П. Г. Демидова А. В. Зафиевский А. А. Короткин А. Н. Лататуев Базы данных Учебное пособие

Аксиомы вывода функциональных зависимостей 
1 
Если 
'
X
X

то 
'
X
X

рефлексивность 
2 
Если 
Y
X

то 
XZ
Y

приращение детерминанта 
3 
Если
Y
X

и
Z
X

то 
YZ
X

объединение 
4 
Если
Y
X

и 
Y
Z

то 
Z
X

декомпозиция 
5 
Если 
Y
X

и 
W
Z

то 
YW
XZ

композиция 
6 
Если
Y
X

и
Z
Y

то 
Z
X

транзитивность 
7 
Если 
Y
X

и 
YZ
W

то 
XZ
W

псевдотранзитивность 
Можно доказать, что эта система аксиом полна и совершенна 
в следующем смысле: во-первых, для данного множества Ф 
функциональных зависимостей любая зависимость, потенциаль-
но выводимая из Ф, может быть выведена на основе аксиом из 
таблицы 4.1, и, во-вторых, применение этих аксиом не может 
привести к выводу лишней зависимости. 
Приведем пример использования аксиом вывода для сокра-
щения исходного множества функциональных зависимостей. 
Пусть для отношения 


, , , , ,
R A B C D E F
выявлен следующий набор 
функциональных зависимостей между атрибутами: 


,
,
,
,
A
B A
C B
C BD
E ADF
E
 





. 
Тогда путем формального сопоставления этих зависимостей с 
аксиомами Армстронга набор 

можно свести к следующему 
набору 
'
  
: 


'
,
,
A
B B
C BD
E
 



. 
Для этого надо показать, что зависимости 
A
C

и 
ADF
E

выводятся из остальных. Схема вывода следующая: 
1. Зависимость 
A
C

есть следствие 
A
B

и 
B
C

по 
аксиоме транзитивности (6); 
2. Зависимость 
ADF
E

выводится за два шага: из 
A
B

и 
BD
E

в силу аксиомы псевдотранзитивности (7) выводится 
зависимость 
AD
E

. Добавим в левую часть этой зависимости 
атрибут 
F
и по аксиоме приращения детерминанта (2) получим 
ADF
E

. 
Таким образом, зависимости 
A
C

и 
ADF
E

являются логи-
ческими следствиями других зависимостей и могут не учиты-
ваться как ограничения целостности. 

---

89 
Заметим, что в данном примере атрибут 
F
оказался как бы 
«лишним»: он не зависит ни от какой-либо комбинации других 
атрибутов и от него никакой атрибут не зависит. Проектиров-
щику надо пересмотреть схему данного отношения и решить 
вопрос о целесообразности включения в него этого атрибута.