Предел и непрерывность функции. Бесконечно малая и бесконечно большие величины

Односторонние пределы.

• Пределы функций при х→х0- и х→х0+

• Определение «на языке последовательности»:
• если f(x) стремится к пределу а при х→х0 так, что х принимает только значения, меньшие х0, то предел а называют пределом функции f(x) в точке х0 слева (или левым пределом) и пишут

• Определение «на языке последовательности»:
• если f(x) стремится к пределу а при х→х0 так, что х принимает только значения, большие чем х0, то предел а называют пределом функции f(x) в точке х0 справа (или правым пределом) и пишут

• Пример.

• у

• х

• 0

• ←

• →

• 1

• -1

• Связь между односторонними пределами.
• Теорема. Функция f(x) имеет в точке х0 предел а тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый так и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам:

• Доказать, что функция в точке х=0 не имеет предела.

• не существует

• у

• x

• 0

• ←

• →

• 1

• Доказать, что функция в точке х=0 имеет предел.

• существует

• y

• x

• 0

• ←

• →

• Пределы функций при х→∞, х→ - ∞ и х→+∞

• Определение «на языке последовательности»:
• число а называется пределом функции f(x) при х→∞, если для всех значений х бесконечно большой последовательности значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от а (f(x) →а) и пишут

• Определение «на языке последовательности»:
• число а называется пределом функции f(x) при х→+∞ (х→-∞), если для всех значений х бесконечно большой последовательности, элементы которой положительны (отрицательны), значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа а (f(x) →а)
• и пишут