Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiya tushunchasi

2. Tenglamasi qutb kordinatalar sistemasida berilgan funksiyaning grafigini chizish.

Qutb koordinatalar sistemasi haqida tushuncha. 1 ekislikdagi nuqtalaming o‘rni to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz va bu to‘g‘ri chiziqda musbat yo'nalishni belgilaymiz (15.1- chizma). О nuqtani qutb. Ox o'qini esa qutb о ‘qi deb ataymiz. Endi ma‘lum masshtab birligi olib, tekislikdagi ixtiyoriy M nuqtaning o‘rnini О qutbga va Ox qutb o'qiga nisbatan aniqlaymiz. Buning uchun M nuqta bilan О qutbni tutashtiramiz. Natijada qutbdan M nuqtagacha bo‘lgan \OM\ masofa va qutb o'qi bilan OM yo‘nalgan kesma orasida Z xOM - tp burchak hosil bo'ladi. Bunda P = OM shu M nuqtaning qutb radiusi, ishorasi bilan ±2кк > Z qo‘shiluvchi aniqligida qaraymiz. p va Ф ni M nuqtaning qutb koordinatalari deb ataymiz va M(р;ф) shaklda yozamiz. M nuqta qutb burchagining —тг<ф0 va — я<фAgar M nuqtaning qutb koordinatalari maium bo’lsa (15.1- chizma), u holda uning Dekart koordinatalari л-=рсо5ф, у=р5!пф formulalar orqali ifodalanadi . Agar M nuqtaning Dekart koordinatalari x va у berilgan bo'lsa, u holda uning qutb koordinatalari: у X2 + у 1 , COS ф = yjx2+y2 , Ф = arctg formulalar orqali topiladi.

Ba‘zi bir masalalarni yechishda qutbdan o'tuvchi bitta to‘g‘ri chiziqda О nuqtaning turli tomonida joylashgan ikkita M va N nuqtalarni qarashga to‘g'ri keladi. Bu holda M \a N nuqtalarning qutb burchagi sifatida OE kesmadan OM nurgacha


bo‘lgan burchakni olish mumkin. Bunda p ni M nuqta uchun musbat, N nuqta uchun esa manfiy deb hisoblanadi. Qutb koordinatalar sistemasida berilgan funksiyaning umumiy ko'rinishi p =/(
р;ф) = 0 shaklida bo'ladi. р=/(ф) funksiyani qutb koordinatalar sistemasida tekshirsak, Dekart koordinatalar sistemasida у = f (x) ga taqqoslash yo‘li bilan ham amalga oshirish mumkin, bunda p niyga, ф ni esa x ga almashtiriladi. Р=/(ф ) funksiyani tekshirish sxemasi у = / (x) funksiyani tekshirish sxemasi kabi tekshiriladi. y = /(x ) funksiyaning aniqlanish sohasi [a,b] endi p—/(ф ) funksiyaning aniqlanish sohasi a < ф< |3 ga mos bo'ladi. y=f(x) funksiyaning x,, x2, ... maxsus nuqtalari р=/(ф) funksiyaning ф,=х,, ф2=х2, ... maxsus nuqtalariga mos keladi.1) У =f (x) juft funksiya bo‘lsin . U holda/ (x)=/(—x) tenglikka asosan, y=f(x)) egri chiziqning A (x; y) va В (—x; y) nuqtalari Р=/(ф ) egri chiziqning ЛДф#) va ^(я-ф;р) nuqtalariga mos keladi. y= /(x) egri chiziqning A (x;—y) va B (—x —y) nuqtalari Р=/(ф ) egri chiziqning At(р:2к-(р) va 2?,(р;л+ф) nuqtalariga mos keladi (15.3- chizma). 2) У =/ W toq funksiya bo‘lsin. U holda Dekart koordinatalar sistemasining koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo'lgan A (x; y) va В (—x. —y) nuqtalari qutb koordinatlar sistemasining qutbiga nisbatan simmetrik bo'lgan At(ф;р) va 5,(р;я+ф) nuqtalarga mos keladi (15.4- chizma), Dekart koordinatalar sistemasidagi A (—x; — y) va В (x;—y) nuqtalar esa qutb koordinatalar sistema-

3) agar y= /(x) egri chiziq x>0 bo'lganda abssissalar o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa, Dekart koordinatalar sistemasidagi A(x,y) va B(x,—y) nuqtalarga qutb koordinatalar sistemasidagi Л(р;ф) va i?,(p;27i-

agar y = /(x ) funksiya davriy bo'lsa, р=/(ф) funksiya ham davriy bo'ladi va ularning davrlari o'zaro teng. Agar y —f(x ) chegaralangan (m < f(x)< M ) bo'lsa, uning grafigi y=m va y=M to'g'ri chiziqlar orasida bo'ladi. Unga mos р=/(ф) funksiya uchun ham m

Agar y=f(x ) funksiya x =x0 nuqtada ekstremumga ega boisa, Р=/(ф) funksiya ф=ф0 da ekstremumga ega bo‘ladi. Agar f(x ) funksiya biror oraliqda kamayuvchi bo‘lsa, qutb koordinatalar sistemasida p = / (ф) funksiya uchun qutb radiusining qiymati: soat strelkasi bo‘yicha harakat qilganda kamayadi, soat strelkasiga teskari harakat qilganda esa uning qiymati ortadi. у = f (x) funksiyaning Dekart koordinatalar sistemasidagi у = с gorizontal asimptotasi qutb koordinata sistemasida p —c radiusli asimptotik aylana bo‘lib ko‘chadi. Xususiy holda с =0 bo‘lsa, aylana nuqtaga aylanadi. y=/(x) chiziqning Dekart koordinatalar sistemasidagi x=b vertikal asimptotasi qutb koordinatalar sistemasiga ф=b nur bo‘lib ko‘chadi. Xususiy holda b= 0 bo'lsa, x = 0 asimptota qutb koordinatalar sistemasiga qutb o‘qi bo‘lib o'tadi.Agar b = + Ink (k — biror butun son) bo‘lsa, x =b asimptota Ф = | + 2nk vertikal nur bo‘lib o‘tadi.

Agar у = /(x) chiziq Dekart koordinatalar sistemasida у =ax + b asimptotaga ega bo‘lsa, bu og‘ma asimptota qutb koordinatalar sistemasiga p =aq> + b Arximed spirali bo‘lib o'tadi. Xususiy holda у —f (x) egri chiziqning у =ax asimptotasi p =д<р Arximed spirali bo‘lib o‘tadi.1- misol. ^ [ ^ ’ 6 nuqtani yasang. Yechilishi. TekisliKda О qutbni belgilab undan Ox qutb o'qini o‘tkazamiz. Qxo‘qini musbat yo‘nalishda ^ burchakka buramiz va D unda musbat yo'nalishda 2 birlik kesma ajratamiz, natijada OM kesma hosil bo‘ladi. Bu kesmaning A/uchi izlanayotgan nuqta bo'ladi.2-misol. ^4^—3 ;jj nuqtani yasalng. Yechilishi. Ox qutb o‘qini o‘tkazib, uni j burchakka buiamiz va shu bilan OM musbat yo‘nalishni aniqlaymiz. Endi p=—3 bo‘lgani uchun OM ning teskari yo‘nalishdagi davomida |—3|=3 birlik masshtabni olamiz, bu kesmaning uchi izlanayotgan nuqtani beradi.
Qutb koordinatalar sistemasida funksiyalarning grafiklarini chizish. р=/(ф) funksiyaning grafigini chizish quyidagicha bajariladi: a) р = /(ф) funksiyaning grafigini chizish uchun unga mos kelgan У ~ f (*) funksiya quriladi; b) р=/(ф) funksiyani tekshirish qoidasi, xuddi y —f{ x ) funksiyani tekshirishdek bo‘ladi (6-, 7-§ larga q.); d) p = /(ф) funksiyaning grafigini chizish у = / (x) funksiyaning grafigi bo'yicha bajariladi.1-misol. р=аф (а>0) funksiya grafigini chizing. Yechilishi. Qutb koordinatalar sistemasida ba‘zan funksiyalarning grafiklari nuqtalar bo'yicha chiziladi.
ф>0 qiymatlar uchun jadval tuzamiz:

Koordinatalar tekisligida yuqorida topilgan nuqtalarning o‘rinlarini topib, ularni chiziqlar bilan birlashtirish natijasida ф>0 bo‘lganda funksiyaning grafigi hosil bo'ladi (15.10- chizma). 2-misol. p=aekv (a va к — o'zgarmas musbat sonlar) funksiyaning grafigini chizing. Yechilishi. Bu tenglama bilan berilgan chiziq logarifmik spiral deyiladi. Uni chizish uchun ф burchakka ixtiyoriy qiymatlar berib, bu qiymatlami berilgan tenglamaga qo‘yamiz va undan


Agar <р = я,— 2 , — 4 >0,4 , тс, 2 ,27Г,... qiymatlarni qabul qilib o‘sib borsa, tenglamadan aniqlangan p ning qiymatlari quyidagicha bo'ladi:




5°. p = /((p)+Z> funksiyaning grafigi p = /(cp) funksiyaning grafigini qutb o‘qi bo‘ylab b masshtab birligiga parallel ko'chirish natijasida hosil qilinadi. Misol. p = 2+3cos((p+l) funksiyaning grafigini chizing. Yechilishi. Awalo, p=cos9 funksiyaning grafigini chizamiz (15.13- chizmaga qarang), so‘ngra yuqoridagi 3°—5° - bandlarga asosan, p=cos((p+l) (15.14- chizma), p=3cos((p+l) (15.15- chizma), p =2+3cos(cp+l) funksiyalarning grafiklarini ketma-ket chizish natijasida berilgan funksiyaning grafigini hosil qilamiz.