Phys4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

¨

Ubungsblatt 04

PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Hans-Dieter Vollmer, ([e-mail])

12. 5. 2005 bzw. 13. 5. 2005

1 Aufgaben

1. Der Operator A sei proportional zur Ableitung nach der Ortskoordinate,

d.h. es sei A := α

d

dx

.

Wie muss die Konstante α gew¨ahlt werden, damit A ein hermitescher Ope-

rator ist?

2. Der Kommutator der Operatoren A,B wird definiert durch

[A,B] := AB − BA.

Zeigen Sie die folgenden Rechenregeln f¨ur Operatoren A,B, . . .:

a)

[A,B] = −[B,A]

b)

[A,B + C] = [A,B] + [A,C]

c)

[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B

d)

[A,BC] = [A,B]C + B[A,C]

e) Berechnen Sie damit den Ausdruck [AB,CD].

f) Berechnen Sie in der Ortsdarstellung den Kommutator von Impuls-

operator p

x

=

i

d

dx

und Ortsoperator x: [p

x

,x].

3. Ausgehend von dem Kommutator [x,p] = i soll gezeigt werden (p ist hier

der Impulsoperator der x-Komponente):

a) Wenn G(x) eine Funktion von x ist, die in eine Taylorreihe an der

Stelle x = 0 entwickelbar ist, so gilt:

[p,G(x)] = −i

dG(x)

dx

.

b) Wenn F (p) eine Funktion des Operators p ist, die an der Stelle p = 0

in eine Taylorreihe entwickelbar ist, dann gilt: [x,F (p)] = i

dF (p)

dp

.

¨

Ubungsblatt vom 12. 5. 2005 bzw. 13. 5. 2005

1

c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

2

PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005

¨

Ubungsblatt 04

4. x(t) =

f

∗

(x,t)xf (x,t) dV ist der zeitabh¨angige Mittelwert des Ortes eines

Teilchens, dessen Wellenfunktion f (x,t) die quantenmechanische Bewegung

beschreibt. Das Teilchen bewege sich in einem Potential V (x), so dass der

Hamiltonoperator durch H(x) = −

2

2m

∆ + V (x) gegeben ist. Berechnen Sie

die Zeitableitung des Mittelwerts

d

dt

x(t) indem Sie benutzen, dass

df

dt

die

zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung erf¨ullen muss.

Leiten Sie so die folgende Differentialgleichung her:

d

dt

x =

1

m

p

5. Berechnen Sie die Zeitableitung des Impulses in gleicher Weise wie in der

vorhergehenden Aufgabe und zeigen Sie damit die Bewegungsgleichung

d

dt

p = −gradV (x).

Was ergibt sich durch Elimination des Impulsmittelwerts aus den beiden

Differentialgleichungen? Interpretieren Sie das Ergebnis.

¨

Ubungsblatt vom 12. 5. 2005 bzw. 13. 5. 2005

2

c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

¨

Ubungsblatt 04

PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005

3

2 L¨

osungen

1. Die folgende Umformung eines Matrixelements

f

∗

(x) α

d

dx

g(x)dx

part. Int.

=

−α

d

dx

f

∗

(x) g(x)dx

=

−α

∗

d

dx

f (x)

∗

g(x)dx

zeigt, dass die Bedingung f¨ur Hermitizit¨at lautet:

α

d

dx

!

= −α

∗

d

dx

⇒

α = −α

∗

⇒

Re(α)+Im(α) = −(Re(α)−Im(α))

⇒

2Re(α) = 0

Der Faktor muss also rein imagin¨ar sein, wie dies beim Impulsoperator auch

der Fall ist.

2.

a)

[A,B] = AB − BA = −(BA − AB) = −[B,A]

b)

[A,B + C] = A(B + C) − (B + C)A = AB + AC − BA − CA

= AB − BA + AC − CA = [A,B] + [A,C]

c)

[AB,C] = ABC − CAB = ABC − CAB + (ACB − ACB)

0

= A(BC − CB) + (AC − CA)B = A[B,C] + [A,C]B

d)

[A,BC] = ABC − BCA = ABC − BCA + (BAC − BAC)

0

= (AB − BA)C + B(AC − CA) = [A,B]C + B[A,C]

e)

[AB,CD] = A[B,CD]+[A,CD]B = AC[B,D]+A[B,C]D+C[A,D]B+[A,C]D

¨

Ubungsblatt vom 12. 5. 2005 bzw. 13. 5. 2005

3

c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

4

PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005

¨

Ubungsblatt 04

f)

i

d

dx

, x f (x) =

i

d

dx

x − x

i

d

dx

f (x) =

i

d

dx

xf (x) − x

d

dx

f (x)

=

i

f (x) + x

d

dx

f (x) − x

d

dx

f (x) =

i

f (x)

Symbolisch also:

i

d

dx

, x =

i

3.

a) Taylorreihe der Funktion G(x) an der Stelle x = 0:

G(x) =

∞

k=0

1

k!

d

k

G(x)

dx

k

x=0

x

k

=

∞

k=0

1

k!

G

(k)

x

k

Damit folgt:

[p, G(x)] =

∞

k=0

1

k!

G

(k)

[p,x

k

]

[p,x

k

] = [p,x]x

k−1

+ x[p,x]x

k−2

+ . . . + x

k−1

[p,x]

= (−i )x

k−1

+ x(−i )x

k−2

. . . x

k−1

(−i ) = −i k x

k−1

= −i

d

dx

x

k

Somit:

[x, G(x)] =

∞

k=0

1

k!

G

(k)

[p,x

k

] =

∞

k=0

1

k!

G

(k)

(−i )

d

dx

x

k

= −i

d

dx

∞

k=0

1

k!

G

(k)

x

k

= −i

d

dx

G(x)

b) Taylorreihe des Operators F (p) an der Stelle p = 0:

F (p) =

∞

k=0

1

k!

d

k

F (p)

dp

k

p=0

p

k

=

∞

k=0

1

k!

F

(k)

p

k

Damit folgt:

[x, F (p)] =

∞

k=0

1

k!

F

(k)

[x,p

k

]

[x,p

k

] = [x,p]p

k−1

+ p[x,p]p

k−2

+ . . . + p

k−1

[x,p]

= (i )p

k−1

+ p(i )p

k−2

. . . p

k−1

(i ) = i k p

k−1

= i

d

dp

p

k

¨

Ubungsblatt vom 12. 5. 2005 bzw. 13. 5. 2005

4

c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

¨

Ubungsblatt 04

PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005

5

Somit:

[x, F (p)] =

∞

k=0

1

k!

F

(k)

[x,p

k

] =

∞

k=0

1

k!

F

(k)

(i )

d

dp

p

k

= i

d

dp

∞

k=0

1

k!

F

(k)

p

k

= i

d

dp

F (p)

4. Der Mittelwert x(t) kann aus der Kenntnis der zeitabh¨angigen Wellenfunk-

tion berechnet werden, die L¨osung der zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung

ist:

i ˙

f (x) = Hf (x) ,

− i ˙

f

∗

(x) = Hf

∗

(x) .

Dabei ist der Hamiltonoperator H(x) = −

2

2m

∆ + V (x). Er ist nicht von der

Zeit abh¨angig!

Damit gilt:

d

dt

x(t)

=

d

dt

f

∗

(x,t)xf (x,t) dV

=

˙

f

∗

(x,t)xf (x,t) + f

∗

(x,t)x ˙

f (x,t) dV

=

1

−i

Hf

∗

(x,t)xf (x,t) + f

∗

(x,t)x

1

i

Hf (x,t) dV

=

1

i

(−Hf

∗

(x,t)xf (x,t) + f

∗

(x,t)xHf (x,t)) dV

Hermitizit¨at

=

1

i

(−f

∗

(x,t)H(xf (x,t)) + f

∗

(x,t)xHf (x,t)) dV

=

1

i

f

∗

(x,t) [x,H] f (x,t)dV

=⇒

d

dt

x(t) =

1

i

[x,H]

Diese Gleichung besagt, dass die Ableitung des Mittelwerts gleich dem Mit-

telwert des Kommutators

1

i

[x,H] ist.

Wenn man die obige Rechnung genau betrachtet, stellt man fest, dass

die hier durchgef¨uhrten Umformungen nicht von x speziell Gebrauch ma-

chen. Die Rechnung l¨asst sich deshalb z.B. auch f¨ur den Impulsoperator so

durchf¨uhren. Der Kommutator ist:

[x,H] = x ,

p

2

2m

+ V (x) =

1

2m

x , p

2

x , p

2

x

= [x, (p

2

x

+ p

2

y

+ p

2

z

)] = [x, p

2

x

] = p

x

[x,p

x

] + [x,p

x

]p

x

= 2i p

¨

Ubungsblatt vom 12. 5. 2005 bzw. 13. 5. 2005

5

c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer

6

PHYS 4100 Grundkurs IV SH 2005

¨

Ubungsblatt 04

und damit

[x,H] =

i

m

p

und schließlich

d

dt

x(t) =

p

m

5. Wir leiten wie oben her:

d

dt

p(t) =

1

i

[p,H]

[p,H] = p ,

p

2

2m

+ V (x) = [p , V (x)]

[p,H]

x

= [p

x

, V (x)] = −i

∂V (x)

∂x

[p,H] = −i gradV (x)

=⇒

d

dt

p(t) = −gradV (x)

Dies ist das Newtonsche Grundgesetz f¨ur die Mittelwerte.

Durch Eliminiation des Impulsmittelwerts ergibt sich

d

dt

p(t) = m

d

dt

p

m

= m

d

2

dt

2

x(t) = −gradV (x) ,

also schließlich das Newtonsche Grundgesetz f¨ur die Mittelwerte mit der

¨außeren Kraft F = −gradV (x).

”Der Mittelwert des Orts bewegt sich nach nach dem Newtonschen Grund-

gesetz”. Dies ist eine Formulierung des Ehrenfestschen Satzes.

¨

Ubungsblatt vom 12. 5. 2005 bzw. 13. 5. 2005

6

c 2005 University of Ulm, Hans-Dieter Vollmer