Potensial va nopotensial kuchlar uchun Lagranj tenglamalari Reja

Potensial va nopotensial kuchlar uchun Lagranj tenglamalari
Reja:

1. 
   Erkin jism uchun Lagranj funksiyasi.
   
2. 
   Moddiy nuqtalar sistemasi uchun Lagranj funksiyasi.
   
3. 
   Lgranj tenglamasi
   

Jismning harakatini o‘rganish uchun biror bir sanoq sistemasinitanlab olishi kerak. Ixtiyoriy bo‘lgan sanoq sistemasida umumiy holda fazo va vaqtning xossalari murakkab bo‘lishi mumkin, bu esa harakat qonunlariga jism harakatining o‘ziga hos bo‘lmagan murakkablikni kiritishi aniqdir. Masalan, vaqtning bir jinslimasligi (ya’ni, vaqtning ikkita momentlari t₁ va t₂ ekvivalent emasligi) shunga olib kelishi mumkinki, boshlang‘ich paytda tinch turgan jism vaqt o‘tishi bilan harakat qila boshlashi mumkin. Shu boisdan jismlarning mexanik harakatini fazo bir jinsli va izotrop, vaqt bir jinsli bo‘lgan sistemada o‘rganiladi. Bunday sistema inersial sistema deyiladi. Inersial sistemada jismga hech qanday tashqi kuch ta’sir qilmayotgan bo‘lsa, uning harakat holati o‘zgarmaydi. Harakat holati deganda υ tezlik bilan harakatko‘zda tutiladi, shu jumladan, υ = 0 bo‘lishi ham mumkin. Shu tasdig‘imizni isbot qilaylik.

Buning uchun birinchi navbatda erkin jismning inersial sistemadagi Lagranj funksiyasini topish kerak. Bu Lagranj funksiyasi na vaqt t ga va na radius r ga bog‘liq bo‘lishi mumkin — vaqt va fazoning bir jinsliligi natijasida. Demak, tezlik υυυυυ qolayapti. Ammo fazoning izotropligi (ya’ni, fazodagi yo‘nalishlarning ekvivalentligi) shunga olib keladiki, Lagranj funksiyasi faqatgina υ² ning funksiyasi bo‘lishi mumkin:
L = L(υ²) (1)
Harakat tenglamalarini yozaylik:
(2)
Bu tenglamaning o‘ng tomoni nolga teng: (3)
Tezlikning ta’rifi bo‘yicha: , demak quyidagiga kelinadi:
(4)
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoidasi bo‘yicha
(5)
(6)
ekanligini ko‘rsatadi. Olingan natija Nyutonning birinchi qonuni yoki,inersiya qonuni deyiladi. Demak, inersial sanoq sistemasida tashqi kuch ta’sirida bo‘lmagan jism o‘zgarmas tezlik bilan harakat qilar ekan.
Berilgan inersial sistemaga nisbatan o‘zgarmas tezlik bilan harakat qilayotgan boshqa sistema berilgan bo‘lsin. Jism bu sistemaga nisbatan ham o‘zgarmas tezlik bilan harakat qilayotgan bo‘ladi, demak, bu yangi sistema ham inersial sistema ekan. Inersial sistemalarning soni cheksiz ko‘p bo‘lishi mumkin, ularning hammasi bir-biriga nisbatan qandaydir o‘zgarmas tezlik bilan harakat qilayotgan bo‘ladi.
Tajriba shuni ko‘rsatadiki, mexanika qonunlari hamma inersial sistemalarda bir xil ko‘rinishga ega. Buni quyidagicha tushunish mumkin: qo‘zg‘olmasdan turgan laboratoriya sistemasiga nisbatan o‘zgarmas tezlik bilan harakat qilayotgan kemani olaylik (kema inersial sistema bo‘lishi uchun yetarli darajada katta bo‘lishi kerak, dengiz yoki daryo tinch bo‘lishi kerak, shunda kema yetarli darajada inersial sistemaga yaqin bo‘ladi). Shu kemadagi hamma oynalari yopiq bir xonada hech
qanday mexanik tajriba orqali kema harakat qilayaptimi-yoqmi degan savolga javob bera olmaymiz – hamma tajribalar laboratoriya sistemasida qanday o‘tsa, shunday o‘tadi. Inersial sistemalarning mexanika qonunlari nuqtayi nazaridan teng huquqliligi haqidagi tasdiq Galiley prinsipi deyiladi. Inersial sistemalar teng huquqli deganimiz ularda mexanika qonunlari bir xil ko‘rinishga ega bo‘ladi deganimizdir. Mexanika qonunlari differensial tenglamalar orqali ifodalanadi, demak, bu tenglamalarning ko‘rinishi hamma inersial sistemalarda bir xil bo‘lishi
kerak. Bir sistemadan ikkinchi sistemaga o‘tish ma’lum bir almashtirishlarni talab qiladi. Ularni topaylik.
Bizga ikkita sistema berilgan bo‘lsin, ulardagi koordinatlarni r va r′ deb belgilaylik, shtrixlangan sistema birinchi sistemaga nisbatan tezlik bilan harakat qilayotgan bo‘lsin. Bu ikki sistemadagi koordinatlar
(7)
ko‘rinishda bog‘langan bo‘ladi. Vaqt klassik mexanikada absolut xarakterga ega: t′ =t.(8)
Yuqoridagi formulalar, (7) va (8)