrlarni 

ularning 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s 

baxo kiymatlari bilan almashtiramiz. U xolda (2)- statistika kuyidagi kurinishga 

keladi: 

 

 

X

2

=

(

( , ,..., ))

( , ,..., )

n

nП

nП

i

i

s

i

s

i

k

−

=

∑

θ θ

θ

θ θ

θ

1

2

2

1

2

1

                       (4) 

 

35

Tushunarliki, 

χ

2

 taksimoti xakidagi masala xam uzgaradi, chunki p

i

(

θ θ

θ

1

2

, ,..., )

s

lar uz navbatida 

tasodifiy  kiymatlar bulib, (4) statistikaning asimptotik taksimoti oddiy N

0

 gipoteza bilan bir xil 

kurinishga ega ekanligi uz-uzidan oshkor emas. 

 

R.Fisher (1928) n

→∞ da χ

2

 statistikasi (4) agar 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 noma`lum parametrlarning 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 baxo kiymatlari 

χ

2

 minimum usuli bilan olingan bulsa, eki 

χ

2

 minimum modifikatsiyasi 

erdamida gruppalangan tanlanmalar buyicha aniklangan bulsa, k-s-1 erkinlik darajasiga ega bulgan 

χ

2

- 

taksimotga ega ekanligini isbotlagan. 

Shu bilan birga Fisher agar 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 kiymatlar ixtieriy usul bilan aniklangan bulsa, u xolda  

R{

χ

2

k-s-1

≥x}≥

lim {

}

{

}

n

k s

P

x

P

x

→∞

− −

≤

≥

≤

χ

χ

2

1

2

    (5) 

ekanligini kursatgan. 

 

α  muximlik darajasining ma`lum bir kiymati uchun  

χ

χ

α

α

2

1

2

1

k s

k

− −

−

≤

;

;

urinli bulganligidan, 

χ

2

 kriteriysining kullanishi kuyidagicha buladi. (4) formula 

buyicha  

χ

2 

statistik kiymatini xisoblab, bu erda 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 kiymatlar biror usul bilan xisoblangan va 

α 

muximlik darajasini tanlab olingandan keyin, 

χ

2

 taksimot jadvalidan 

χ

2

k-1;

α

 va  

χ

2

k-s-1;

α

 lar aniklanadi. 

 Agar 

 

χ

χ

α

2

2

1

≤

−

k ;

bulsa, N

0

 gipoteza kabul kilinmaydi. Agar 

χ

χ

α

2

2

1

≤

− −

k s ;

bulsa, N

0

 

gipoteza kabul kilinadi.  

Agar 

χ

χ

α

α

2

1

2

1

k

k s

−

− −

≥ × >

;

;

 bulsa, u xolda  

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 kiymatlarni aniklash uchun 

χ

2

 

minimum usuli eki 

χ

2

 minimum usuli modifikatsiyasi kullaniladi. Bu xolda n

→∞ da χ

2

 statistika k-s-1 

erkinlik darajasiga ega bulgan 

χ

2 

taksimotiga egadir. Shu sababdan, agar 

χ

χ

α

2

2

1

f

k s

− − ;

bulsa, N

0

 

gipoteza kabul kilinmaydi. Aksincha, agar 

χ

χ

α

2

2

1

≤

− −

k s ;

 bulsa, N

0

 gipoteza kabul kilinadi. 

3. 

 

χ

2

 kriteriysi uchun interval tanlash. 

 

Shungacha kurilgan  

χ

2

 kriteriysining asimptotik nazariyasi tanlanma elementlarini gruppalash 

tanlanma elementlariga boglik bulmagan xolda aniklanadigan intervallarni itieriy ravishda aniklashda 

urinlidir. Bu shart intervallar chegarasi tasodifiy kiymatlar ekanligi nazarda tutilmagan xollarda 

mavjuddir. Odatda amaliet intervallarga bulish chegaralarini aniklash, ba`zida berilgan tanlanmaning 

umumiy kurinishini aniklashdan iboratdir. Biz intervallarga bulish usullarini muloxaza kilib undan 

keyin asimptotik nazariyaga ta`sirini kurib chikishimiz kerak. Oldin intervallar chegarasini aniklashni 

kurib chikamiz. Amalda bu masalaning echimi arifmetik kulaylikka boglik: intervallar uzunliklarda 

olinadi, chetkilardan tashkari. 

 

Interval uzunligi takriban taksimot dispersiyasi bilan aniklanadi, shunda taksimot xolati 

markaziy intervalning kaerda bulishini aniklashda erdam beradi. Masalan, biz tanlanma elementlari 

uchun 6 ta interval tuzishimiz kerak bulganda edi, normal taksimot buyicha tekshirilaetganda, x 

takribiy kiymati va S

2

 tanlanma dispersiyasini aniklab, x+S

i

, i=0,1,2 intervallarning chegaralari sifatida 

kabul kilardik. U xolda kuyidagi intervallar xosil bulardi: 

 ]-

∞;x-2S], ]x-2S;x-S],]x-S;x],]x-x+S],]x+S;x+2S],]x+2S;+∞[ 

 

Bu tadbir unchalik anik bulmasada, uning erdamida intervallar chegaralarini tasodifiy kiymatlar 

xoliga keltirish mumkin. Shu bilan birgalikda, xuddi shu usul bilan aniklangan intervallar uchun 

xisoblangan  

χ

2

 statistika shunday asimptotik taksimotga ega ekanligini oldindan bilishning iloji yuk, 

xattoki, intervallar oldindan uzgarmas kilib olinganda xam. Uzliksiz taksimotning umumiy xoli uchun 

kurilgan asimptotik nazariya intervallar chegarasi tanlanma buyicha aniklanganda xam urinli 

ekanligini Vatson (1959) kursatib bergan. 

 Shunday 

kilib, 

χ

2

 statistikaning N

0 

gipoteza buyicha asimptotik taksimoti kurilganda intervallar 

chegaralarining tasodifiyligini xisobga olmasak xam buladi. 

4. 

 

Intervallarni kurishni teng extimollik usuli. 

Biz chegaralarni aniklashning optimal usulini kriteriy kuvvati atamalarida aniklashimiz kerak, 

ular berilgan muximlik darajasi uchun kriteriyga maksimum kuvvat beradigan bulsin. 

G. Mann va A. Val`d (1942) shunday taklif kilgan edilar: berilgan K uchun intervallarni 

shunday tanlash kerakki, xamma P

i

 nazariy extimollar 

1

к

  ga teng bulsin. Bu anik va bir kiymatli 

 

36

protseduradir. U odatdagi usuldan (teng uzunlikdagi intervallar) shunisi bilan fark kiladiki, P

i

 larning 

bir xil bulishi uchun jadvallardan foydalanishga tugri keladi. Buni anik amalga oshirish uchun berilgan 

ma`lumotlar gruppalanmagan bulishi kerak. 

Misol. Kuyidagicha tanlanma berilgan: 

 

0,01  0,I  0,17 0,18 0,22 0,22 0,25 0,25 0,29 0,42 

0,46 0,47 0,47 0,56 0,59 0,67 0,68 0,70 0,72 0,76 

0,78 0,83 0,85 0,87 0,93 0,IV 1,00 0,01 0,01 1,02 

1,03 1,32 1,34 1,37 1,47 1,50 1,52 1,05 1,54 1,59 

1,71 1,90 2,10 2,35 2,46 2,46 2,50 3,73 4,07 6,03 

 

N

0

: dF(x)=e

-x

dx, 0

≤x<∞ 

 

nolinchi gipotezani tekshiramiz. 

χ

2

 uchun biz turtta sinf tashkil etishimiz kerak, deylik. Bir xil uzunlikdagi intervallarga 

gruppalash kuyidagicha bular edi. 

 

Z

i

 

n

i

 NP

i

 

]0;0.50] 14 19.7 

]0.50;1.00] 13  11.9 

]1.00;1.50] 10  7.2 

]1.50;+

∞[ 

13 11.2 

P

i

 ning kiymatlari darajali taksimot jadvalidan olingan. (2)- formuladan  

χ

2

=3,1 ni aniklaymiz. 

Erkinlik darajasi 3 ga teng  

χ

2 

taksimot jadvalidan xulosa chikaramizki, muximlik darajasi 

α=0,37 dan 

kichik xar kanday kriteriy nolinchi gipotezani rad kila olmaydi. 

Endi teng extimollik usuli kullanilganda berilganlarni ishlash tartibini kurib chikamiz. K=4 

bulganligi uchun bu extimollar 0,250 ga teng. Darajali taksimot jadvali bu xolda intervallar chegarasi 

uchun 0,228, 0,693, 1,386sonlarni beradi. 

 

Biz kuyidagi jadvalni tuzamiz: 

 

Z

i

 

n

i

 nP

i

 

]0;0.28] 9  12.5 

]0.28;0,69] 9 

12,5 

]0,69;1.38] 17 

12,5 

]1.38;+

∞[ 

15 12,5 

 

Bunda  

χ

2 

statistikani xisoblash oson, chunki (2) kuyidagi kurinishga keltiriladi: 

 

 

χ

2

=

k

n

n

n

i

i

k

2

1

−

=

∑

                 (*) 

ya`ni P

i

=-

1

к

 (i=1,k) bulganligidan  

χ

2

=3,9 ekanligini aniklaymiz. 

χ

2

ning bu kiymatida agar 

muximlik darajasi 

α=0,27 dan ortmasa, N

0

 gipoteza rad kilinmaydi. Bu kanoatli natijadir, ammo teng 

extimollik kriteriysi birinchi kriteriyga nisbatan talabchandir. 

 

18-§. Statistik nisbotlar 

Matematikada va texnikada funktsional bog`lanish tushunchasini ko`p uchratish mumkin. Masalan, 

doira yuzi radiusiga  bog`liq 

(

)

2

R

S

π

=

, gaz bosimi hajm va temperaturasiga  bog`liq  (

v

t

R

p

⋅

=

, r 

— gaz bosimi, t — temperatura, V — hajm, R — o`zgarmas koeffitsient) va hokazo. Funktsional bog`lanish 

tasodifiy miqdorlar orasida ham bo`lishi mumkin.

 

Statistik bog`lanshi deb shunday bog`lanishga aytiladiki, unda miqdorlardan birining o`zgarishi 

ikkinchisi taqsimotining o`zgarishiga olib keladi. Xususan, statistik bog`liqlik miqdorlardan birining 

 

37

o`zgarishi ikkinchisining o`rtacha qiymatini o`zgarishida ko`rinadi; bu holda statistik bog`lanish 

korrelyatsion bog`lanish deb ataladi.

 

Masalan, maydoni bir xil bo`lgan er uchastkalariga bir xil miqdorda o`g`it solinsa ham har xil 

hosil olinadi. Lekin o`rtacha hosildorlik solingan o`g`it miqdoriga bog`liq bo`ladi. Bu erda hosildorlikning 

o`rtacha qiymati bilan o`g`it miqdori orasida korrelyatsion bog`lanish mavjud deb karash mumkin.

 

X va Ү belgilar berilgan bo`lsin.

 

Shartli o`rtacha qiymat 

x

y

 deb Ү ning X = x qiymatga mos qiymatlarining o`rtacha arifmetik 

qiymatiga aytiladi.

 

Ү ning X ga korrelyatsion bog`liqligi deb, 

x

y

 shartli o`rtacha qiymatning x ga funktsional 

bog`liqligiga aytiladi:

 

( )

x

f

y

x

=

.                                                            (27.1) 

(27.1) tenglama Ү ning X ga regressiya tenglamasi  deyiladi;

 

( )

x

f

 funktsiya Ү ning X ga regressiyasi, uning grafigi esa Ү ning X ga regressiya chizig`i 

deyiladi.

 

Ushbu

 

( )

y

x

y

ϕ

=

                                                       (27.2) 

tenglama X ning Ү ga regressiya tenglamasi deyiladi. 

Korrelyatsion bog`liqlik ikki xil bo`ladi: chiziqli va egri chiziqli. 

Korrelyatsion bog`liqlik chiziqli bo`lganda regressiya tenglamasi 

b

ax

y

x

+

=

.                                                         (27.3) 

ko`rinishda bo`ladi. 

Bu tenglamadagi 

a

 tanlanmaning regressiya koeffitsienti deyiladi. 

(26.3) dagi 

a

 va b ni eng kichik kvadratlar usuli yordamida quyidagi normal 

tenglamalar sistemasidan  topamiz: 













=

+

=

+

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

y

x

a

bn

y

x

x

a

x

b

1

1

1

1

2

1

                                         (27.4) 

Ү ning X ga regressiya to`g`ri chizig`ining tanlanma tenglamasi 

( )

x

x

r

y

y

x

y

T

x

−

=

−

σ

σ

                                                  (27.3) 

ko`rinishda bo`ladi, bu erda 

x

y

 

— shartli o`rtacha qiymat, 

x

 va 

y

 tekshirilayotgan X va Ү 

belgilarning tanlanma o`rtacha qiymatlari; 

y

x

σ

σ

,

 — tanlanma o`rtacha kvadratik 

chetlanishlari, 

T

r

 — tanlanma korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi formula orqali  topiladi: 

y

x

xy

T

n

nXY

XY

n

r

σ

σ

∑

−

=

.                                           (27.6) 

Chiziqli korrelyatsion bog`lanish zichligini baholash uchun ana shu tanlanma 

korrelyatsiya koeffitsienti 

T

r

 xizmat kiladi; 

T

r

 birga qancha yaqin bo`lsa, bog`lanish shuncha 

kuchli   bo`ladi. 

Hisoblashlarni soddalashtirish uchun hisoblash jadvalini tuzish qulay. Agar X va Ү belgilar 

ustida kuzatish ma`lumotlari teng uzoqlikdagi variantali korrelyatsion jadvali ko`rinishida 

berilgan bo`lsa, u holda quyidagi shartli variantalarni  kiritamiz: 

1

1

h

c

x

u

i

i

−

=

,        

2

2

h

c

y

v

i

i

−

=

, 

 

38

bu erda 

2

1

,

c

c

 - mos ravishda «soxta» nollar, 

2

1

,

h

h

 - mos ravishda qadamlar. 

Shartli variantalar orqali tanlanma korrelyatsiya koeffitsienti quyidagicha topiladi: 

v

u

uv

T

n

v

u

n

uv

n

r

σ

σ

∑

−

=

,                                           (27.7) 

bu erdagi 

∑

⋅ v

u

n

uv

 ni hisoblashni kelgusida misol orqali tushuntiramiz. 

n

u

n

u

u

∑

=

,     

n

v

n

v

v

∑

=

,     

( )

2

2

u

u

u

−

=

σ

,      

( )

2

2

v

v

v

−

=

σ

 

ifodalar ko`paytmalar usuli orqali topiladi. Ularni topgandan so`ng regressiya tenglamasidagi 

ifodalarni quyidagicha topamiz: 

1

1

c

h

u

x

+

=

,    

2

2

c

h

v

y

+

=

,      

h

u

x

⋅

=

σ

σ

,     

2

h

v

y

⋅

=

σ

σ