Параметрга боғлиқ хосмас интеграллар

3⁰. Параметрга боғлиқ хосмас интегралларнинг параметр бўйи­ча текис яқинлашиш аломатлари.
2-теорема (Вейерштрасс аломати). Айтайлик, функция

тўпламда берилган ва ҳар бир тайин да функция да интеграл­ла­нувчи бўлсин.
Агар да аниқланган шундай функция топилсаки,
1) учун бўлса,
2) ушбу хосмас интеграл яқинлашувчи бўлса, у ҳолда

интеграл тўпламда текис яқинлашувчи бўлади.
◄Модомики, яқинлашувчи экан, унда олин­­­ганда ҳам, шун­дай топиладики, бўл­ган­да

тенгсизлик бажарилади.
Айни пайтда,

бўлганлиги сабабли

бўлади. Юқорида келтирилган 1-теоремага мувофиқ

интеграл тўпламда текис яқинлашувчи бўлади.►
4-мисол. Ушбу

интегралнинг текис яқинлашувчи экани кўрсатилсин.
◄Равшанки, ва учун

бўлади. Айни пайтда,

хосмас интеграл яқинлашувчи бўлганлиги сабабли Вейерш-трасс аломатига кўра берилган интеграл да текис яқинла­шувчи бўлади.►
Интегралларнинг текис яқинлашишини аниқлашда кўп фой­да­­ла­ниладиган Абель ҳамда Дирихле аломатларини исбот-сиз келтирамиз.
3-теорема (Абель аломати). ва функциялар

тўпламда берилган бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:

1. 
   ҳар бир тайин да функция да монотон бўлсин;
   
2. 
   учун бўлсин;
   
3. 
   ушбу
   

интеграл тўпламда текис яқинлашувчи бўлсин.
У ҳолда

интеграл тўпламда текис яқинлашувчи бўлади.
4-теорема (Дирихле аломати). ва функ­ция­лар тўпламда берилган бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:
1) ҳамда да

тенгсизлик бажарилсин;
2) ҳар бир тайин да функция лимит функция га текис яқинлашсин.
У ҳолда

интеграл тўпламда текис яқинлашувчи бўлади.
5-мисол. Ушбу

интеграл текис яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ Берилган интегралда

дейилса, унда
1) учун
,
2) да функция да нолга текис яқинла­шувчи.
Дирихле аломатига кўра берилган интеграл да текис яқинлашувчи бўлади.►