Perpendikulyar chiziqlar. To'liq darslar Bilim gipermarketi

Perpendikulyar chiziqlar va ularning xossalari. Perpendikulyar chiziqlar Perpendikulyar chiziq nima deyiladi
Maqola tekislik va uch o'lchovli fazoda perpendikulyar chiziqlar masalasiga bag'ishlangan. Keling, berilgan misollar yordamida perpendikulyar chiziqlar ta'rifi va ularning belgilanishini batafsil tahlil qilaylik. Keling, ikkita to'g'ri chiziqning perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartni qo'llash shartlarini ko'rib chiqamiz va misol bilan batafsil ko'rib chiqamiz.
Kosmosda kesishgan to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak to'g'ri bo'lishi mumkin. Keyin ular aytadilarki, bu ma'lumotlar perpendikulyar to'g'ri chiziqlar. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak to'g'ri bo'lganda, to'g'ri chiziqlar ham perpendikulyar bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, tekislikdagi perpendikulyar to'g'ri chiziqlar kesishadi va fazoning perpendikulyar to'g'ri chiziqlari kesishishi va kesishishi mumkin.
Ya'ni, "a va b to'g'ri chiziqlar perpendikulyar" va "b va a to'g'ri chiziqlar perpendikulyar" tushunchalari teng deb hisoblanadi. Bu erda o'zaro perpendikulyar to'g'ri chiziqlar tushunchasi paydo bo'lgan. Yuqoridagilarni umumlashtirib, ta'rifni ko'rib chiqing.
Ta'rif 1
Ikki to'g'ri chiziq, agar ular kesishganda burchak 90 gradus bo'lsa, perpendikulyar deyiladi.
Perpendikulyarlik "⊥" bilan belgilanadi va yozuv a ⊥ b shaklini oladi, ya'ni a chizig'i b chizig'iga perpendikulyar bo'ladi.
Masalan, tekislikdagi perpendikulyar chiziqlar umumiy tepalikka ega bo'lgan kvadrat tomonlari bo'lishi mumkin. Uch o'lchovli fazoda O x, O z, O y chiziqlari juft bo'lib perpendikulyar: O x va O z, O x va O y, O y va O z.
Chiziqlarning perpendikulyarligi - perpendikulyarlik shartlari
Perpendikulyarlikning xususiyatlarini bilish kerak, chunki ko'pchilik vazifalar uni keyingi hal qilish uchun tekshirishgacha kamayadi. Hatto topshiriq sharti yoki dalillardan foydalanish zarur bo'lganda ham perpendikulyarlik muhokama qilinadigan holatlar mavjud. Perpendikulyarlikni isbotlash uchun to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak to'g'ri bo'lishi kifoya.
Ularning to'rtburchaklar koordinata tizimining ma'lum tenglamalari bilan perpendikulyarligini aniqlash uchun to'g'ri chiziqlar perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartni qo'llash kerak. Matnni ko'rib chiqing.
Teorema 1
A va b to'g'ri chiziqlar perpendikulyar bo'lishi uchun to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori berilgan b to'g'ri chiziqning yo'nalish vektoriga perpendikulyar bo'lishi zarur va etarli.
Dalilning o'zi chiziqning yo'nalish vektorining ta'rifiga va chiziqlarning perpendikulyarligini aniqlashga asoslangan.
Isbot 1
A va b to'g'ri chiziqlarni belgilaydigan tekislikdagi to'g'ri chiziqning berilgan tenglamalari bilan to'rtburchaklar shaklidagi O x y koordinata sistemasi kiritilsin. A va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari a → va b → bilan belgilanadi. A va b chiziqlar tenglamasidan zarur va etarli shart - a → va b → vektorlarning perpendikulyarligi. Bu faqat a → = (a x, a y) va b → = (b x, b y) vektorlarning skalyar hosilasi nolga teng bo'lganida va yozuvi a →, b → = a x b x + a y b y = 0 bo'lganida mumkin. Biz a →, b → = ax bx + ay = 0 ga ega bo'lamiz, bu erda a → = (ax, ay) va b → = bx, by - a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari.
Yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topish zarur bo'lganda yoki berilgan a va b to'g'ri chiziqlar tekisligida kanonik yoki parametrik to'g'ri chiziqlar mavjud bo'lganda shart qo'llaniladi.
Misol 1
O x y to'rtburchaklar koordinatali tizimda uchta A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) nuqta berilgan. A B va A C chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim
A V va A S satrlarda mos ravishda A B → va A C → yo'nalish vektorlari mavjud. Birinchidan, A B → = (- 2,- 3), A C → = (- 6, 4) ni hisoblaylik. Biz A B → va A C → vektorlari nolga teng vektorlarning skalyar hosilasi bo'yicha perpendikulyar ekanligini olamiz.
A B →, A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Shubhasiz, zarur va etarli shart bajarilgan, ya'ni AB va AC perpendikulyar.
Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.
2 -misol
Berilgan x - 1 2 = y - 7 3 va x = 1 + λ y = 2 - 2 · lines chiziqlar perpendikulyar yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim
a → = (2, 3) - berilgan chiziqning yo'nalish vektori x - 1 2 = y - 7 3,
b → = (1, - 2) - to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori x = 1 + λ y = 2 - 2 λ.
Keling, a → va b → vektorlarning skalyar hosilasini hisoblashni davom ettiramiz. Ifoda yoziladi:
a →, b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Mahsulot natijasi nolga teng emas, biz xulosa qilishimiz mumkinki, vektorlar perpendikulyar emas, ya'ni to'g'ri chiziqlar ham perpendikulyar emas.
Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar emas.
A va b chiziqlar perpendikulyarligining zarur va etarlicha sharti uch o'lchovli bo'shliq uchun qo'llaniladi, a →, b → = ax bx + ay + az bz = 0, bu erda a → = (ax, ay, az) va b → = (bx, by, bz) - a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari.
Misol 3
X 2 = y - 1 = z + 1 0 va x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 by tenglamalar bilan berilgan uch o'lchovli bo'shliqning to'rtburchaklar koordinatali tizimidagi to'g'ri chiziqlarning perpendikulyarligini tekshiring.
Yechim
To'g'ri chiziqlarning kanonik tenglamalari maxrajlari to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari hisoblanadi. Parametrik tenglamadan yo'nalish vektorining koordinatalari koeffitsientlardir. Bundan kelib chiqadiki, a → = (2, - 1, 0) va b → = (1, 2, 4) berilgan chiziqlarning yo'nalish vektorlari hisoblanadi. Ularning perpendikulyarligini aniqlash uchun biz vektorlarning skalyar hosilasini topamiz.
Ifoda a →, b → = 2 1 + (- 1) 2 + 0 4 = 0 shaklini oladi.
Vektorlar perpendikulyar, chunki mahsulot nolga teng. Kerakli va etarli shart bajariladi, ya'ni chiziqlar ham perpendikulyar.
Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.
Kvadratni tekshirish boshqa zarur va etarli kvadrat shartlari asosida amalga oshirilishi mumkin.
Teorema 2
Agar tekislikdagi a va b chiziqlar b vektorli a chiziqning normal vektori perpendikulyar bo'lsa, bu zarur va etarli shart.
Isbot 2
Bu shart to'g'ri chiziqlar tenglamalari berilgan to'g'ri chiziqlarning normal vektorlari koordinatalarini tezda topganda qo'llaniladi. Ya'ni, A x + B y + C = 0 shaklidagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi mavjud bo'lganda, to'g'ri chiziqning xa + yb = 1 shaklidagi segmentlari, a bilan to'g'ri chiziq tenglamalari. y = kx + b shaklining qiyaligi, vektorlarning koordinatalarini topish mumkin.
Misol 4
3 x - y + 2 = 0 va x 3 2 + y 1 2 = 1 chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqlang.
Yechim
Ularning tenglamalariga asoslanib, to'g'ri chiziqlarning normal vektorlarining koordinatalarini topish kerak. Biz n a → = (3, - 1) 3 x - y + 2 = 0 chizig'i uchun normal vektor ekanligini olamiz.
X 3 2 + y 1 2 = 1 tenglamani 2 3 x + 2 y - 1 = 0 ga aylantiring. Endi oddiy vektorning koordinatalari aniq ko'rinadi, biz bu formada yozamiz n b → = 2 3, 2.
N a → = (3, - 1) va n b → = 2 3, 2 vektorlari perpendikulyar bo'ladi, chunki ularning nuqta mahsuloti 0 ga teng bo'ladi. Biz n a →, n b → = 3 2 3 + (- 1) 2 = 0 ni olamiz.
Kerakli va etarli shart bajarildi.
Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.
Agar tekislikdagi a to'g'ri chiziq y = k 1 x + b 1 qiyalik va b - y = k 2 x + b 2 to'g'ri chiziqli tenglama yordamida aniqlansa, normal vektorlarning koordinatalari bo'ladi ( k 1, - 1) va (k 2, - 1). Perpendikulyarlik shartining o'zi k 1 k 2 + (- 1) (- 1) = 0 ⇔ k 1 k 2 =- 1 ga kamayadi.
Misol 5
Y = - 3 7 x va y = 7 3 x - 1 2 chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqlang.
Yechim
Y = - 3 7 x to'g'ri chiziqda qiyalik - 3 7 ga teng, y = 7 3 x - 1 2 - 7 3 to'g'ri chiziq.
Nishablar mahsuloti - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1 qiymatini beradi, ya'ni to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.
Javob: berilgan to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.
Tekislikda to'g'ri chiziqlarning perpendikulyarligini aniqlash uchun yana bitta shart ishlatiladi.
Teorema 3
A va b to'g'ri chiziqlarning tekislikdagi perpendikulyarligi uchun to'g'ri va etarli shart - bu to'g'ri chiziqlardan birining yo'nalish vektorining ikkinchi to'g'ri chiziqning normal vektori bilan o'zaro bog'liqligi.
Dalil 3
Shart bitta to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini va ikkinchisining normal vektorining koordinatalarini topish mumkin bo'lganda qo'llaniladi. Boshqacha qilib aytganda, bitta to'g'ri chiziq kanonik yoki parametrik tenglama, ikkinchisi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi, segmentlardagi tenglama yoki qiyalikli to'g'ri chiziqning tenglamasi bilan berilgan.
Misol 6
Berilgan x - y - 1 = 0 va x 0 = y - 4 2 chiziqlar perpendikulyar ekanligini aniqlang.
Yechim
Biz x - y - 1 = 0 chizig'ining normal vektori na → = (1, - 1) koordinatalarga ega ekanligini va b → = (0, 2) chiziqning yo'nalish vektori x 0 = y - 4 ekanligini aniqlaymiz. 2018-05-01 xoxlasa buladi 121 2.
Bu shuni ko'rsatadiki, n a → = (1, - 1) va b → = (0, 2) vektorlari o'zaro chiziqli emas, chunki o'zaro bog'liqlik sharti bajarilmaydi. N a → = t · b → tenglikni saqlaydigan t soni yo'q. Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar perpendikulyar emas degan xulosaga keladi.
Javob: to'g'ri chiziqlar perpendikulyar emas.
Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmalar birikmasini bosing
Perpendikulyar to'g'ri chiziqlar geometriyada raqamlar, konstruktsiyalar va hisoblarning butun qatlamini hosil qiladi. Perpendikulyar chiziqlarni tushunmasdan, bunday raqamlarni echish mumkin bo'lmaydi to'g'ri uchburchak, to'rtburchaklar, kvadrat yoki to'rtburchaklar trapezoid. Shuning uchun, bu tushunchalarga alohida e'tibor berishga arziydi.