Perpendikulyar chiziqlar. To'liq darslar Bilim gipermarketi

Yechim
A B va A C chiziqlari mos ravishda A B → va A C → yo‘nalish vektorlariga ega. Birinchidan, A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) ni hisoblab chiqamiz. A B → va A C → vektorlari nolga teng vektorlarning skalyar ko'paytmasining xossasidan perpendikulyar ekanligini olamiz.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Ko'rinib turibdiki, zarur va etarli shart bajarilgan, ya'ni A B va A C perpendikulyar.
Javob: chiziqlar perpendikulyar.
2-misol
Berilgan x - 1 2 = y - 7 3 va x = 1 + l y = 2 - 2 · l chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim
a → = (2 , 3) ​​- berilgan chiziqning yo'nalish vektori x - 1 2 = y - 7 3 ,
b → = (1 , - 2) - chiziqning yo'nalish vektori x = 1 + l y = 2 - 2 · l .
a → va b → vektorlarining skalyar ko'paytmasini hisoblashga o'tamiz. Ifoda yoziladi:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Mahsulotning natijasi nolga teng emas, vektorlar perpendikulyar emas degan xulosaga kelishimiz mumkin, ya'ni chiziqlar ham perpendikulyar emas.
Javob: chiziqlar perpendikulyar emas.
a va b chiziqlar perpendikulyar bo'lishi uchun zarur va etarli shart amal qiladi uch o'lchamli bo'shliq, a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z = 0 ko‘rinishida yoziladi, bunda a → = (a x, a y, a z) va b → = (b x, b y, b z) a va b chiziqlarning yo‘nalish vektorlari. .
3-misol
x 2 \u003d y - 1 \u003d z + 1 0 va x \u003d l y \u003d 1 + 2 l z = 4 l tenglamalar bilan berilgan uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimidagi chiziqlar perpendikulyarligini tekshiring.
Yechim
dan maxrajlar kanonik tenglamalar chiziqlar chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari deb hisoblanadi. Parametrik tenglamadan yo'nalish vektor koordinatalari koeffitsientlardir. Bundan kelib chiqadiki, a → = (2 , - 1 , 0) va b → = (1 , 2 , 4) berilgan chiziqlarning yoʻnalish vektorlari. Ularning perpendikulyarligini aniqlash uchun vektorlarning skalyar mahsulotini topamiz.
Ifoda a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 ga aylanadi.
Vektorlar perpendikulyar, chunki mahsulot nolga teng. Kerakli va etarli shart bajarilgan, ya'ni chiziqlar ham perpendikulyar.
Javob: chiziqlar perpendikulyar.
Perpendikulyarlikni tekshirish perpendikulyarlikning boshqa zarur va etarli shartlari asosida amalga oshirilishi mumkin.
Teorema 2
Tekislikdagi a va b chiziqlar a chiziqning normal vektori b vektorga perpendikulyar bo'lganda perpendikulyar hisoblanadi, bu zarur va etarli shartdir.
Isbot 2
Bu shart chiziqlar tenglamalari berilgan chiziqlarning normal vektorlarining koordinatalarini tez topish imkonini berganda qo'llaniladi. Ya'ni, agar A x + B y + C \u003d 0 ko'rinishidagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi, x a + y b \u003d 1 ko'rinishdagi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, to'g'ri chiziq tenglamasi mavjud bo'lsa. y \u003d k x + b shaklidagi qiyalik bilan chiziq, vektorlarning koordinatalarini topish mumkin.
4-misol
3 x - y + 2 = 0 va x 3 2 + y 1 2 = 1 chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim
Ularning tenglamalariga asoslanib, to'g'ri chiziqlarning normal vektorlarining koordinatalarini topish kerak. Biz n a → = (3 , - 1) ekanligini olamiz normal vektor to'g'ri chiziq uchun 3 x - y + 2 = 0.
x 3 2 + y 1 2 = 1 tenglamani 2 3 x + 2 y - 1 = 0 ko'rinishga soddalashtiramiz. Endi normal vektorning koordinatalari aniq ko'rinib turibdi, biz bu shaklda yozamiz n b → = 2 3 , 2 .
n a → = (3 , - 1) va n b → = 2 3, 2 vektorlari perpendikulyar bo'ladi, chunki ularning skalyar ko'paytmasi oxir-oqibat 0 ga teng qiymat beradi. Biz n a → , n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0 ni olamiz.
Kerakli va yetarli shart bajarildi.
Javob: chiziqlar perpendikulyar.
Tekislikdagi a chiziq y = k 1 x + b 1 qiyalik tenglamasi va b - y = k 2 x + b 2 chizig'i yordamida aniqlanganda, normal vektorlar koordinatalariga ega bo'ladi (k 1, -). 1) va (k 2 , - 1) . Perpendikulyarlik shartining o'zi k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1 ga kamayadi.
5-misol
y = - 3 7 x va y = 7 3 x - 1 2 chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim
y = - 3 7 x to'g'ri chiziq - 3 7 ga teng qiyalikka ega, y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 to'g'ri chiziq.
Nishab koeffitsientlarining mahsuloti - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1 qiymatini beradi, ya'ni chiziqlar perpendikulyar.
Javob: berilgan chiziqlar perpendikulyar.
Tekislikdagi chiziqlarning perpendikulyarligini aniqlash uchun boshqa shart qo'llaniladi.
Teorema 3
a va b chiziqlar tekislikda perpendikulyar bo'lishi uchun chiziqlardan birining yo'nalishi vektorining ikkinchi chiziqning normal vektori bilan kollinearligi zarur va etarli shartdir.
Isbot 3
Shart bitta chiziqning yo'nalishi vektorini va ikkinchisining normal vektorining koordinatalarini topish mumkin bo'lganda qo'llaniladi. Boshqacha qilib aytganda, bitta to'g'ri chiziq kanonik yoki parametrik tenglama bilan, ikkinchisi esa to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi, segmentlardagi tenglama yoki qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasi bilan beriladi.
6-misol
Berilgan x - y - 1 = 0 va x 0 = y - 4 2 chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim
X - y - 1 = 0 chiziqning normal vektori n a → = (1 , - 1) koordinatalariga ega, b → = (0 , 2) esa x 0 = y - 4 chiziqning yo'nalish vektori ekanligini olamiz. 2018-03-22
Bu n a → = (1, - 1) va b → = (0, 2) vektorlari kollinear emasligini ko'rsatadi, chunki kollinearlik sharti bajarilmaydi. n a → = t · b → tengligi to'g'ri bo'ladigan t soni yo'q. Shunday qilib, chiziqlar perpendikulyar emas degan xulosaga keladi.
Javob: chiziqlar perpendikulyar emas.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Anaz. o'zaro perpendikulyar, agar l a ustida yotgan har qanday chiziqqa perpendikulyar bo'lsa. Perpendikulyarlik tushunchasini umumlashtirish uchun San'atga qarang. Ortogonallik.

Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.