Ikkinchi tartibli chiziqning urunma tekisligi

Paraboloidlar


Ikkinchi tartibli chiziqning urunma tekisligi


Download 0.7 Mb.
bet2/6
Sana28.03.2023
Hajmi0.7 Mb.
#1303677
1   2   3   4   5   6
Ikkinchi tartibli chiziqning urunma tekisligi

Ta’rif. Biror affin reperda ikkinchi tartibli algebraik tenglama bilan aniqlanadigannuqtalar to’plami ikkinchi tartibli sirtdeb ataladi:


𝑆: π‘Ž11π‘₯2 + π‘Ž22𝑦2 + π‘Ž33𝑧2 + 2π‘Ž12π‘₯𝑦 + 2π‘Ž13π‘₯𝑧 + 2π‘Ž23𝑦𝑧 + 2π‘Ž14π‘₯ +
+2π‘Ž24𝑦 + 2π‘Ž34𝑧 + π‘Ž44 = 0, (2.1.1)
Bunda
π‘Ž112 + π‘Ž222 + π‘Ž332 + π‘Ž122 + π‘Ž132 + π‘Ž232 β‰  0, π‘Žπ‘–π‘— = π‘Žπ‘—π‘–, 𝑖,𝑗 = 1, 2,3,4. (2.1.2)
Avvalo, bu sirtning biror 𝑒 to’g’ri chiziq bilan kesishishi masalasini ko’rib chiqaylik. Faraz qilaylik, 𝑒 to’g’ri chiziq 𝑆 sirt qaralayotgan affin reperda quyidagi parametric tenglamalar bilan berilgan bo’lsin:
π‘₯ = π‘₯0 + 𝑙𝑑
𝑒: 𝑦 = 𝑦0 + π‘šπ‘‘ (2.1.3)
𝑧 = 𝑧0 + 𝑛𝑑
𝑆 bilan 𝑒 ning kesishmasini topish uchun ularning tenglamalarini birgalikda yechish kerak. Shuning uchun (2.1.3) dagi π‘₯, 𝑦, 𝑧 ning qiymatlarini (2.1.1) ga qo’yamiz:
π‘Ž11(π‘₯0 + 𝑙𝑑)2 + π‘Ž22(𝑦0 + π‘šπ‘‘)2 + π‘Ž33(𝑧0 + 𝑛𝑑)2 + 2π‘Ž12(π‘₯0 + 𝑙𝑑)(𝑦0 + π‘šπ‘‘) + +2π‘Ž13(π‘₯0 + 𝑙𝑑)(𝑧0 + 𝑛𝑑) + 2π‘Ž23(𝑦0 + π‘šπ‘‘)(𝑧0 + 𝑛𝑑) + 2π‘Ž14(π‘₯0 + 𝑙𝑑) +
+2π‘Ž24(𝑦0 + π‘šπ‘‘) + 2π‘Ž34(𝑧0 + 𝑛𝑑) + π‘Ž44 = 0.
Qavslarni ochib, o’xshash xadlarni ixchamlasak, 𝑑 ga nisbatan kvadrat tenglama hosil bo’ladi:
𝑃𝑑2 + 2𝑄𝑑 + 𝑅 = 0, (2.1.4)
bunda:
𝑃 = π‘Ž11𝑙2 + π‘Ž22π‘š2 + π‘Ž33𝑛2 + 2π‘Ž12π‘™π‘š + 2π‘Ž13𝑛𝑙 + 2π‘Ž23π‘šπ‘›,
𝑄 = 𝑙(π‘Ž11π‘₯0 + π‘Ž12𝑦0 + π‘Ž13𝑧0 + π‘Ž14) + π‘š(π‘Ž21π‘₯0 + π‘Ž22𝑦0 + π‘Ž23𝑧0 + π‘Ž24) +
+𝑛(π‘Ž31π‘₯0 + π‘Ž32𝑦0 + π‘Ž32𝑧0 + π‘Ž34), (2.1.5)
𝑅 = π‘Ž11π‘₯02 + π‘Ž22𝑦02 + π‘Ž33𝑧02 + 2π‘Ž12π‘₯0𝑦0 + 2π‘Ž13π‘₯0𝑧0 + 2π‘Ž23𝑦0𝑧0 +
+2π‘Ž14π‘₯0 + 2π‘Ž24𝑦0 + 2π‘Ž34𝑧0 + π‘Ž44
(2.1.5) dan ko’rinib turibdiki, 𝑃 koeffitsient 𝑒 to’g’ri chiziqning ( π‘₯0, 𝑦0, 𝑧0) nuqtasiga bog’liq bo’lmasdan, 𝑒 ning faqat yo’naltiruvchi vektorigagina bog’liqdir.
Ta’rif. Yo’naltiruvchi vektorlari 𝑃 = 0 shartni qanoatlantiradigan barcha to’g’ri chiziqlar berilgan sirtga nisbatan asimptotik yo’nalishga ega bo’lgan to’g’ri chiziqlar deyiladi, yo’naltiruvchi vektorlarni esa asimptotik yo’nalishli vektorlar deyiladi.
Agar 𝑒 to’g’ri chiziq 𝑆 sirtga nisbatan asimptotik yo’nalishga ega bo’lmasa (ya’ni 𝑃 β‰  0 bo’lsa), u holda (2.1.4) kvadrat tenglama ikkita 𝑑1, 𝑑2 ildizga ega bo’ladi, bunda 𝑑1, 𝑑2 ikkkita turli haqiqiy son bo’lsa, to’g’ri chiziq sirt bilan ikkita umumiy nuqtaga egadir.
𝑑1, 𝑑2 qo’shma kompleks sonlar bo’lsa , u holda to’g’ri chiziq sirt bilan ikkita mavhum umumiy nuqataga ega, 𝑑1 = 𝑑2 da to’g’ri chiziq sirt bilan ustma – ust tushadigan ikkita umumiy nuqtaga ega bo’lib to’gri chiziq sirtga urinadi deyiladi.
Agar 𝑒 to’gri chiziq 𝑆 sirtga nisbatan asimptotik yo’nalishga ega bo’lsa
(ya’ni 𝑃 β‰  0 bo’lsa), u holda (2.1.4) dan
2𝑄𝑑 + 𝑅 = 0 (2.1.6)
Bo’lib, bu yerda turli holler yuz berishi mumkin.

  1. 𝑄 𝑅 bo’lib, 𝑒 to’g’ri chiziq 𝑆 sirt bilan bitta nuqtada

𝑄
kesishadi.

  1. 𝑄 = 0 lekin 𝑅 bo’lsa (2.1.6) tenglama ma’noga ega emas, bu hol 𝑆 sirt bilan 𝑒 to’g’ri chiziqning kesishmasligini bildiradi.

  2. 𝑄 = 0 , 𝑅 = 0 bo’lsa, (2.1.6) tenglama 𝑑 ning har qanday qiymatida o’rinli, bu esa 𝑒 to’g’ri chiziqning hamma nuqtalari 𝑆 ga tegishli, ya’ni to’g’ri chiziq 𝑆 ning tarkibida ekanligini bildiradi (bunda to’g’ri chiziq 𝑆 sirtning yasovchisi deb ataladi). Endi 𝑃 bo’lib, 𝑑1 = 𝑑2 holga qarayli, bu holda 𝑒 to’g’ri chiziq 𝑆 sirtga urinma deb atalgan edi. Bu vaqtda 𝑒 to’g’ri chiziqning ( π‘₯0, 𝑦0, 𝑧0) nuqtasi sifatida shu urinish nuqtasini olsak , bu nuqta 𝑆 ga ham tegishli bo’lgani uchun

(2.1.5) dan 𝑅 = 0. U holda (2.1.4) dan
𝑃𝑑2 + 2𝑄𝑑 = 0 yoki 𝑑(𝑃𝑑 + 2𝑄) = 0.
Bu tenglamaning bitta ildizi 𝑑1 = 0, ikkinchisi esa 𝑑2 = βˆ’ 2 𝑃𝑄 dir.
Ravshanki, 𝑑1 = 𝑑2 = 0 bo’lishi uchun 𝑄 = 0 bo’lishi zarur va yetarlidir, ya’ni
(π‘Ž11π‘₯0 + π‘Ž12𝑦0 + π‘Ž13𝑧0 + π‘Ž14)𝑙 + (π‘Ž21π‘₯0 + π‘Ž22𝑦0 + π‘Ž23𝑧0 + π‘Ž24)π‘š +
+(π‘Ž31π‘₯0 + π‘Ž32𝑦0 + π‘Ž33𝑧0 + π‘Ž34)𝑛, (2.1.7)
Bu tenglik 𝑒 to’g’ri chiziq 𝑆 sirtga nisbatan asimptotik yo’nalishga ega bo’lmaganda uning 𝑆 sirtga ( π‘₯0, 𝑦0, 𝑧0) nuqtada urinishi uchun yo’naltiruvchi 𝑒⃗ vektor koordinatalarini qanoatlantirishi kerak bo’lgan shartdir. Ravshanki, (2.1.7) ni qanoatlantiruvchi 𝑙, π‘š, 𝑛 lar cheksiz ko’pdir (chunki uch noma’lumli bitta tenglamadir), demak 𝑀0 nuqtada sirtga urinuvchi cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar mavjud. Bu urinmalardan biriga tegishli ixtiyoriy 𝑀(π‘₯, 𝑦, 𝑧) nuqtani olsak,
⃗𝑀⃗⃗⃗⃗0⃗⃗𝑀⃗⃗ (π‘₯ βˆ’ π‘₯0, 𝑦 βˆ’ 𝑦0, 𝑧 βˆ’ 𝑧0) vektor shu urinmaning yo’naltiruvchi vektori bo’ladi, u holda uning koordinatalari (2.1.7) shartni qanoatlantirishi kerak:
(π‘Ž11π‘₯0 + π‘Ž12𝑦0 + π‘Ž13𝑧0 + π‘Ž14)(π‘₯ βˆ’ π‘₯0) +
+(π‘Ž21π‘₯0 + π‘Ž22𝑦0 + π‘Ž23𝑧0 + π‘Ž24)(𝑦 βˆ’ 𝑦0) +
+(π‘Ž31π‘₯0 + π‘Ž32𝑦0 + π‘Ž33𝑧0 + π‘Ž34)(𝑧 βˆ’ 𝑧0), (2.1.8)
Shunday qilib, sirtning 𝑀0 nuqtasiga o’tkazilgan har bir urinma to’g’ri chiziqdagi ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari (2.1.8) ni qanoatlantirishi kerak.
(2.1.8) tenglama π‘₯, 𝑦, 𝑧 ga nisbatan chiziqli tenglama bo’lishi uchun u 𝑀0 nuqtadan o’tuvchi biror tekislikni aniqlaydi, xuddi shu tekislik 𝑆 sirtning 𝑀0 nuqtasiga o’tkazilgan urinma tekisligi debataladi. Demak, ikkinchi tartibli sirtning biror nuqtasiga o’tkazilgan barcha urinma to’g’ri chiziqlar to’plami bir tekislikka tegishli bo’lib, bu tekislik sirtning shu nuqtasiga o’tkazilgan urinma tekislikdan iborat. Shunday qilib, (2.1.8) tenglama ikkinchi tartibli sirtning 𝑀0(π‘₯0, 𝑦0, 𝑧0) nuqtasiga o’tkazilgan urinma tekislik tenglamasidir.
Agar (2.1.8) dagi (π‘₯ βˆ’ π‘₯0), (𝑦 βˆ’ 𝑦0), (𝑧 βˆ’ 𝑧0) ning koeffitsientlari bir vaqtda nolga teng, ya’ni
π‘Ž11π‘₯0 + π‘Ž12𝑦0 + π‘Ž13𝑧0 + π‘Ž14 = 0
π‘Ž21π‘₯0 + π‘Ž22𝑦0 + π‘Ž23𝑧0 + π‘Ž24 = 0 π‘Ž31π‘₯0 + π‘Ž32𝑦0 + π‘Ž32𝑧0 + π‘Ž34 = 0(2.1.9)
bo’lsa, urinma tekislik noaniqdir.
Bu (2.1.9) shartlarni qanoatlantiruvchi (π‘₯0, 𝑦0,𝑧0) nuqta sirtning maxsus nuqtasi deb ataladi. Demak, sirtning maxsus nuqtasida uning urinma tekisligi aniqlanmagan bo’ladi.
Endi ikkinchi tartibli sirt bilan trkislikning kesishish masalasiga o’taylik.
𝑆 ikkkinchi tartibli sirt va П tekislik berilgan bo’lsin. Affin reperni shunday tanlab olamizki, П = π‘₯ 𝑂𝑦 bo’lsin, u holda shu reperda П tekislik
𝑧 = 0(2.1.10)
tenglama bilan aniqlanadi, 𝑆 sirtning tenglmasi esa shu reperda umumiy holda, ya’ni (2.1.1) ko’rinishda bo’lsin. (2.1.1) va (2.1.10) tenglamalarni birgalikda yechsak,
π‘Ž11π‘₯2 + 2π‘Ž12π‘₯𝑦 + π‘Ž22𝑦2 + 2π‘Ž14π‘₯ + 2π‘Ž24𝑦 + π‘Ž44 = 0 (2.1.11)
𝑆 sirtga va П tekislikka tegishli bo’lgan barcha nuqtalar (2.1.11) tenglamani qanoatlantiradi.
Quyidagi hollar yuz berishi mumkin:

  1. π‘Ž112 + π‘Ž122 + π‘Ž222 β‰  0 bu vaqtda umuman olganda (2.1.11) tenglama 𝑧 = 0 tekislikda ikkinchi tartibli chiziqni aniqlaydi.

  2. π‘Ž11 = π‘Ž12 = π‘Ž22 = 0 , bu yerda:

  1. π‘Ž14 yoki π‘Ž24 dan k amida bittasi noldan farqli bo’lsa, (2.1.11) tenglama

2π‘Ž14 + 2π‘Ž24𝑦 + π‘Ž44 = 0 ko’rinishda bo’lib, 𝑧 = 0 tekislikda to’g’ri chiziqni aniqlaydi, demak bu holda 𝑆 sirt bilan П tekislik to’g’ri chiziq bo’yicha kesishadi;

  1. π‘Ž14 = π‘Ž24 = π‘Ž44 = 0 ⟹ (2.1.1) tenglama 𝑧(2π‘Ž13π‘₯ + 2π‘Ž23𝑦 + π‘Ž33𝑧 +

+2π‘Ž34) = 0 ko’rinishda bo’lib, u 𝑧 = 02π‘Ž13π‘₯ + 2π‘Ž23𝑦 + π‘Ž33𝑧 + +π‘Ž34 = 0 tekisliklarga ajralib ketadi (ravshanki, bu vaqtda berilgan П tekislik shu sirt tarkibida bo’ladi);

  1. π‘Ž14 = π‘Ž24 = 0 π‘Ž44 β‰  0 ⟹ (2.1.11) tenglamadan π‘Ž44 = 0 kelib chiqib, zidlik ro’y beradi, bu esa 𝑆 sirt bilan П tekislik birorta ham umumiy nuqtaga ega emasligini bildiradi.

Shunday qilib, ikkinchi tartibli sirtning tekislik bilan kesimi:

  1. ikkinchi tartibli chiziqdan:

  2. bitta to’g’ri chiziqdan;

  3. tekislikdan (bu vaqtda sirt ikkita tekislikka ajralib, berilgan tekislik shu tekisliklardan biri bo’ladi);

  4. bo’sh to’plamdan (ya’ni sirt bilan tekislik bitta ham umumiy nuqtaga ega bo’lmaydi) iborat ekan.

1-misol. π‘₯2 βˆ’ π‘₯𝑦 + 𝑧𝑦 βˆ’ 5𝑧 = 0 sirt bilan π‘₯βˆ’10 = π‘¦βˆ’5 = 𝑧 to’g’ri
7 3 βˆ’1
chiziqning kesishgan nuqtalarini toping.
Yechish. berilgan to’g’ri chiziq tenglamasini parametric ko’rinishda yozamiz:
π‘₯ = 10 + 7𝑑, 𝑦 = 5 + 3𝑑,𝑧 = βˆ’π‘‘, bularni berilgan sirt tenglamasiga qo’ysak,
(10 + 7𝑑)2 βˆ’ (10 + 7𝑑)(5 + 3𝑑) βˆ’ 𝑑(5 + 3𝑑) + +5𝑑 = 0 . bu tenglamani soddalashtirsak,
𝑑2 + 3𝑑 + 2 = 0,
bu kvadrat tenglamaning ildizlari: 𝑑1 = βˆ’1, 𝑑2 = βˆ’2. Bu qiymatlarni to’g’ri chiziqning parametric tenglamalaridagi 𝑑 ning o’rniga qo’ysak,
𝑑1 = βˆ’1 da π‘₯ = 10 + 7(βˆ’1) = 3, 𝑦 = 5 + 3(βˆ’1) = 2, 𝑧 = βˆ’(βˆ’1) = 1; 𝑑2 = βˆ’2 da π‘₯ = 10 + 7(βˆ’2) = βˆ’4, 𝑦 = 5 + 3(βˆ’2) = βˆ’1,
𝑧 = βˆ’(βˆ’2) = 2
Demak, izlangan nuqtalar: (3,2,1) va (βˆ’4,βˆ’1, 2)
2-misol. π‘₯2 βˆ’ 𝑦2 βˆ’ 2π‘₯ + 𝑧 βˆ’ 3 = 0 sirtning (1, 1, 5) nuqtasidagi urinma tekislik tenglamasini yozing.
Yechish: Bu yerda: π‘Ž11 = 1, π‘Ž22 = βˆ’1, π‘Ž33 = 0, π‘Ž12 = 0, π‘Ž13 = 0,

π‘Ž23 = 0, π‘Ž14 = βˆ’1,π‘Ž24 = 0, π‘Ž34 = , π‘Ž44 = βˆ’3, 2


π‘₯0 = 1, 𝑦0 = 1, 𝑧0 = 5.
Bularni (2.1.8) ga qo’ysak,
βˆ’(𝑦 βˆ’ 1) + (𝑧 βˆ’ 5) = 0 yoki 2𝑦 βˆ’ 𝑧 + 3 = 0
bu izlangan urinma tekislik tenglamasidir.
3-misol. π‘₯2 + 3𝑦2 βˆ’ 4π‘₯𝑧 βˆ’ 2𝑦𝑧 + 𝑧 βˆ’ 6 = 0 sirtning 𝑧 = 0 tekislik bilan kesimini toping.
Yechish: 𝑧 = 0 ni berilgan sirt tenglamasiga qo’ysak,
π‘₯2 + 3𝑦2 βˆ’ 6 = 0
Buni soddaroq holga keltiramiz:
π‘₯2 𝑦2
+ = 1
6 2
demak, kesimda yarim o’qlari bolgan ellips hosil qilinadi.

Sirt va uning tenglamasi

Berilgan to’g’ri burchakli dekart kordinatlari sistemasida koordinatalari

F (x;y;z)=0 (1)

tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rni sirt deb ataladi. (1) tenglama umuman sirt tenglamasi deb ataladi. Bu tenglama x, y, z o’zgaruvchilarning briga nisbatan yechiladi deb faraz qilamiz. Masalan, u tenglama z ga nisbata yechilishi mumkin bo’lsin, bu holda


Download 0.7 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6



Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling